江苏省高考数学一轮复习 试题选编23 椭圆 苏教版.doc

1 江苏省江苏省 20142014 届一轮复习数学试题选编届一轮复习数学试题选编 2323 椭圆 教师版 椭圆 教师版 填空题 1 2013 江苏高考数学 在平面直角坐标系中 椭圆的标准方程为 右xoyc 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 焦点为 右准线为 短轴的一个端点为 设原点到直线的距离为 到 的距离为 若flbbf 1 dfl 2 d 则椭圆的离心率为 12 6dd c 答案 解析 本题主要考察椭圆的性质 以及化繁为简运算能力及数学思想方法 中 利用面积相等 或者利用原点到直线即aobrt 1 daboboa 0 0 o1 b y c x 的距离公式得 因为带入得 0 bccybx a bc d 1 c c a d 2 212 6dd a bc c c a 6 2 左边分子分母同时除以右边平方再开方得 a bc c ca 6 22 a b c ca 6 2 22 2 a 2 22 2 2 6 1 a ca e e 2 2 2 16 1 e e e 6 1 2 2 e e 舍 016 24 ee 3 1 2 e 2 1 2 e 3 3 e 法二 解析 如图 l x c 由等面积得 若 则 c a 2 2 d c a 2 c b2 1 d a bc 12 6dd c b2 6 a bc 整理得 两边同除以 得 解之得 所066 22 baba 2 a066 2 a b a b a b 3 6 以 离心率为 3 3 1e 2 a b y x l b f o c b a 2 江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷 椭圆 的左焦点1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 2 为 f 直线与椭圆相交于 a b 两点 若的周长最大时 的面积为 则椭圆的离心mx fab fab ab 率为 答案 2 2 3 2009 高考 江苏 如图 在平面直角坐标系中 为椭圆xoy 1212 a a b b 的 22 22 1 0 xy ab ab 四个顶点 为其右焦点 直线与直线相交于点 t 线段与椭圆的交点恰为线段f 12 ab 1 b fotm 的中点 则该椭圆的离心率为 ot 答案 答案 2 75e 解析 用表示交点 t 得出 m 坐标 代入椭圆方程即可转化解得离心率 a b c 4 南京市 盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数学试题 已知 1 f 2 f 分别是椭圆 1 48 22 yx 的左 右焦点 点p是椭圆上的任意一点 则 12 1 pfpf pf 的取值范围是 答案 0 2 2 2 5 江苏省南京市四区县 2013 届高三 12 月联考数学试题 设椭圆c 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左 右焦点分别为 12 f f 上顶点为a 过点a与 2 af垂直的直线交x轴负半轴于点q 且 02 221 qfff 则椭圆c的离心率为 答案 2 1 e 6 江苏省扬州市 2013 届高三下学期 5 月考前适应性考试数学 理 试题 在平面直角坐标系xoy中 已知点a是椭圆 22 1 259 xy 上的一个动点 点 p 在线段oa的延长线上 且72oa op 则点 p 横 3 坐标的最大值为 答案 15 提示 设 1 opoa 由 2 72oa opoa 得 2 72 oa 22 72 paa aa xxx xy 22 72 9 9 25 a aa x xx 2 72 16 9 25 a a x x 72 916 25 a a x x 研究点 p 横坐标的最大值 仅考虑05 a x 72 15 12 2 5 p x 当且仅当 15 4 a x 时取 7 扬州市 2012 2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的离 心率 3 2 e a b 是椭圆的左 右顶点 