高中数学 第二章 平面向量 2.1 向量的线性运算 2.1.1 向量的概念课件 新人教B版必修4(1).ppt

第二章平面向量 2 1向量的线性运算 2 1 1向量的概念 1 了解向量的实际背景 以位移 力等物理背景抽象出向量的概念 2 理解向量的相关概念和向量的几何表示 3 理解相等向量 共线 平行 向量的含义 并会判断向量间平行 共线 相等的关系 1 2 3 1 位移的概念位移是一个既有大小又有方向的量 名师点拨对于位移概念的理解要把握三点 一是位移由 方向 和 距离 唯一确定 二是位移只与质点的始点 终点的位置关系有关 而与质点实际运动的路线无关 三是相同 相等 的位移 从两个不同点出发的位移 只要方向相同 距离相等 我们都把它们看成相同的位移或相等的位移 做一做1 某人由点a出发向正北方向行走1km至点b 然后再向东拐弯沿正东方向行走2km至点c 则此人的行走路程共km 总位移的大小为km 1 2 3 2 向量的概念 1 向量 数学中 把既有大小又有方向的量叫做向量 把只有大小和方向 而无特定位置的量叫做自由向量 2 有向线段 具有方向的线段 叫做有向线段 如右图 物体从点a移动到点b 用线段ab的长度表示位移的距离 在点b处画上箭头表示位移的方向 这时我们说线段ab具有从a到b的方向 记为 1 2 3 3 向量的表示方法 向量的图形表示和向量的符号表示 向量的图形表示 向量常用一条有向线段来形象直观地表示 如右图 有向线段的长度表示向量的大小 箭头所指的方向表示向量的方向 向量的符号表示 1 2 3 5 相等向量 同向且等长的有向线段表示同一向量 或相等的向量 即两非零向量a b相等的等价条件应是a b的方向相同 且模相等 若向量a与向量b相等 记作a b 6 零向量 长度等于零的向量叫做零向量 记作0 零向量的方向不确定 在处理平行问题时 通常规定零向量与任意向量平行 7 共线向量或平行向量 通过有向线段的直线 叫做向量的基线 如果向量的基线互相平行或重合 那么称这些向量共线或平行 向量a平行于b 记作a b 1 2 3 知识拓展1 向量有方向和大小 不能比较大小 但向量的模可以比较大小 2 对相等向量的理解 1 平面向量a与平面向量b相等 并不要求它们有相同的始点与终点 2 将相等的两个向量的始点平移到同一点 这时它们的终点必重合 1 2 3 3 对共线向量的理解 1 规定零向量与任意向量平行 由于零向量的方向不确定 因而在解题时 要特别注意向量为零向量的情况 2 两个非零向量共线或平行有以下四种情况 两个向量方向相同且模相等 两个向量方向相反且模相等 两个向量方向相同且模不相等 两个向量方向相反且模不相等 通过以上的分析得出共线向量与相等向量是两个不同的概念 其区别在于相等向量的模和方向均相同 而共线向量的模的大小关系不确定 方向相同还是相反也不确定 3 平行 共线 概念不是平面几何中平行线概念的简单移植 这里的平行是指方向相同或相反的向量 它与长度无关 与是否在同一条直线上无关 1 2 3 做一做2 1 下列各量中是向量的是 a 身高b 长度c 电流d 浮力解析 主要考虑各量是否具备向量的两个要素 即大小和方向 身高 长度和电流都只有大小 没有方向 只有浮力既有大小 又有方向 答案 d 1 2 3 1 2 3 1 2 3 做一做3 在下图所示的坐标纸上 画出下列向量 小正方形的边长为1 1 2 3 解如图所示 1 数学中的向量是自由向量剖析 1 任意两个相等的非零向量可以用同一条有向线段表示 并且与有向线段的起点无关 所以向量只有大小和方向两个要素 是自由向量 2 对于一个向量 只要不改变它的大小和方向 是可以自由平行移动的 因此 在用有向线段表示向量时 可以自由选择起点 任何一组平行向量都可以移到同一条直线上 3 两个非零向量只有当模相等 同时方向相同时 才能称它们相等 2 向量与有向线段的联系与区别剖析向量是规定了大小和方向的量 有向线段是规定了始点和终点的线段 它们的联系是 向量可以用有向线段来表示 这条有向线段的长度就是向量的模 有向线段的方向就是向量的方向 它们的区别是 向量是可以自由移动的 故当用有向线段来表示向量时 有向线段的始点是任意的 而有向线段是不能自由移动的 有向线段平移后就不是原来的有向线段了 有向线段仅仅是向量的直观体现 是向量的一种表现形式 不能等同于向量 