高中数学 第三章 导数应用 3.1 函数的单调性与极值 3.1.1 导数与函数的单调性课件 北师大版选修22.ppt

3 1 1导数与函数的单调性 导数与函数的单调性如果在某个区间内 函数y f x 的导数f x 0 则在这个区间上 函数y f x 是增加的 如果在某个区间内 函数y f x 的导数f x 0 或f x 0 是 函数f x 在该区间上是增加的 或减少的 的充分不必要条件 而不是充要条件 做一做1 函数y xlnx在区间 0 5 上是 a 增加的b 减少的 解析 y x lnx x lnx lnx 1 答案 c 做一做2 函数f x x3 x的递增区间是 递减区间是 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 在区间 a b 上 若f x 0 则f x 在该区间上是增加的 反之亦成立 2 函数f x 在区间 x1 x2 上的导数比在区间 x2 x3 上的导数大 则函数在 x1 x2 上比在 x2 x3 上增长的快 3 函数f x lnx 在 1 上是减少的 4 在某个区间内有f x 0 则f x 为常数函数 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 求函数的单调区间 例1 求下列函数的单调区间 1 f x x4 2x2 3 2 f x 2x lnx 分析 先求f x 再解不等式f x 0得递增区间 解不等式f x 0 解得 11 函数f x 的递增区间是 1 0 和 1 令4x x 1 x 1 0 解得x 1或0 x 1 函数f x 的递减区间是 1 和 0 1 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 反思感悟求可导函数f x 的单调区间的一般步骤 1 确定函数f x 的定义域 2 求导数f x 3 解不等式f x 0 或f x 0 得出相应的x的范围 4 根据不等式的解集 写出相应结论 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 变式训练1函数y x2 4x a的递减区间是 解析 y x2 4x a 2x 4 由y 2x 4 0得x 2 函数y x2 4x a的递减区间是 2 答案 2 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 变式训练2求下列函数的单调区间 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 2 由ax x2 0 得0 x a 即函数的定义域为 0 a 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 根据单调性求参数 例2 若函数f x x3 ax2 a 1 x 1在区间 1 4 上是减少的 在区间 6 上是增加的 试求实数a的取值范围 解 方法一 f x x2 ax a 1 令f x 0 解得x 1或x a 1 当a 1 1 即a 2时 函数f x 在 1 上是增加的 不符合题意 当a 1 1 即a 2时 函数f x 在 1 上是增加的 在 1 a 1 上是减少的 在 a 1 上是增加的 依题意知 函数f x 在区间 1 4 上是减少的 在 6 上是增加的 4 a 1 6 即5 a 7 a的取值范围是 5 7 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 方法二 f x x2 ax a 1 由题意知f x 0在区间 1 4 上恒成立 f x 0在 6 上恒成立 5 a 7 故a的取值范围为 5 7 反思感悟已知f x 在区间 a b 上的单调性 求参数的方法 1 利用集合的包含关系处理 f x 在 a b 上单调 则区间 a b 是相应单调区间的子集 2 利用不等式的恒成立处理 f x 在 a b 上单调 则f x 0或f x 0在 a b 内恒成立 注意验证等号是否成立 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 变式训练3已知函数f x x3 kx在区间 3 1 上不单调 则实数k的取值范围是 解析 f x 3x2 k 由题意知3x2 k 0在 3 1 内有解 即k 3x2在 3 1 内有解 又 当x 3 1 时 3x2 3 27 k 3 27 答案 3 27 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 变式训练4若函数f x x3 ax2 1在 0 2 内是减少的 求实数a的取值范围 解 方法一 f x 3x2 2ax x 3x 2a 当a 0时 f x 0 故y f x 在 上是增加的 与y f x 在 0 2 内是减少的不符 舍去 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 方法二 f x 3x2 2ax 由y f x 在 0 2 内是减少的知3x2 2ax 0在 0 2 内恒成立 当x 0时 由3x2 2ax 0在 0 2 内恒成立得a r 当x 0时 3x2 2ax 0在 0 2 内恒成立 综上可知 a的取值范围是 3 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 