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第八章 8.3讲第三节 可降阶的高阶微分方程.一、 型的微分方程微分方程 (1) 的右端仅含有一个变量，两端积分一次，就得到一个阶的微分方程.即 再积分一次就得 依此法继续进行，积分次,便得方程(1)的含有个相互独立的任意常数的通解.例1 求的通解.解 对所给方程连续积分三次,得所给方程的通解.二、型的微分方程方程 (2) 的右端不显含未知函数,若令, 则把代入式(2)得 这是一个关于的一阶微分方程.设其通解为因为,这样又得一个一阶方程对它进行积分,便得方程式(2)的通解 例2 求方程的通解.解 令 则,原方程变为 分离变量后,解得 , 即 再积分一次,得所给方程的通解为 例3 求方程满足初始条件,的特解.解 令 ,则, 原方程变为 这是一阶线性方程,其通解为即 由条件得,则 再积分一次得 由条件得,故所求的特解为 三、型的微分方程方程 (3) 中不明显地含变量，为求出它的解，可令 则将代入(3)中得 这是一个关于变量的一阶微分方程,若其通解为 分离变量并积分,便得方程(3)的通解为例4 求方程的通解.解 令,则 ,于是所给方程变为 分离变量得 积分得 即 分离变量后积分得所给方程的通解为 例5 求方程满足初始条件的特解.解 令, 则, 于是所给方程变为2或 由初始条件知,所以, 解得 由初始条件,即y=1时P=1代入,得因此,我们有 即 分
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