八年级数学上册 13.2 命题与证明 13.2.4 三角形内角和定理的推论—三角形的外角性质课件 （新版）沪科版.ppt

第13章三角形中的边角关系 命题与证明 13 2命题与证明 第4课时三角形内角和定理的推论 三角形的外角性质 1 课堂讲解 三角形外角的定义三角形外角的性质三角形的外角和 2 课时流程 逐点导讲练 课堂小结 作业提升 1 知识点 三角形外角的定义 1 三角形外角的定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角 如图中的 acd的一边是 abc的边ac 另一边是 abc的边bc的延长线 2 易错警示 虽然三角形的外角在三角形外部 但不应错误地理解为三角形外部的角就是三角形的外角 知1 讲 来自 点拨 知1 讲 导引 图中 cef的三边的延长线只有ef的延长线fa ce的延长线eb 延长线fa与边cf构成的角为 afc 延长线eb与边ef构成的角为 bef 由三角形外角的概念可以判断 afc bef是 cef的外角 来自 点拨 例1如图 cef的外角为 afc bef 总结 知1 讲 来自 点拨 判定一个角是三角形的外角的三个条件 一是顶点在三角形的一个顶点上 二是一边是三角形的一条边 三是一边是三角形的另一条边的延长线 如图 下列关于 abc的外角的说法正确的是 a hba是 abc的外角b hbg是 abc的外角c dce是 abc的外角d gba是 abc的外角 知1 练 来自 典中点 关于三角形的外角 下列说法中错误的是 a 一个三角形只有三个外角b 三角形的每个内角处都有两个外角c 三角形的每个外角是与它相邻内角的邻补角d 一个三角形共有六个外角 知1 练 来自 典中点 2 知识点 三角形外角的性质 知2 导 交流在图中 abc的外角 acd与它不相邻的内角 a b有怎样的关系 尝试给出证明 并与同学交流 知2 讲 三角形内角和定理的推论 三角形外角的性质 1 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 作用 1 此性质反映了三角形的外角与不相邻内角之间的数量关系 利用它可以求相关的角 2 利用它可以证明一个角等于另两个角的和或差 3 利用它作为中间关系证明两个角相等 2 三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角 作用 用来证明角的不等关系 来自 点拨 知2 讲 例2 浙江温州 如图 直线ab cd被bc所截 若ab cd 1 45 2 35 则 3 度 导引 根据平行线的性质求出 c 根据三角形外角性质求出即可 ab cd 1 45 c 1 45 2 35 3 2 c 35 45 80 来自 点拨 80 总结 知2 讲 来自 点拨 本题考查了平行线的性质 三角形的外角性质的应用 解此题的关键是求出 c的度数和得出 3 2 c 知2 讲 来自 点拨 导引 要求 cdf 则需求其余角 2的度数 2 180 1 acb 其中 1可利用三角形外角的性质求出 acb为三角板内角已知 如图 由三角形外角的性质 知 1 e bce 30 40 70 由三角形内角和定理知 2 180 1 acb 180 70 45 65 cdf edf 2 90 65 25 例3 山东威海 将一副直角三角板如图摆放 点c在ef上 ac经过点d 已知 a edf 90 e 30 bce 40 则 cdf 25 总结 知2 讲 来自 点拨 本题是以三角板为背景考查三角形外角的性质 是考试的一个热点 它主要是利用了三角板位置变换过程中其内角的度数不变的原理 解题时注意数形结合思想的应用 能从实物中抽象出所需的角是解题的关键 知2 讲 来自 点拨 导引 要判断 1与 2的大小关系 而这两个角间没有直接关系 则需找出一个角作为桥梁将这两个角联系起来 观察题图知 3能担当这种角色 用三角形外角的性质 先判断 3与 2的大小关系 再判断 1与 3的大小关系 然后用不等式的传递性判断 1与 2的大小关系 例4如图 请确定 1与 2的大小关系 并说明为什么 解 1 2 理由如下 1是 abc的一个外角 1 3 3是 fgc的一个外角 3 2 1 2 总结 知2 讲 来自 点拨 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角 是证明有关角的不等关系的一条重要定理 它常常结合不等式的性质 