河北衡水中学高三数学上学期第五次调研考试试题 理（含解析）.doc

河北衡水中学2015届高三数学上学期第五次调研考试试题 理（含解析）【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本能力为载体，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、程序框图、导数、数列、三角函数的性质，统计概率等；考查学生解决实际问题的能力。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】1设集合a=xi-lx2，xn，集合b=2，3)，则aub等于a2 b1，2，3) c-1，0，1，2，3)d0，1，2，3)【知识点】集合及其运算a1【答案】d【解析】由题意得a=0,1,2，则ab=0，1，2，3)。【思路点拨】根据题意先求出a，再求出并集。【题文】2已知复数1-i=(i为虚数单位)，则z等于a一1+3i b一1+2i c13i d12i【知识点】复数的基本概念与运算l4【答案】a【解析】由题意得z= = =-1+3i【思路点拨】化简求出结果。【题文】3公比为2的等比数列an)的各项都是正数，且=16，则a6等于a1 b2 c4 d8【知识点】等比数列及等比数列前n项和d3【答案】b【解析】由题意可得a72=a4a10=16，又数列的各项都是正数，故a7=4，故a6=2【思路点拨】由题意结合等比数列的性质可得a7=4，由通项公式可得a6【题文】4某商场在今年端午节的促销活动中，对6月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为a8万元 b10万元 c12万元 d15万元【知识点】用样本估计总体i2【答案】c【解析】由频率分布直方图得0.40.1=411时至12时的销售额为34=12【思路点拨】由频率分布直方图得0.40.1=4，也就是11时至12时的销售额为9时至10时的销售额的4倍【题文】5甲：函数，f(x)是r上的单调递增函数；乙：x1x2，f(x2)0)上有一点p，过p作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为a，b，平行四边形obpa的面积为1，则双曲线的离心率为 a b c d【知识点】双曲线及其几何性质h6【答案】c【解析】渐近线方程是：xay=0，设p（m，n）是双曲线上任一点，过p平行于ob：x+ay=0的方程是：x+ay-m-an=0与oa方程：x-ay=0交点是a（，），|oa|=| | ，p点到oa的距离是：d=|oa|d=1，| .=1，-n2=1，a=2，c=，e=【思路点拨】求出|oa|，p点到oa的距离，利用平行四边形obpa的面积为1，求出a，可得c，即可求出双曲线的离心率【题文】12已知函数f(x)=,若关于x的方程f(x)=有三个不同的实根，则实数a的取值范围是 a b c d【知识点】函数与方程b9【答案】d【解析】如图，直线y=x-a与函数y=f（x）=ex-1的图象在x0处有一个切点，切点坐标为（0，0），此时a=0；直线y=|x-a|与函数y=-x2-2x的图象在x0处有两个切点，切点坐标分别是(-，)和(-，)，此时相应的a= ，a=-，观察图象可知，方程f（x）=|x-a|有三个不同的实根时，实数a的取值范围是(-，0)(0，)【思路点拨】求出直线y=x-a与函数y=f（x）=ex-1的图象在x0处有一个切点、直线y=|x-a|与函数y=-x2-2x的图象在x0处有两个切点时，a的值，利用函数图象，即可求出实数a的取值范围【题文】第卷二、填空题：本大题其4小题岳小题5分其20分把答案埴在答题卡中【题文】13二项式的展开式中常数项为 (用数字作答)【知识点】二项式定理j3【答案】-10【解析】，得r=3, 常数项为-10【思路点拨】先写出通项在求出常数项。【题文】14已知f(x)是定义在r上的偶函数，f(2)=1且对任意都有f(x+3)=f(x)，则f(2014)= 【知识点】函数的奇偶性与周期性b4【答案】1【解析】由f(x+3)=f(x)得t=3，则f(2014)=f（1）=f(-2), f(x)是定义在r上的偶函数,所以f(2014)=f（2）=1【思路点拨】根据函数的奇偶性和周期性求解。【题文】15已知三棱锥pabc的所有棱长都相等，现沿pa，pb，pc三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2，则三棱锥pabc的内切球的表面积为 【知识点】多面体与球g8【答案】3【解析】三棱锥p-abc展开后为一等边三角形，设边长为a，则4=，a=6，三棱锥p-abc棱长为3，三棱锥p-abc的高为2，设内切球的半径为r，则4rsabc=sabc2，r=，三棱锥p-abc的内切球的表面积为4=3【思路点拨】根据平面图形外接圆的半径求出三棱锥的棱长，再根据棱长求出高，然后根据表面积公式计算即可【题文】16已知等差数列的通项公式为an=3n-2，等比数列bn中，b1=a1,b4=a3+1.