高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.3 简单的线性规划课件.ppt

第七章不等式 7 3简单的线性规划 高考数学 浙江专用 考点一区域问题1 2016浙江 3 5分 在平面上 过点p作直线l的垂线所得的垂足称为点p在直线l上的投影 由区域中的点在直线x y 2 0上的投影构成的线段记为ab 则 ab a 2b 4c 3d 6 五年高考 答案c由不等式组画出可行域 如图中的阴影部分所示 因为直线x y 2 0与直线x y 0平行 所以可行域内的点在直线x y 2 0上的投影构成的线段的长 ab 即为 cd 易得c 2 2 d 1 1 所以 ab cd 3 故选c 2 2016山东 4 5分 若变量x y满足则x2 y2的最大值是 a 4b 9c 10d 12 答案c作出不等式组所表示的平面区域 如图 阴影部分 所示 x2 y2表示平面区域内的点到原点的距离的平方 由图易知平面区域内的点a 3 1 到原点的距离最大 所以x2 y2的最大值是10 故选c 评析本题考查了数形结合的思想方法 利用x2 y2的几何意义是求解的关键 3 2014山东 9 5分 已知x y满足约束条件当目标函数z ax by a 0 b 0 在该约束条件下取到最小值2时 a2 b2的最小值为 a 5b 4c d 2 答案b作出不等式组表示的平面区域 如图中的阴影部分 由于a 0 b 0 所以目标函数z ax by在点a 2 1 处取得最小值 即2a b 2 解法一 a2 b2 a2 2 2a 2 5a2 8a 20 a 4 2 4 4 即a2 b2的最小值为4 解法二 表示坐标原点与直线2a b 2上的点之间的距离 故的最小值为 2 即a2 b2的最小值为4 评析本题考查线性规划与最值问题 考查学生运算求解能力以及数形结合和转化与化归思想的应用能力 4 2013山东 6 5分 在平面直角坐标系xoy中 m为不等式组所表示的区域上一动点 则直线om斜率的最小值为 a 2b 1c d 答案c不等式组所表示的平面区域如图阴影部分 由图可知 当m与c重合时 直线om斜率最小 由得c 3 1 直线om斜率的最小值为koc 故选c 5 2015课标 15 5分 若x y满足约束条件则的最大值为 以下为教师用书专用 答案3 解析由约束条件画出可行域 如图 的几何意义是可行域内的点 x y 与原点o连线的斜率 所以的最大值即为直线oa的斜率 又由得点a的坐标为 1 3 则 koa 3 6 2013安徽 9 5分 在平面直角坐标系中 o是坐标原点 两定点a b满足 2 则点集 p 1 r 所表示的区域的面积是 a 2b 2c 4d 4 答案d由 2知 设 2 0 1 x y 则解得由 1得 x y 2y 2 作可行域如图 则所求面积s 2 4 4 考点二简单的线性规划1 2017浙江 4 4分 若x y满足约束条件则z x 2y的取值范围是 a 0 6 b 0 4 c 6 d 4 答案d本题考查线性规划中可行域的判断 最优解的求法 不等式组形成的可行域如图所示 平移直线y x 当直线过点a 2 1 时 z有最小值4 显然z没有最大值 故选d 2 2017课标全国 文 7 5分 设x y满足约束条件则z x y的最大值为 a 0b 1c 2d 3 答案d本题考查简单的线性规划问题 作出约束条件表示的可行域如图 平移直线x y 0 可得目标函数z x y在a 3 0 处取得最大值 zmax 3 故选d 一题多解由约束条件求出三个交点的坐标 3 0 1 0 分别代入目标函数z x y 得到zmax 3 3 2017北京文 4 5分 若x y满足则x 2y的最大值为 a 1b 3c 5d 9 答案d本题考查简单的线性规划 作出不等式组表示的平面区域 如图中阴影部分 令z x 2y 当z x 2y过a点时 z取最大值 由得a 3 3 z的最大值为3 2 3 9 故选d 4 2017山东文 3 5分 已知x y满足约束条件则z x 2y的最大值是 a 3b 1c 1d 3 答案d本题考查简单的线性规划 