高中数学 第一章 推理与证明 2 综合法和分析法教材基础 北师大版选修22.DOC

2 综合法和分析法 在数学中,常用推理和证明来证明一个命题,证明是引用一些真实的命题来确定某一命题真实性的思维形式,在过去的学习中,我们曾经用直接证明或间接证明两类方法证明过许多命题.本节的内容就是学习直接证明的两种方法:综合法和分析法.高手支招1细品教材一、演绎推理1.概念:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为演绎推理.2.演绎推理的特点(1)演绎的前提是一般性原理,演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中.(2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系.只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的.因而演绎推理是数学中严格证明的工具.(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法,它缺少创造性,但却具有条理清晰、令人信服的论证作用,有助于科学的理论化和系统化.状元笔记 演绎推理是由一般到特殊的推理;演绎推理的特征是:当前提为真时,结论必然为真.【示例】判断下列推理,哪些为合情推理,哪些不是合情推理。(1)a/b,b/c,则a/c;（2)ab,bc,则ac;（3)三角形的内角和为180,四边形的内角和为360,五边形的内角和为540, ,所以n边形的内角和为(n-2)180;(4)今天是星期日,7天之后也是星期日.思路分析：根据实际问题中推理所得问题的真假来判断是否为合情推理.答案：合情推理为(1)(3)(4),不是合情推理的是(2).二、直接证明1.概念直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明.2.答案：直接证明的一般形式三、综合法1.定义:一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种思维方法叫做综合法.综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从已知到未知,从题设到结论的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的命题.综合法是一种由因导果的证明方法.2.综合法的证明步骤用符号表示为:p0(已知)p1p2pn(结论).状元笔记 用综合法证明问题时因果关系要清晰,逻辑表达要明确.综合法所说的“由已知推结论”这里已知是已知的条件和某些数学定义、公理、定理.【示例】设a、b、c0,求证：+a+b+c.思路分析：从不等式的形式看,具有字母轮换性,而且又是齐次式,可考虑用分合思想加以证明,由三个二项式相加而得出.证明：因为+2=2c,2=2a,2=2b,将以上三个不等式左、右分别相加,得:2()2a+2b+2c,即a+b+c.四、分析法1.定义:从问题的结论出发,追溯导致结论成立的条件,逐步上溯,直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止. 分析法也是数学证明中的一种常用直接方法,它先假设所要求证明命题的结论是正确的,由此逐步推出保证此结论成立的必要的判断,而当这些判断恰恰都是已知的命题(定义、公理、法则、公式等)时,命题得证.2.分析法的证明步骤用符号表示为:b(结论)b1b2ba(已知).状元笔记 分析法就是从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直到最后,把要证明的结论归纳为一个明显成立的条件.使用分析法证明不等式,在分析推理时,要学会正确使用连接有关步骤的关键词,如:“为了证明”“只需证明”等. 【示例】如图,sa平面abc,abbc,过a作sb的垂线,垂足为e,过e作sc的垂线,垂足为f,求证:afsc.思路分析：本题所给的已知条件中,垂直关系较多,不容易确定如何在证明中使用它们,因而用综合法比较困难.这时,可以从结论出发,逐步反推,寻求使当前命题成立的充分条件.在立体几何中,通常可以把证明两条直线互相垂直的问题转化为证明直线与平面垂直的问题.证明：要证afsc,只需证sc平面aef,只需证aesc(因为efsc),只需证ae平面sbc,只需证aebc(因为aesb),只需证bc平面sab,只需证bcsa(因为abbc).由sa平面abc可知,上式成立.所以afsc.1.区别:由于分析法是执果索因,立足于寻找欲证结论的合适的充分条件,利于思考;分析法确定解题方向比较明确,利于寻找解题思路;综合法是由因导果,立足于寻找已知条件合适的必要条件,证明思路条理清晰,适宜于表述. 分析法的特点是:从“未知”看“需知”,逐步向“已知”靠拢,其实际上是找寻它的充分条件.综合法的特点是:从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理,实际上是寻找它的必要条件.分析法与综合法各有特点.有些具体的待证命题,用分析法或综合法都可以证明出来,人们往往选择比较简单的一种.2.联系:对于一个新的问题,多半采取先用分析法寻求思路、解法,后用综合法有条理地表述解题过程,实际证题过程,分析与综合是统一运用的,把分