有向线段有平行和共线之分 而向量的平行和共线是同一个概念 题型一 题型二 题型三 题型四 例1 给出下列几种说法 若非零向量a与b共线 则a b 若向量a与b同向 且 a b 则a b 若两个向量有相同的基线 则这两个向量相等 若a b b c 则a c 其中错误说法的序号是 题型一 题型二 题型三 题型四 解析 错误 共线向量是指向量的基线互相平行或重合 其方向相同或相反 所以共线向量未必相等 错误 向量是既有大小 又有方向的量 不能比较大小 错误 两个向量有相同的基线表示两向量共线 或平行 但这两个向量的大小和方向都不一定相同 错误 当b 0时 a与c就不一定平行了 答案 反思对向量的有关概念的理解要全面 准确 要注意相等向量与共线向量 或平行向量 之间的区别和联系 零向量的长度为零 方向不确定 解题时一定要注意这一特殊向量 解答本题时 说法 中易忽略零向量与任意向量共线而导致错误 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 下列各说法 零向量没有方向 若 a b 则a b 向量就是有向线段 两个相等向量 若起点相同 则终点也相同 若a b b c 则a c 若四边形abcd是平行四边形 则 其中正确说法的个数是 a 1b 2c 3d 4 题型一 题型二 题型三 题型四 解析 该说法不正确 零向量不是没有方向 只是方向不确定 该说法不正确 a b 只是说明这两个向量的模相等 但其方向未必相同 因此两个向量不一定相等 该说法不正确 有向线段只是向量的一种表示形式 不能把两者等同起来 该说法正确 因两个相等向量的模相等 方向相同 故当它们的始点相同时 则其终点必重合 即终点相同 该说法正确 由向量相等的定义知 a与b的模相等 b与c的模相等 所以a与c的模相等 又a与b的方向相同 b与c的方向相同 所以a与c的方向也必相同 故a c 该说法不正确 答案 b 题型一 题型二 题型三 题型四 例2 如图 d e f分别是等腰直角三角形abc的边ab ac bc的中点 bac 90 分析相等向量要考虑两个向量的方向和大小是否都相同 共线向量只考虑方向是否相同或相反 题型一 题型二 题型三 题型四 反思向量有两个要素 一是大小 二是方向 两个向量只有当它们的模相等同时方向相同时才称为相等向量 即a b意味着 a b 且a与b的方向相同 还要注意到0与0是相等的向量 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 如图所示 ef gh将正方形abcd分成四个单位正方形 在以图中各点为端点的所有向量中 与平行的向量有哪些 其中又与相等的向量有哪些 题型一 题型二 题型三 题型四 a 相等向量b 平行向量c 模相等的向量d 始点相同的向量解析 o为 abc的外心 oa ob oc 答案 c 反思要注意对向量的模 相等向量 共线向量等重要概念的理解和应用 还要注意向量作为一种工具在平面几何中的广泛应用 题型一 题型二 题型三 题型四 答案 模相等但不共线 题型一 题型二 题型三 题型四 例4 一辆消防车从a地去b地执行任务 首先从a地向北偏东30 方向行驶2km到d地 然后从d地沿北偏东60 方向行驶6km到达c地 最后从c地又向南偏西30 方向行驶2km才到达b地 2 求b地相对于a地的位置向量 分析按要求用直尺作出向量 作图时 既要考虑向量的大小 又要考虑向量的方向和始点 题型一 题型二 题型三 题型四 反思用向量知识解决实际问题 关键是将实际问题转化成数学模型 用向量表示相关量 然后解决数学问题 题型一 题型二 题型三 题型四 1 2 3 4 5 6 1 下列各说法 有向线段就是向量 向量的大小与方向有关 向量的模可以比较大小 其中正确的有 a 1个b 2个c 3个d 4个解析 向量的长度都等于线段ab的长度 故 正确 有向线段是向量的几何表示 故 不正确 向量不能比较大小 故 不正确 向量的模即为有向线段的长度 可以比较大小 故 正确 答案 b 1 2 3 4 5 6 2 下列命题中 真命题的个数为 两个有共同始点且相等的向量 其终点可能不同 若四边形abdc是平行四边形 则必有 若a b 则a b的方向相同或相反 a 0b 1c 2d 3解析 两个有共同始点且相等的向量 其终点一定相同 所以 错误 正确 a可