p 是椭圆上不同于 a b 的一点 直线 pa pb 斜倾角分别为 则 cos cos 答案 3 5 解答题 8 扬州市 2012 2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题 如图 已知椭圆 1 e方程为 22 22 1 0 xy ab ab 圆 2 e方程为 222 xya 过椭圆的左顶点 a 作斜率为 1 k直线 1 l与椭圆 1 e和 圆 2 e分别相交于 b c 若 1 1k 时 b恰好为线段 ac 的中点 试求椭圆 1 e的离心率e 若椭圆 1 e的离心率e 1 2 2 f为椭圆的右焦点 当 2 2babfa 时 求 1 k的值 设 d 为圆 2 e上不同于 a 的一点 直线 ad 的斜率为 2 k 当 2 1 2 2 kb ka 时 试问直线 bd 是否过定点 若 过定点 求出定点坐标 若不过定点 请说明理由 4 y xo d c b a 答案 解 当 1 1k 时 点 c 在y轴上 且 0 ca 则 2 2 a a b 由点 b 在椭圆上 得 22 22 22 1 aa ab 2 2 1 3 b a 22 2 22 2 1 3 cb e aa 6 3 e 设椭圆的左焦点为 1 f 由椭圆定义知 12 2bfbfa 1 bfba 则点 b 在线段 1 af的中垂线上 2 b ac x 又 1 2 c e a 1 2 ca 3 2 ba 3 4 b a x 代入椭圆方程得 7 4 b yb 21 8 a 1 b b y k xa 21 2 法一 由 1 22 22 1 yk xa xy ab 得 2222 1 22 0 kxaxa ab xa 或 222 1 222 1 a bk a x ba k b xa 222 1 222 1 b a bk a x ba k 则 2 1 1 222 1 2 bb ab k yk xa ba k 由 2 222 ykxa xya 得 2222 2 0 xakxa 得xa 或 2 2 2 2 1 1 ak x k 同理 得 2 2 2 2 1 1 d ak x k 2 2 2 2 1 d ak y k 5 当 2 1 2 2 kb ka 时 4 22 222 2 2 2 4222 22 2 2 2 b b a bk a ab k a x bab k bk a 2 2 222 2 2 b ab k y ab k 2 22 2222 22 2222 222 2222 22 22 11 1 1 bd ab kak ab kk k ka ab kak ab kk bd ad 2 e为圆 adb 所对圆 2 e的弦为直径 从而直线 bd 过定点 a 0 法二 直线bd过定点 0 a 证明如下 设 0 p a bb b xy 则 22 22 1 0 bb xy ab ab 222222 1 2222222 1 bbb adpbpb bbb yyyaaaab kkk k bbxa xabxaba 所以pbad 又pdad 所以三点 p b d共线 即直线bd过定点 0 p a 9 江苏省连云港市 2013 届高三上学期摸底考试 数学 选修物理 已知椭圆的中心为原点 o 一个 焦点为 f 离心率为 以原点为圆心的圆 o 与直线互相切 过原点的直线 与椭 3 0 3 2 4 2yx l 圆交于 a b 两点 与圆 o 交于 c d 两点 1 求椭圆和圆 o 的方程 2 线段 cd 恰好被椭圆三等分 求直线 的方程 l 答案 6 2 直线l的方程为ykx 由 2 2 1 4 ykx x y 解得 22 44 4141 ak kk 22 44 4141 bk kk 222 222 444 2 2 4 1 414141 abkk kkk cd恰好被椭圆三等分 2 2 4 4 1 41 k k 18 2 33 r 2 2 12 413 k k 35 7 k 直线l的方程为 35 7 yx 10 2012 2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研 二 数学试题 如图 设 分别为椭圆a b 的右顶点和上顶点 过原点作直线交线段于点 异于点 交 22 22 1 0 xy