画出可行域如图 作直线l0 y x 经平移可得z x 2y在点a处取得最大值 由解得a 1 2 所以zmax 1 2 2 3 故选d 5 2017课标全国 理 5 5分 设x y满足约束条件则z 2x y的最小值是 a 15b 9c 1d 9 答案a本题考查简单的线性规划问题 根据线性约束条件画出可行域 如图 作出直线l0 y 2x 平移直线l0 当经过点a时 目标函数取得最小值 由得点a的坐标为 6 3 zmin 2 6 3 15 故选a 6 2017天津理 2 5分 设变量x y满足约束条件则目标函数z x y的最大值为 a b 1c d 3 答案d本题主要考查简单的线性规划 由变量x y满足的约束条件画出可行域 如图阴影部分所示 由z x y得y z x 当直线y z x经过点 0 3 时 z取最大值3 故选d 7 2017山东理 4 5分 已知x y满足约束条件则z x 2y的最大值是 a 0b 2c 5d 6 答案c本题考查简单的线性规划 由约束条件画出可行域 如图 由z x 2y得y 当直线y 经过点a时 z取得最大值 由得a点的坐标为 3 4 故zmax 3 2 4 5 故选c 易错警示没有真正掌握简单的线性规划问题的求解方法 从而找错了最优解 导致最终结果错误 8 2016浙江文 4 5分 若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间 则这两条平行直线间的距离的最小值是 a b c d 答案b作出可行域如图 由得a 2 1 由得b 1 2 斜率为1的平行直线l1 l2分别过a b两点时它们之间的距离最小 过a 2 1 的直线l1 y x 1 过b 1 2 的直线l2 y x 1 此时两平行直线间的距离d 故选b 解后反思本题把直线方程 直线交点及平行直线间的距离公式融入简单线性规划问题 颇有新意 注意斜率为1的直线的相对位置关系 9 2015北京 2 5分 若x y满足则z x 2y的最大值为 a 0b 1c d 2 答案d由x y的约束条件可画出可行域 如图所示 其中a b 0 1 易知直线x 2y z 0经过点b 0 1 时 z取最大值2 故选d 10 2015天津 2 5分 设变量x y满足约束条件则目标函数z x 6y的最大值为 a 3b 4c 18d 40 答案c由约束条件画出可行域如图中阴影部分所示 当动直线x 6y z 0过点 0 3 时 zmax 0 6 3 18 故选c 11 2015福建 5 5分 若变量x y满足约束条件则z 2x y的最小值等于 a b 2c d 2 答案a由约束条件画出可行域如图 阴影部分 当直线2x y z 0经过点a时 zmin 故选a 12 2015广东 6 5分 若变量x y满足约束条件则z 3x 2y的最小值为 a 4b c 6d 答案b由约束条件画出可行域如图 由z 3x 2y得y x 易知目标函数在直线4x 5y 8与x 1的交点a处取得最小值 故zmin 故选b 13 2015湖南 4 5分 若变量x y满足约束条件则z 3x y的最小值为 a 7b 1c 1d 2 答案a画出可行域如图所示 当直线y 3x z过点c 2 1 时 z取最小值 故zmin 3 2 1 7 故选a 14 2015山东 6 5分 已知x y满足约束条件若z ax y的最大值为4 则a a 3b 2c 2d 3 答案b作出可行域如图 当a1时 z ax y在a 2 0 处取得最大值 zmax 2a 4 得a 2 符合题意 综上 a 2 答案d设该企业每天生产甲产品x吨 乙产品y吨 每天获得的利润为z万元 则有z 3x 4y 由题意得 x y满足 不等式组表示的可行域是以o 0 0 a 4 0 b 2 3 c 0 4 为顶点的四边形及其内部 根据线性规划的有关知识 知当直线3x 4y z 0过点b 2 3 时 z取最大值18 故该企业每天可获得最大利润为18万元 评析本题考查利用线性规划解决实际问题 考查对数据的处理能力和数学建模能力 16 2014天津 2 5分 设变量x y满足约束条件则目标函数z