如本例中不等式的传递性 来解决有关角的不等关系 用它可判断与三角形有关的角的大小问题 本题通过 3把属于两个三角形的 1和 2联系在一起是关键 知2 讲 例5 青海 改编 下面是有关三角形内外角平分线的探究 阅读后按要求作答 探究1 如图 在 abc中 o是 abc与 acb的平分线bo和co的交点 通过分析发现 boc 90 a 不要求证明 探究2 如图 o是 abc与外角 acd的平分线bo和co的交点 试分析 boc与 a有怎样的数量关系 请说明理由 探究3 如图 o是外角 dbc与外角 ecb的平分线bo和co的交点 则 boc与 a有怎样的数量关系 图 图 图 知2 讲 导引 探究2 如图 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 用 a与 1表示出 2 再利用 boc与 1表示出 2 然后整理即可得到 boc与 a的关系 探究3 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出 obc与 ocb 然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解 解 探究2结论 boc a 理由如下 如图 bo和co分别是 abc和 acd的平分线 1 abc 2 acd 又 acd是 abc的一个外角 知2 讲 acd a abc 2 a abc a 1 2是 boc的一个外角 boc 2 1 a 1 1 a 探究3 obc a acb ocb a abc boc 180 obc ocb 180 a acb a abc 180 a a abc acb 180 a 180 90 a 结论 boc 90 a 来自 点拨 总结 知2 讲 来自 点拨 本题中掌握三角形外角的性质是解题的关键 题中的三个结论都与 a有关 可简记为 内夹角 90 a 内外夹角 a 外夹角 90 a 记住这些结论 可为解填空题 选择题带来很多方便 中考 桂林 如图 a 50 c 70 则外角 abd的度数是 a 110 b 120 c 130 d 140 2 中考 柳州 图中 1的大小等于 a 40 b 50 c 60 d 70 知2 练 来自 典中点 3如图 a 1 2的大小关系是 a a 1 2b 2 1 ac a 2 1d 2 a 1 知2 练 来自 典中点 中考 十堰 如图 ab cd 点e在线段bc上 若 1 40 2 30 则 3的度数是 a 70 b 60 c 55 d 50 知2 练 来自 典中点 3 知识点 三角形的外角和 知3 讲 例6已知 如图 1 2 3是 abc的三个外角 求证 1 2 3 360 证明 1 abc acb 2 bac acb 3 bac abc 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 1 2 3 2 abc acb bac 等式性质 abc acb bac 180 三角形内角和定理 1 2 3 360 来自教材 归纳 知3 讲 来自 点拨 三角形的三个外角的和等于360 知3 讲 导引 a b c d e五个角不在同一个三角形中 需要利用 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 转化到一个三角形中 例7如图 在五角星abcde中 试说明 a b c d e 180 解 因为 agf是 gce的外角 所以 agf c e 同理 afg b d 在 afg中 a afg agf 180 所以 a b c d e 180 来自 点拨 总结 知3 讲 来自 点拨 1 本例的说明过程 充分体现了化分散为集中的转化思想 即把分散在不同三角形中的五个角运用三角形外角的性质将其集中到同一个三角形中去 再利用三角形内角和定理说明结论成立 2 解答本例的关键是找基础三角形 这里的基础三角形较多 解法也多样 请读者从不同角度去找基础三角形 说明结论的正确性 知3 练 来自 典中点 下列对三角形的外角和叙述正确的是 a 三角形的外角和等于180 b 三角形的外角和就是所有外角的和c 三角形的外角和等于所有外角和的一半d 以上都不对 知3 练 来自 典中点 如图是四条互相不平行的直线l1 l2 l3 l4所截出的七个角 关于这七个角的度数关系 下列结论中正确的是 a 2 4 7b 3 1 7c 1 4 6 180 d 2 3 5 3