eab ab oabma b 椭圆于 两点 点在第一象限内 和的面积分别为与 cdcabc abd 1 s 2 s 1 若是线段的中点 直线的方程为 求椭圆的离心率 mabom 1 3 yx 2 当点在线段上运动时 求的最大值 mab 1 2 s s 7 o m d a c x b y 答案 8 11 南通市 2013 届高三第一次调研测试数学试卷 已知左焦点为f 1 0 的椭圆过点e 1 过点 2 3 3 p 1 1 分别作斜率为k1 k2的椭圆的动弦ab cd 设m n分别为线段ab cd的中点 1 求椭圆的标准方程 2 若p为线段ab的中点 求k1 3 若k1 k2 1 求证直线mn恒过定点 并求出定点坐标 答案 解 依题设c 1 且右焦点 1 0 f 所以 2a b2 a2 c2 2 ef ef 2 22 32 3 1 1 2 3 33 故所求的椭圆的标准方程为 2 2 1 32 y x 2 设a b 则 1 x 1 y 2 x 2 y 22 11 1 32 xy 22 22 1 32 xy 得 21212121 0 32 xxxxyyyy 所以 k1 2121 2121 2 4 2 3 63 p p yyxxx xxyyy 3 依题设 k1 k2 设m 直线ab的方程为y 1 k1 x 1 即y k1x 1 k1 亦即y k1x k2 m x m y 代入椭圆方程并化简得 222 1122 23 6360kxk k xk 于是 12 2 1 3 23 m k k x k 2 2 1 2 23 m k y k 同理 12 2 2 3 23 n k k x k 1 2 2 2 23 n k y k 当k1k2 0 时 直线mn的斜率k mn mn yy xx 22 2211 2121 46 9 kk kk k k kk 21 21 106 9 k k k k 直线mn的方程为 22112 22 21 11 21063 9 2323 kk kk k yx k k kk 即 2121122 22 2121 11 10610632 99 2323 k kk kk kk yx k kk k kk 亦即 21 21 106 2 93 k k yx k k 9 此时直线过定点 2 0 3 当k1k2 0 时 直线mn即为y轴 此时亦过点 2 0 3 综上 直线mn恒过定点 且坐标为 2 0 3 本题主要考查直线与椭圆的基础知识 考查计算能力与独立分析问题与解决问题的能力 讲评本题时 要注意对学生耐挫能力的培养 第 2 问 亦可设所求直线方程为y 1 k1 x 1 与椭圆方程联立 消去一个变量或x或y 然后利用根与 系数的关系 求出中点坐标与k1的关系 进而求出k1的值 第 3 问 可有一般的情形 过定椭圆内的定点作两条斜率和为定值的动弦 则两动弦的中点所在直线过 定值 此结论在抛物线中也成立 另外 也可以求过两中点所在直线的斜率的最值 近几年江苏高考解析几何大题的命题趋势 多考一点 算 少考一点 想 12 江苏省淮安市 2013 届高三上学期第一次调研测试数学试题 已知椭圆的 22 22 10 xy cab ab 离心率 一条准线方程为 6 3 e 3 6 2 x 求椭圆的方程 c 设为椭圆上的两个动点 为坐标原点 且 g hcoogoh 当直线的倾斜角为时 求的面积 og60 goh 是否存在以原点为圆心的定圆 使得该定圆始终与直线相切 若存在 请求出该定圆方程 若不ogh 存在 请说明理由 答案 1 因为 3 6 a c 2 63 2 c a 222 cba 解得 所以椭圆方程为 3 3 ba1 39 22 yx 2 由 解得 1 39 3 22 yx xy 10 27 10 9 2 2 y x 由 得 1 39 3 3 22 yx xy 2 3 2 9 2 2 y x 10 所以 所以 6 5 103 ohog 5 153 goh s 假设存在满足条件的定圆 设圆的半径为 则 rghrohog 因为 故 222 ghohog 222 111 rohog 当与的斜率均存在时 不妨设直线方程为 ogohogkxy 由 得 所以 1 39 22 yx kxy 2 2 2 2 2 31 9 31 9 k k y k x g g 