x 2y的最小值为 a 2b 3c 4d 5 答案b作出可行域 如图所示 由z x 2y得y x 故将直线y x向上平移 当过a 1 1 时 z有最小值3 17 2014广东 3 5分 若变量x y满足约束条件 且z 2x y的最大值和最小值分别为m和n 则m n a 5b 6c 7d 8 答案b画出可行域如图所示 由z 2x y得y 2x z 当直线y 2x z经过点a时 z取得最小值n 3 当直线y 2x z经过点c时 z取得最大值m 3 m n 6 故选b 18 2014安徽 5 5分 x y满足约束条件若z y ax取得最大值的最优解 则实数a的值为 a 或 1b 2或c 2或1d 2或 1 答案d作出可行域 如图 为 abc内部 含边界 由题设z y ax取得最大值的最优解不唯一可知 线性目标函数对应直线与可行域某一边界重合 由kab 1 kac 2 kbc 可得a 1或a 2或a 验证 a 1或a 2时 成立 a 时 不成立 故选d 19 2017课标全国 理 13 5分 若x y满足约束条件则z 3x 4y的最小值为 答案 1 解析本题考查简单的线性规划 画出约束条件所表示的平面区域 如图中阴影部分所示 包括边界 可得目标函数z 3x 4y在点a 1 1 处取得最小值 zmin 3 1 4 1 1 20 2015浙江 14 4分 若实数x y满足x2 y2 1 则 2x y 2 6 x 3y 的最小值是 答案3 解析 x2 y2 1 6 x 3y 0 令t 2x y 2 6 x 3y 当2x y 2 0时 t x 2y 4 点 x y 可取区域 内的点 含边界 通过作图可知 当直线t x 2y 4过点a时 t取最小值 tmin 4 3 当2x y 28 3 4 3 综上 tmin 3 即 2x y 2 6 x 3y 的最小值是3 21 2014浙江 13 4分 当实数x y满足时 1 ax y 4恒成立 则实数a的取值范围是 答案 解析不等式组构成以a 1 0 b c 2 1 为顶点的三角形区域 包含边界 又1 x 2 所以1 ax y 4转化为 a 恒成立 而k1 表示可行域内点p x y 与定点 0 4 连线的斜率 其最大值为 同理 k2 表示可行域内点p x y 与定点 0 1 连线的斜率 其最小值为 1 故有 a 1 即1 a 22 2014浙江文 12 4分 若实数x y满足则x y的取值范围是 答案 1 3 解析画出可行域如图 可行域为 abc的内部及其边界 设x y t 则y x t t的几何意义为直线y x t在y轴上的截距 当直线通过点a b时 t取得最小值与最大值 可求得a b两点的坐标分别为 1 0 和 2 1 所以1 t 3 即x y的取值范围是 1 3 23 2013浙江 13 4分 设z kx y 其中实数x y满足若z的最大值为12 则实数k 答案2 解析约束条件所表示的区域为如图所示的阴影部分 其中点a 4 4 b 0 2 c 2 0 当 k 即k 时 目标函数z kx y在点a 4 4 取得最大值12 故4k 4 12 k 2 满足题意 当 k 即k 时 目标函数z kx y在点b 0 2 取得最大值12 故k 0 2 12 无解 综上所述 k 2 评析本题考查简单的线性规划问题 考查分类讨论思想和数形结合思想 考查学生灵活应用知识的能力和运算求解的能力 本题也可采用代入交点逐个检验的方法求解 因为最大值必在交点处取得 作为填空题 特殊值代入既快又准确 24 2013浙江文 15 4分 设z kx y 其中实数x y满足若z的最大值为12 则实数k 答案2 解析画出可行域如图 其中a 2 3 b 2 0 c 4 4 k 0显然不符合题意 当k 0时 最大值在点c处取得 此时12 4k 4 即k 2 当k0 舍 或k 2 0 舍 故k 2 25 2016课标全国 16 5分 某高科技企业生产产品a和产品b需要甲 乙两种新型材料 生产一件产品a需要甲材料1 5kg 乙材料1kg 用5个工时 生产一件产品b需要甲材料0 5kg 乙材料0 3kg 用3个工时 