证明不等式 分析 由题目可获取以下主要信息 要证明当x 0时 x sinx和sinx x同时成立 证明 要证明sinx0 可先令f x x sinx 于是f 0 0 由于f x 1 cosx 0 所以f x 在 0 上是增加的 从而有f x f 0 0 即x sinx 0 x sinx x 0 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 反思感悟利用导数证明不等式的步骤 1 构造函数 f x f x g x 2 求导 f x f x g x 3 判断函数的单调性 4 若f x 在区间上的最小值大于或等于0 则f x g x 若f x 在区间上的最大值小于或等于0 则f x g x 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 变式训练5已知函数f x lnx 则有 a f 2 f e f 3 b f e f 2 f 3 c f 3 f e f 2 d f e f 3 f 2 f x 0恒成立 即f x 在 0 上是增加的 又 2 e 3 f 2 f e f 3 答案 a 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 变式训练6已知x 1 求证 x ln 1 x 分析 构造函数f x x ln 1 x 只要证明在x 1 上 f x 0恒成立即可 证明 设f x x ln 1 x x 1 f x 在 1 上是增加的 又f 1 1 ln2 1 lne 0 即f 1 0 f x 0 即x ln 1 x x 1 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 函数与其导函数的关系 例4 下图是函数f x 的导函数f x 的图像 则下列判断中正确的是 a 函数f x 在区间 3 1 上是增加的b 函数f x 在区间 1 3 上是减少的c 函数f x 的递增区间为 3 1 3 d 函数f x 的递增区间为 0 2 4 解析 根据f x 的正 负判断函数f x 的单调性 在 0 2 4 上f x 0 所以函数f x 的递增区间是 0 2 4 函数f x 的递减区间是 3 0 2 4 答案 d 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 反思感悟研究一个函数的图像与其导函数的图像之间的关系时 要注意抓住各自的关键要素 对原函数 我们重点考察其图像在哪个区间上是增加的 哪个区间上是减少的 而对于导函数图像 则应考察导函数值在哪个区间上大于0 哪个区间上小于0 并考察这些区间与原函数的单调区间是否吻合 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 变式训练7f x 是函数f x 的导函数 y f x 的图像如图所示 则y f x 的图像最有可能是下列选项中的 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 解析 题目所给出的是导函数的图像 导函数的图像在x轴的上方 表示导函数值大于零 原函数的图像呈上升趋势 导函数的图像在x轴的下方 表示导函数值小于零 原函数的图像呈下降趋势 当x 0 时 导函数图像在x轴的上方 表示在此区间上 原函数的图像呈上升趋势 可排除b d两选项 当x 0 1 时 图像在x轴的下方 表示在此区间上 原函数的图像呈下降趋势 可排除a选项 故选c 答案 c 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 分类讨论思想在研究函数单调性中的应用 典例 已知函数f x x r 其中a r 当a 0时 求函数f x 的单调区间 分析 因为a的大小及符号不确定 所以要先求f x 然后对a的取值进行讨论 以确定单调区间 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 方法点睛导函数值的符号是影响函数在区间上的单调性的决定因素 在涉及含参数函数的单调性的判定 求单调区间问题时 需要分类讨论 1 讨论导数的最高次项系数 若最高次项含参数 则需分大于0 小于0 等于0讨论 若最高次项不含参数 则不需要讨论 2 讨论导数不等式的解集 一般情况下导函数都是二次函数 要讨论二次函数的判别式是否大于零 再讨论两根的大小 以确定不等式的解集 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 解 当 1 x 1时 若b 0 则f x 0 函数在区间 1 1 上是增加的 12345 1 函数f x 2x sinx在 上 a 是增加的b 是减少的c 在 0 上是增加的 在 0 上是减少的d 在 0 上是减少的 在 0 上是增加的解析 由f x 2 cosx 0 可知f x 在 上是增加的 答案 a 12345 2 若函数y x3 x2 mx 1是r上的单调函数 则实数m的取值范围是 解析 由已知函数是r上的单调函数 可得y 3x2 2x m 0恒成立 判别式 4 12m 0 解得m 答案 c 12345 3 若在区间 a b 内有f x 0 且f a 0 则在 a b 内有 a f x 0b f x 0 且f a 0 函数f x 在区间 a b 上是增