2 2 2 31 99 k k og 同理可得 将中的换成可得 2 2 2 3 99 k k oh 2 ogk k 1 222 1 9 411 rohog 2 3 r 当与的斜率有一个不存在时 可得 ogoh 222 1 9 411 rohog 故满足条件的定圆方程为 4 9 22 yx 13 江苏省徐州市 2013 届高三期中模拟数学试题 如图 在平面直角坐标系 xoy 中 点a为椭圆 22 2 1 99 xy 的 右顶点 点 1 0 d 点 p b 在椭圆上 bp da 1 求直线bd的方程 2 求直线bd被过 p a b 三点的圆c截得的弦长 3 是否存在分别以 pb pa为弦的两个相外切的等圆 若存在 求出这两个圆的方程 若不存在 请说明 理由 答案 解 1 因为bp da 且 a 3 0 所以bp da 2 而 b p 关于 y 轴对称 所以点 p 的横 11 坐标为 1 从而得 1 2 1 2 pb 所以直线 bd 的方程为 10 xy 2 线段 bp 的垂直平分线方程为 x 0 线段 ap 的垂直平分线方程为 1yx 所以圆 c 的圆心为 0 1 且圆 c 的半径为 10r 又圆心 0 1 到直线 bd 的距离为 2d 所以直线bd被圆c截得的弦长 为 22 24 2rd 14 苏北三市 徐州 淮安 宿迁 2013 届高三第二次调研考试数学试卷 如图 在平面直角坐标系 中 椭圆的焦距为 2 且过点 xoy 0 1 2 2 2 2 ba b y a x e 2 6 2 1 求椭圆的方程 e 2 若点 分别是椭圆的左 右顶点 直线 经过点且垂直于轴 点是椭圆上异于 的abelbxpab 任意一点 直线交 于点apl m 设直线的斜率为直线的斜率为 求证 为定值 om 1 kbp 2 k 21k k 设过点垂直于的直线为 mpbm 求证 直线过定点 并求出定点的坐标 m a b m p o l x y m 12 答案 由题意得 所以 又 22c 1c 22 23 1 2ab 消去可得 解得或 舍去 则 a 42 2530bb 2 3b 2 1 2 b 2 4a 所以椭圆的方程为 e 22 1 43 xy 设 则 111 0 p x yy 0 2 my 0 1 2 y k 1 2 1 2 y k x 因为三点共线 所以 所以 8 分 a p b 1 0 1 4 2 y y x 2 011 12 2 11 4 2 2 2 4 y yy k k xx 因为在椭圆上 所以 故为定值 11 p x y 22 11 3 4 4 yx 2 1 12 2 1 43 2 4 2 y k k x 直线的斜率为 直线的斜率为 bp 1 2 1 2 y k x m 1 1 2 m x k y 则直线的方程为 m 1 0 1 2 2 x yyx y 1111 0 1111 222 2 4 2 2 xxxy yxyx yyyx 22 111 111 22 4 4 2 xxy x yxy 22 111 111 22 4 123 2 xxx x yxy 11 11 22xx x yy 1 1 2 1 x x y 所以直线过定点 m 1 0 15 苏北老四所县中 2013 届高三新学期调研考试 已知椭圆的中心为坐标原点 o 椭圆短半轴长为 1 动点 在直线上 2 mt 0 t 2 a xa c 为长半轴 c为半焦距 1 求椭圆的标准方程 2 求以om为直径且被直线截得的弦长为 2 的圆的方程 3450 xy 3 设f是椭圆的右焦点 过点f作om的垂线与以om为直径的圆交于点n 求证 线段on的长为 定值 并求出这个定值 答案 解 1 又由点 m 在准线上 得故 2 2 a c 2 1 2 c c 从而 所以椭圆方程为 1c 2a 2 2 1 2 x y 2 以 om 为直径的圆的方程为 2 0 x xy yt 13 即 其圆心为 半径 2 22 1 1 24 tt xy 1 2 t 2 1 4 t r 因为以 om 为直径的圆被直线截得的弦长为 23450 xy 所以圆心到直线的距离 3450 xy 2 1dr 2 t 所以 解得 325 52 tt 4t 所求圆的方程为 22 1 2 5xy 3 设 则 00 n xy 00 0000 1 2 