记集合a =，b=，uaub，把集合u中的元素按从小到大依 次排列，构成数列c。)，则数列cn)的前50项和s5o= 【知识点】单元综合d5【答案】3321【解析】根据数列an和数列bn的增长速度，数列cn的前50项至多在数列an中选50项，数列an的前50项所构成的集合为1，4，7，10，148，由2n-1148得，n8，数列bn的前8项构成的集合为1，2，4，8，16，32，64，128，其中1，4，16，64是等差数列an中的项，2，8，32，128不是等差数列中的项，a46=136128，故数列cn的前50项应包含数列an的前46项和数列bn中的2，8，32，128这4项所以s50= +2+8+32+128=3321【思路点拨】根据数列an和数列bn的增长速度，判断数列cn的前50项中包含an、bn的项的情况，再根据等差数列求和公式即可得到结果三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤【题文】17(本小题满分12分) 在aabc中，a，b，c的对边分别是a，b，c，且3acos a=cosb+bcos c (1)求cos a的值； (2)若a=2，cos b+cosc=，求边c【知识点】解三角形c8【答案】(1) (2)3【解析】(1)由3acos a=cosb+bcos c及正弦定理得：3sinacosa=sinccosb+sinbcosc=sin(b-c), 3sinacosa=sina,a sina0, cosa=.(2) cosb-cosc=,cos(-a-c)+cosc=,又 cosa=， sina= ，cosc+sinc=,又 , sinc= ,c=3【思路点拨】根据正弦定理及三角形中角的关系求得。【题文】18(本小题满分12分) 在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设x表示在这块地上种植1季此作物的利润，求x的分布列；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率【知识点】离散型随机变量及其分布列k6【答案】(1)略(2)0.896【解析】(1)设a表示事件作物产量为300kg，b表示事件作物市场价格6元/kg由题设知p(a)=0.5，p(b)=0.4利润=产量市场价格-成本，x可能的取值为50010-1000=4000,5006-1000=2000,30010-1000=2000,3006-1000=800p(x=4000)=(1-0.5) (1-0.4)=0.3, p(x=2000)= (1-0.5) 0.4+0.5(1-0.4)=0.5p(x=800)=0.50.4=0.2x的分布列为x40002000800p0.30.50.2(2)设表示事件第i季利润不少于2000元（i=1,2,3）由题意得，相互独立，由（1）知p()=p(x=4000)+ p(x=2000)-0.3+0.5-0.8p=+=0.896【思路点拨】根据x可能的值求出相应的概率，根据相互独立事件的概率求出结果。【题文】19(本小题满分12分) 如图，在三棱柱abca1b1 c1中，四边形a1abb1为菱形， ，四边形bcclb，为矩形，若ac=5，ab=4，bc=3 (1)求证：ab1平面a1bc； (2)求二面角c-aa1-b的余弦值【知识点】单元综合g12【答案】（1）略（2）【解析】（1）证明：在abc中ac=5，ab=4，bc=3，所以abc=90，即cbab，又因为四边形bcc1b1为矩形，所以cbbb1，因为abbb1=b，所以cb平面aa1b1b，又因为ab1平面aa1b1b，所以cbab1，又因为四边形a1abb1为菱形，所以ab1a1b，因为cba1b=b所以ab1面a1bc；（2）解：过b作bdaa1于d，连接cd因为cb平面aa1b1b，所以cbaa1，因为cbbd=b，所以aa1面bcd，又因为cd面bcd，所以aa1cd，所以，cdb就是二面角c-aa1-b的平面角在直角adb中，ab=4，dab=45，adb=90，所以db=2在直角cdb中，db=2，cb=3，所以cd=，所以coscdb=【思路点拨】（1）证明ab1面a1bc，只需证明ab1a1b，cbab1，证明cb平面aa1b1b，利用四边形a1abb1为菱形可证；（2）过b作bdaa1于d，连接cd，证明cdb就是二面角c-aa1-b的平面角，求出db，cd，即可求二面角c-aa1-b的余弦值【题文】20(本小题满分12分) 