生产一件产品a的利润为2100元 生产一件产品b的利润为900元 该企业现有甲材料150kg 乙材料90kg 则在不超过600个工时的条件下 生产产品a 产品b的利润之和的最大值为元 答案216000 解析设生产产品ax件 产品by件 依题意 得设生产产品a 产品b的利润之和为e元 则e 2100 x 900y 画出可行域 图略 易知最优解为此时emax 216000 26 2016课标全国 13 5分 若x y满足约束条件则z x y的最大值为 答案 解析由题意画出可行域 如图所示 其中a 2 1 b c 0 1 由z x y知y x z 当直线y x z过点b时 z取最大值 解后反思解决与线性规划有关的最值问题时 一定要注意目标函数的几何意义 形如z 的目标函数的最值问题 可转化为求可行域内的点 x y 与点 a b 连线的斜率的最值问题 形如z x a 2 y b 2的目标函数的最值问题 可转化为求可行域内的点 x y 与点 a b 间距离的平方的最值问题 评析本题主要考查简单的线性规划 常用数形结合法求解 理解目标函数z的几何意义是解题关键 27 2014湖南 14 5分 若变量x y满足约束条件且z 2x y的最小值为 6 则k 答案 2 解析要使不等式组构成一可行域 则k 2 此时 可行域为以a k k b 2 2 c 4 k k 为顶点的三角形区域 包括边界 从而在点a k k 处 z有最小值3k 则3k 6 得k 2 方法技巧解线性规划应用题的步骤 1 转化 设元 写出约束条件和目标函数 从而将实际问题转化为线性规划问题 2 求解 解这个纯数学的线性规划问题 3 作答 将数学问题的答案还原为实际问题的答案 29 2014陕西 18 12分 在直角坐标系xoy中 已知点a 1 1 b 2 3 c 3 2 点p x y 在 abc三边围成的区域 含边界 上 1 若 0 求 2 设 m n m n r 用x y表示m n 并求m n的最大值 解析 1 解法一 0 又 1 x 1 y 2 x 3 y 3 x 2 y 6 3x 6 3y 解得x 2 y 2 即 2 2 故 2 解法二 0 则 0 2 2 2 2 m n x y m 2n 2m n 两式相减得 m n y x 令y x t 由图知 当直线y x t过点b 2 3 时 t取得最大值1 故m n的最大值为1 评析本题考查了向量线性坐标运算 简单的线性规划等知识 考查运算求解 数形结合 转化与化归的思想 意识到利用线性规划求解问题是解题的关键 答案d由得a 4 0 由图推测直线kx y 2 0必过a 4 0 得k 经验证符合题目条件 故选d 31 2013天津 2 5分 设变量x y满足约束条件则目标函数z y 2x的最小值为 a 7b 4c 1d 2 答案a画出可行域如图所示 由数形结合可知目标函数z y 2x在点a 5 3 处取最小值 即zmin 3 2 5 7 故选a 32 2013北京 8 5分 设关于x y的不等式组表示的平面区域内存在点p x0 y0 满足x0 2y0 2 求得m的取值范围是 a b c d 答案c由线性约束条件可画出如图所示的阴影区域 要使区域内存在点p x0 y0 使x0 2y0 2成立 只需点a m m 在直线x 2y 2 0的下方即可 即 m 2m 2 0 解得m 故选c 评析本题主要考查线性约束条件表示的平面区域的画法及线性规划问题 考查学生对基本方法和基本技能的掌握 以及数形结合思想的应用 33 2013课标全国 9 5分 已知a 0 x y满足约束条件若z 2x y的最小值为1 则a a b c 1d 2 答案b由约束条件画出可行域 如图所示的 abc及其内部 由得a 1 2a 当直线2x y z 0过点a时 z 2x y取得最小值 所以1 2 1 2a 解得a 故选b 34 2013湖南 4 5分 若变量x y满足约束条件则x 2y的最大值是 a b 0c d 答案c由线性约束条件可画出其表示的平面区域为三角形abc及其内部 作出目标函数z x 2y的基本直线l0 x 2y 0 经平移可知z x 2y在点c处取得最大值 