2 fnxyomt mnxyt onxy 0000 2 1 0 22fnomxtyxty 2 2 00000000 2 0 22mnonx xyytxyxty 所以 为定值 22 00 2onxy 16 常州市 2013 届高三教学期末调研测试数学试题 如图 在平面直角坐标系 xoy 中 已知分别是 12 f f 椭圆e 的左 右焦点 a b分别是椭圆 e 的左 右顶点 且 22 22 1 0 xy ab ab 22 50afbf 1 求椭圆e的离心率 2 已知点为线段的中点 m 为椭圆上的动点 异于点 连接并延长交椭圆 1 0d 2 ofeab 1 mf 于点 连接 并分别延长交椭圆于点 连接 设直线 的斜率存enmdndepqpqmnpq 在且分别为 试问是否存在常数 使得恒成立 若存在 求出的值 若不存在 说 1 k 2 k 12 0kk 明理由 14 答案 解 1 化简得 22 50afbf 22 5aff b 5acac 23ac 故椭圆e的离心率为 2 3 2 存在满足条件的常数 点为线段的中点 从而 左焦点 4 7 l 1 0d 2 of2c 3a 5b 椭圆e的方程为 设 则直线的方 1 2 0f 22 1 95 xy 11 m x y 22 n xy 33 p xy 44 q xymd 程为 代入椭圆方程 整理得 1 1 1 1 x xy y 22 1 95 xy 211 2 11 51 40 xx yy yy 11 13 1 1 5 yx yy x 从而 故点 同理 点 三点 1 3 1 4 5 y y x 1 3 1 59 5 x x x 11 11 594 55 xy p xx 22 22 594 55 xy q xx m 1 f 共线 从而 从而n 12 12 22 yy xx 122112 2x yx yyy 故 从而存在满足 12 12211212 34121 2 12 341212 12 44 57557 5959 444 55 yy x yx yyyyyyyxxk k xx xxxxxx xx 2 1 4 0 7 k k 条件的常数 4 7 l 17 江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷 如图 圆 o 与离心率为的椭圆 t 2 3 相切于点 m 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 1 0 求椭圆 t 与圆 o 的方程 过点 m 引两条互相垂直的两直线 与两曲线分别交于点 a c 与点 b d 均不重合 1 l 2 l 若 p 为椭圆上任一点 记点 p 到两直线的距离分别为 求的最大值 1 d 2 d 2 2 2 1 dd 若 求与的方程 mdmbmcma 43 1 l 2 l 答案 解 1 由题意知 解得可知 222 1 2 3 abcb a c 3 1 2 cba 15 椭圆的方程为与圆的方程 c1 4 2 2 y x o1 22 yx 2 设因为 则因为 00 yxp 1 l 2 l 2 0 2 0 22 2 2 1 1 yxpmdd1 4 2 0 2 0 y x 所以 3 16 3 1 3 1 44 2 0 2 0 2 0 2 2 2 1 yyydd 因为 所以当时取得最大值为 此时点 11 0 y 3 1 0 y 2 2 2 1 dd 3 16 3 1 3 24 p 3 设的方程为 由解得 1 l1 kxy 1 1 22 yx kxy 1 1 1 2 2 2 2 k k k k a 由解得 1 4 1 2 2 y x kxy 41 41 14 8 2 2 2 k k k k c 把中的置换成可得 12 分 ca k k 1 1 1 1 2 2 2 2 k k k k b 4 4 4 8 2 2 2 k k k k d 所以 1 2 1 2 2 2 2 k k k k ma 41 8 14 8 2 2 2 k k k k mc 1 2 1 2 22 kk k mb 4 8 4 8 22 kk k md 由得解得15 分 34ma mcmb md 4 4 41 3 22 2 kk k 2 k 所以的方程为 的方程为 1 l12 xy 2 