以椭圆c：=1(ab0)的中心0为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随” 已知椭圆c的离心率为，且过点 (1)求椭圆c及其“伴随”的方程； (2)过点p(0，m)作“伴随”的切线交椭圆c于a，b两点，记aob(o为坐标原点)的面 积为，求的最大值【知识点】椭圆及其几何性质h5【答案】（1）x2+y2=1 (2)1【解析】（1）椭圆c的离心率为，即c=a，由c2=a2-b2，则a=2b，设椭圆c的方程为椭圆c过点(，)b=1，a=2，以为半径即以1为半径，椭圆c的标准方程为+x2=1，椭圆c的“伴随”方程为x2+y2=1（2）由题意知，|m|1易知切线l的斜率存在，设切线l的方程为y=kx+m，由得(+4)+2k mx+m2-4=0，设a，b两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=又由l与圆x2+y2=1相切，所以=1，k2=m2-1所以|ab|=，则saob=|ab|=，|m|1saob=1（当且仅当m=时取等号）所以当m=时，saob的最大值为1【思路点拨】（1）由椭圆c的离心率，结合a，b，c的关系，得到a=2b，设椭圆方程，再代入点(，)，即可得到椭圆方程和“伴随”的方程；（2）设切线l的方程为y=kx+m，联立椭圆方程，消去y得到x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，即可得到ab的长，由l与圆x2+y2=1相切，得到k，m的关系式，求出三角形abc的面积，运用基本不等式即可得到最大值【题文】21(本小题满分12分) 设函数f(x)=+aln(x+1) (1)若函数y=f(x)在区间上是单调递增函数，求实数以的取值范围； (2)若函数y=f(x)有两个极值点x1，x2且x1x2，求证：【知识点】导数的应用b12【答案】（）-4，+）（）略【解析】（）根据题意知：f（x）=0在1，+）上恒成立即a-x2-2x在区间1，+）上恒成立-2x2-2x在区间1，+）上的最大值为-4，a-4；经检验：当a=-4时，f (x)= 0，x1，+）a的取值范围是-4，+）（）f (x)= =0在区间（-1，+）上有两个不相等的实数根，即方程2x2+2x+a=0在区间（-1，+）上有两个不相等的实数根记g（x）=2x2+2x+a，则有，解得0ax1+x2=-1，2x22+2x2+a=0，x2=-+，-x20令k(x)= ，x(-，0)k(x)= p(x)= p(x)= ，p(-)=-4，p(0)=2在x0(-，0)使得p（x0）=0当 x(-，x0)，p（x）0；当x（x0，0）时，p（x）0而k（x）在(-，x0)单调递减，在（x0，0）单调递增，k(-)=1-2ln20k(0)=0，当x(-，0)，k(x)0，k（x）在(-，0)单调递减，即0-+ln2【思路点拨】（）已知原函数的值为正，得到导函数的值非负，从而求出参量的范围；（）利用韦达定理，对所求对象进行消元，得到一个新的函数，对该函数求导后，再对导函数求导，通过对导函数的导导函数的研究，得到导函数的最值，从而得到原函数的最值，即得到本题结论请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分【题文】22(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲 如图所示，圆0的直径为bd，过圆上一点a作圆o的切线ae，过点d作 deae于点e，延长ed与圆o交于点c (1)证明：da平分bde (2)若ab=4，ae=2，求cd的长【知识点】几何证明选讲n1【答案】（1）略（2）【解析】（1）证明：ae是o的切线，dae=abd，bd是o的直径，bad=90，abd+adb=90，又ade+dae=90，adb=adeda平分bde（2）由（1）可得：adebda，化为bd=2adabd=30dae=30de=aetan30=由切割线定理可得：ae2=dece，22=(+cd)，解得cd=【思路点拨】（1）由于ae是o的切线，可得dae=abd由于bd是o的直径，可得bad=90，因此abd+adb=90，ade+dae=90，即可得出adb=ade（2）由（1）可得：adebda，可得 ，bd=2ad因此abd=30利用de=aetan30切割线定理可得：ae2=dece，即可解出【题文】23(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy，以0为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系直线的参数方程为(t为参数)，曲线c1的方程为=12，定点a(6，0