最大值为 故选c 35 2014福建 11 4分 若变量x y满足约束条件则z 3x y的最小值为 答案1 解析作出可行域 如图所示 显然a 0 1 为最优解 zmin 3 0 1 1 36 2014大纲全国 14 5分 设x y满足约束条件则z x 4y的最大值为 答案5 解析画出可行域 如图 由z x 4y得y x 当直线经过点b时 目标函数z取得最大值 由得b 1 1 zmax 5 37 2013江苏 9 5分 抛物线y x2在x 1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为d 包含三角形内部与边界 若点p x y 是区域d内的任意一点 则x 2y的取值范围是 答案 解析 y x2 y x 1 2x x 1 2 故抛物线y x2在x 1处的切线方程为2x y 1 0 设其与x轴 y轴分别交于a b两点 则a b 0 1 区域d为图中阴影部分 令z x 2y 即y x z 易知y x z分别过a b两点时z取最大 最小值 zmax 2 0 zmin 0 2 1 2 x 2y的取值范围是 1 2017浙江台州质量评估 5 已知实数x y满足则x y的取值范围为 a 2 5 b c d 5 三年模拟 一 选择题 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 答案a作出可行域 如图中阴影部分所示 显然 当 x y 为 1 4 时 x y取最大值5 当 x y 为 1 1 时 x y取最小值2 因此x y的取值范围为 2 5 故选a 2 2017浙江名校 镇海中学 交流卷二 4 若实数x y满足不等式组则的最大值是 a b c 2d 3 答案d作出可行域 如图中阴影部分所示 的几何意义是定点 3 2 和区域内的点 x y 间的连线的斜率的倒数 显然当 x y 为 0 1 时 取得最大值3 故选d 3 2017浙江绍兴质量调测 3月 6 已知实数x y满足不等式组若z y 2x的最大值为7 则实数a a 1b 1c d 答案b作出可行域 如图中阴影部分所示 显然 当直线z y 2x经过点a时 z取得最大值 联立解得所以7 a 2 a 3 因此a 1 故选b 解法优化由题可知 当z y 2x取最大值7时 三直线y 2x 7 0 x y 3 0和y a 0交于同一点 此时由方程组解得y 1 故a 1 其本质是用三线共点这一条件 将问题转化为两定直线的交点问题 4 2017浙江 超级全能生 联考 3月 6 若实数x y满足不等式组则2 x 1 y的最大值是 a b c 4d 1 答案b令z 2 x 1 y 在平面直角坐标系中画出不等式组表示的平面区域 如图中阴影部分所示 是以a 2 0 b 0 1 c为顶点的三角形区域 含边界 z 2x y 2 x 1 在点a 2 0 处取得最大值2 z 2x y 2 x 1 在点c处取得最大值 又2 所以2 x 1 y的最大值为 故选b 5 2017浙江名校 诸暨中学 交流卷四 6 已知不等式组在平面直角坐标系xoy中确定的区域为d 点m x y 为在区域d上的动点 点a的坐标为 1 则向量与向量的数量积的最大值为 a 4b 3c 4d 3 答案a x y 作出可行域可知 当直线x y t过点 2 时 目标函数取得最大值4 6 2015浙江名校 诸暨中学 交流卷四 4 变量x y满足约束条件则函数z 3 x y 3 的取值范围是 a b 2 3 c 1 6 d 答案d约束条件表示的可行域是以a 0 1 b c 2 0 为顶点的三角形区域 含边界 则有0 x 2 0 y 3 所以目标函数即为z 3x y 3 平移直线y 3x 3 z知 过点b时 z取最小值 过点c 2 0 时 z取最大值9 故选d 答案 解析因为直线l与 abo所围成的区域 包含边界 没有公共点 所以点a b o在直线l的同一侧 因为a 0 b 0 8 2017浙江温州模拟 2月 12 若实数x y满足则y的最大值为 的取值范围是 答案 解析如图 作出可行域 知y的最大值为 的几何意义为定点 2 1 