l1 2 2 xy 或的方程为 的方程为16 分 1 l12 xy 2 l1 2 2 xy 18 江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研 一 数学试题 已知椭圆的左 右顶 2 2 1 4 x ey 点分别为 圆上有一动点 在轴的上方 直线交椭圆于点 a b 22 4xy ppx 1 0 cpaed 连结 dcpb 1 若 求的面积 0 90adc adc s 2 设直线 的斜率存在且分别为 若 求的取值范围 pbdc 1 k 2 k 12 kk 16 o p d a c x b y 答案 18 19 19 2011 年高考 江苏卷 如图 在平面直角坐标系中 分别是椭圆的顶点 过xoy m n1 24 22 yx 坐标原点的直线交椭圆于两点 其中在第一象限 过作轴的垂线 垂足为 连接 并延 p appxcac 长交椭圆于点 设直线的斜率为bpa k 1 若直线平分线段 求的值 pamnk 2 当时 求点到直线的距离 2k pabd 3 对任意 求证 0k papb 答案 命题立意 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质 直线方程 直线的垂直关系 点 到直线的距离等基础知识 考查运算求解能力和推理论证能力 解析 由题设知 故 2 2 ba 2 0 0 2 nm 所以线段 mn 的中点坐标为 由于直线 pa 平分线段 mn 故直线 pa 过线段 mn 的中点 又直线 2 2 1 pa 过坐标原点 所以 2 2 1 2 2 k 2 直线 pa 的方程为 代入椭圆方程得 解得 因此 于xy2 1 2 4 4 22 xx 3 2 x 3 4 3 2 3 4 3 2 ap 是 直线 ac 的斜率为 故直线 ab 的方程为 因此 0 3 2 c1 3 2 3 2 3 4 0 0 3 2 yx 3 22 11 3 2 3 4 3 2 22 d 3 将直线 pa 的方程代入 解得 kxy 1 24 22 yx 2 21 2 k x 记 则 于是 故直线 ab 的斜率为 其方程为 2 21 2 k kakp 0 c 2 0kk 代入椭圆方程得 解得或 2 x k y0 23 2 2 22222 kxkxk 2 2 2 23 k k x y b a m n x p o c 20 因此 于是直线 pb 的斜率 x 2 2 23 2 3 2 2 k k k k b 因此 所以 kkk kkk k k k k k k 1 2 23 2 2 23 2 22 23 2 2 2 3 1 1 1 kkpapb 20 镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题 已知椭圆的中心在原点 长轴在x轴上 右顶点o 到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为 不过a点的动直线交椭圆于 2 0 a 2 31 2 yxm o p q两点 1 求椭圆的标准方程 2 证明p q两点的横坐标的平方和为定值 3 过点 a p q的动圆记为圆c 动圆c过不同于a的定点 请求出该定点坐标 答案 解 1 设椭圆的标准方程为 由题意得 01 2 2 2 2 ba b y a x 2 3 2 ea 椭圆的标准方程为 3 c1b 1 4 2 2 y x 2 证明 设点 2211 yxqyxp 将带入椭圆 化简得 mxy 2 1 0 1 22 22 mmxx 1 2 1212 2 2 1 xxmx xm 222 121212 24xxxxx x p q两点的横坐标的平方和为定值 4 3 法一 设圆的一般方程为 则圆心为 22 0 xydxeyf 22 de pq中点m pq的垂直平分线的方程为 2 m m mxy 2 3 2 圆心 满足 所以 2 2 ed mxy 2 3 2 3 22 e dm 2 圆过定点 2 0 所以 420df 3 圆过 则 两式相加得 1122 p xyq xy 22 1111 22 2222 0 0 xydxeyf xydxeyf 2222 12121212 20 xxyydxdxeyeyf 22 22 12 121212 1 1 20 44 xx xxd xxe yyf 21 12 yym 5220mdmef 4 因为动直线与椭圆 c 交与p q 均不与a点重合 所以 1 2 yxm 1 m 由解得 2 3 4 3 1 3335 42222 m demfm 代入圆的方程为 22 3 1 3335 0 42222 m xyxmym 整理得 22 335333 0 422422 xyxymxy 所以 解得 或 舍 22 335 0 422 333 0 422 xyxy xy 0 1 x y 2 0 x y 所以圆过定点 0 1 法二 设圆的一般方程为 将代入的圆的方程 22 0 xydxeyf mxy 2 1 0 24 5 22 fmemx e dmx 5 方程与方程为同解方程 1 5 2 2 122 1 5 42 e mmef md mm 圆过定点 2 0 所以 024 fd 因为动直线与椭圆 c 交与p q 均不与a点重合 所以 mxy 2 1 1 m 解得 以下相同 3 1 3335 42222 m demfm 说明 本题考查圆锥曲线的基本量间关系 直线与圆锥曲线的位置关系 考查定点定值问题 考查运 算求解能力和推理论证能力 21 江苏省 2013 届高三高考压轴数学试题 在直角坐标系xoy上取两个定点 12 2 0 2 0 aa 再取两 个动点 1 0 nm 2 0 nn 且3mn 求直线 11 an与 22 a n交点的轨迹m的方程 已知点 1 at 0t 是轨迹m上的定点 e f是轨迹m上的两个动点 如果直线ae的斜率 ae k与直线af的斜率 af k满足0 aeaf kk 试探究直线ef的斜率是否是定值 若是定值 求出这个 定值 若不是 说明理由 答案 22 22 南京市 盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数学试题 如图 在平面直角坐标系 xoy 中 已 23 知椭圆 22 22 1 0 xy cab ab 经过点m 3 2 2 椭圆的离心率 2 2 3 e 1 f 2 f 分别是椭圆 的左 右焦点 1 求椭圆c的方程 2 过点m作两直线与椭圆c分别交于相异两点a b 若直线ma过坐标原点o 试求 2 maf 外接圆的方程 若 amb 的平分线与 y 轴平行 试探究直线ab的斜率是否为定值 若是 请给予证明 若不是 请说明理由 答案 解 1 由 2 2 3 e 222 22 8 9 cab aa 得 22 9ab 故椭圆方程为 22 22 1 9 xy bb 3 分 又椭圆过点 3 2 2 m 则 22 182 1 9bb 解得 2 4b 所以椭圆的方程为 22 1 364 xy 2 记 12 mff 的外接圆的圆心为t 因为 1 3 om k 所以ma的中垂线方程为 3yx 又由 3 2 2 m 2 f 4 2 0 得 1 mf 的中点为 7 22 22 而 2 1 mf k 所以 2 mf 的中垂线方程为 3 2yx 由 3 3 2 yx yx 得 3 29 2 44 t 所以圆 t 的半径为 22 3 29 25 5 4 20 442 故 2 maf 的外接圆的方程为 22 3 29 2125 444 xy 说明 该圆的一般式方程为 22 3 29 2 200 22 xxyy 24 3 设直线ma的斜率为k 11 a x y 22 b xy 由题直线ma与mb的斜率互为相反数 直线mb的斜率为 k 联立直线ma与椭圆方程 22 23 2 1 364 ykxk xy 整理得 222 9118 21 3162108180kxkk xkk 得 2 1 2 18 2 3 3 2 91 kk x k 所以 2 2 2 18 2 3 3 2 91 kk x k 整理得 21 2 36 2 91 k xx k 2 21 2 108 2 6 2 91 k xx k 又 212221 23 223 26 2yykxkkxkk xxk 3 22 10812 2 12 2 9191 kk k kk 所以 2 21 21 2 12 2 1 91 336 2 91 ab k yy k k xxk k 为定值 23 苏州市第一中学 2013 届高三 