与可行域内的点 x y 间的连线的斜率 显然点 2 1 在直线x y 1 0上 且当 x y 取 2 0 时 取得最小值 所以的取值范围是 9 2017浙江杭州质检 16 若实数x y满足则点p 2x y x y 所在的区域的面积为 答案1 解析令a 2x y b x y 得x y 代入原不等式组并整理得从而问题转化为实数a b满足求点p a b 所在的区域的面积 点p a b 所在的区域是以a 0 1 b 1 2 c 0 3 为顶点的三角形区域 含边界 其面积为s 2 1 1 10 2015浙江模拟训练冲刺卷四 11 已知x y r 且满足则由不等式组确定的可行域的面积为 z x2 y2的最小值是 答案3 解析可行域是以a 0 1 b 1 0 c 4 3 为顶点的三角形区域 含边界 且 abc 90 则可行域的面积为s ab bc 3 而z x2 y2表示原点o与可行域内的点的距离的平方 可知原点o到直线x y 1 0的距离最小 且点o到直线x y 1 0的距离为 则z x2 y2的最小值是 11 2016浙江宁波一模 13 已知关于x的方程x2 ax 2b 2 0 a b r 有两个相异实根 若其中一根在区间 0 1 内 另一根在区间 1 2 内 则的取值范围是 答案 解析令f x x2 ax 2b 2 a b r 由二次方程的实根分布 知即作出可行域如图所示 由表示的几何意义 得到 即 1 2017浙江温州三模 4月 6 已知实数x y满足则 3x y 的最大值为 a 5b 6c 7d 8 一 选择题 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 答案c作出约束条件所确定的可行域 如图中阴影部分所示 设3x y t 平移直线3x y t 则当直线经过点 2 1 时 t取最小值 7 当直线过点 2 1 时 t取最大值7 所以 3x y 的最大值为7 故选c 2 2017浙江名校 绍兴一中 交流卷一 8 已知实数x y满足 2x y 1 x 2y 2 且 1 y 1 则x2 10 x y2的最小值为 a 17b 15c 25d 7 答案b 2x y 1 x 2 y 1 平方得x2 y 1 2 因为 1 y 1 所以0 y 1 2 所以 x y 1 即 y 1 x y 1 所以x y满足作出其表示的可行域 图略 x2 10 x y2 x 5 2 y2 25的几何意义为可行域内的点p x y 到点 5 0 的距离的平方减去25 最优解为 2 1 故所求的最小值为 15 故选b 3 2017浙江名校 衢州二中 交流卷五 8 若实数x y满足 x y 1 x 表示不超过x的最大整数 则的取值范围是 a b c d 4 2016浙江名校 衢州二中 交流卷五 5 若x y满足约束条件且目标函数z ax 3y仅在点 1 0 处取得最小值 则实数a的取值范围为 a 3 6 b 3 6 c 6 3 d 3 6 答案c作出可行域如图中阴影部分所示 将z ax 3y化成y x 当 1 2时 直线y x 仅在点 1 0 处的纵截距取得最小值 即目标函数z ax 3y仅在点a 1 0 处取得最小值 解得 6 a 3 故选c 5 2017浙江金华十校联考 4月 15 若不等式组表示的平面区域是等腰三角形区域 则实数a的值为 二 填空题 答案4 解析作出可行域 如图中阴影部分所示 设直线x 2y 4 0 ax 3y 4 0的倾斜角分别为 1 2 则tan 1 因为可行区域为等腰三角形区域 所以 2 2 1 即 2 2 1 由正切函数的诱导公式及二倍角公式 知tan 2 tan2 1 即 所以a 4 6 2017浙江镇海中学模拟卷一 16 已知实数x y满足则的最小值是 答案 2 解析作出所表示的区域 如图中阴影部分所示 的几何意义是区域内的点 x y 与点 2 3 连线的斜率 设 k 则y kx 2k 3 联立消去y得x2 kx 2k 3 0 令 k2 4 2k 3 0 得k 2或k 6 舍 所以当k 2时 直线y kx 2k 3与抛物线y x2切于点 1 1 所以的最小值为 2 7