三模 数学试卷及解答 已知椭圆过点 0 1 2 2 2 2 1 ba b y a x c 且它的离心率 直线与椭圆交于 两点 3 2 2 1 etkxyl 1 cmn 求椭圆的标准方程 当时 求证 两点的横坐标的平方和为定值 2 3 kmn 若直线 与圆相切 椭圆上一点满足 求实数的取值l1 1 22 2 yxcpoponom 范围 ox y m n 答案 解 设椭圆的标准方程为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 25 由已知得 解得 222 22 2 1 1 34 bac a c ba 6 8 2 2 b a 所以椭圆的标准方程为 1 68 22 yx 由 得 设 1 68 2 3 22 yx txy 0244346 22 ttxx 11 yxm 22 yxn 则 为定值 8 6 244 2 6 34 2 2 2 21 2 21 2 2 2 1 tt xxxxxx 因为直线与圆相切 tkxyl 1 1 22 yx 所以 0 1 21 1 2 2 t t t k k kt 把代入并整理得 tkxy 1 68 22 yx 02448 43 222 tktxxk 设 则有 2211 yxnyxm 2 21 43 8 k kt xx 2 212121 43 6 2 k t txxktkxtkxyy 因为 所以 2121 yyxxop 43 6 43 8 22 k t k kt p 又因为点在椭圆上 所以 p1 43 6 43 8 222 2 222 22 k t k tk 因为 所以 1 1 1 2 43 2 2 2 2 2 2 2 tt k t 0 2 t11 1 1 2 2 2 tt 所以 所以 的取值范围为 20 2 2 0 0 2 24 江苏省南京市 2013 届高三 9 月学情调研试题 数学 word 版 在平面直角坐标系xoy中 椭圆c 1 a b 0 的左 右顶点分别为a b 离心率为 右准线为l x 4 m为椭圆上不同于a b的一点 直 x2 a2 y2 b2 1 2 线am与直线l交于点p 26 1 求椭圆c的方程 2 若 判断点b是否在以pm为直径的圆上 并说明理由 am mp 3 连结pb并延长交椭圆c于点n 若直线mn垂直于x轴 求点m的坐标 a b p m n x y o 第 18 题 答案 解 1 由解得所以b2 3 a 2 c 1 所以椭圆方程为 1 x2 4 y2 3 2 因为 所以xm 1 代入椭圆得ym 即m 1 am mp 3 2 3 2 所以直线am为 y x 2 得p 4 3 1 2 所以 1 2 3 bm 3 2 bp 因为 0 所以点b不在以pm为直径的圆上 bm bp 5 2 3 因为mn垂直于x轴 由椭圆对称性可设m x1 y1 n x1 y1 直线am的方程为 y x 2 所以yp y1 x1 2 6y1 x1 2 直线bn的方程为 y x 2 所以yp y1 x1 2 2y1 x1 2 所以 因为y1 0 所以 解得x1 1 6y1 x1 2 2y1 x1 2 6 x1 2 2 x1 2 所以点m的坐标为 1 3 2 25 江苏省扬州市 2013 届高三下学期 5 月考前适应性考试数学 理 试题 椭圆c的右焦点为f 右准 线为l 离心率为 3 2 点a在椭圆上 以f为圆心 fa为半径的圆与l的两个公共点是 b d 1 若fbd 是边长为2的等边三角形 求圆的方程 27 2 若 a f b三点在同一条直线m上 且原点到直线m的距离为2 求椭圆方程 答案 解 设椭圆的半长轴是a 半短轴是b 半焦距离是c 由椭圆c的离心率为 3 2 可得椭圆c方程是 22 22 1 4 xy bb 只要是一个字母 其它形式同样得分 焦点 3 0 fb 准线 4 3 b x 设点 00 a xy 1 fbd 是边长为2的等边三角形 则圆半径为2 且f到直线l的距离是3 又f到直线l的距离是 22 3 abb fmc cc 所以 3 3 b 3b 所以3 3c 所以 圆的方程是 22 3 3 4xy 2 因为 a f b三点共线 且f是圆心 所以f是线段ab中点 由b点横坐标是 4 3 b 得 2 0 42 22 333 33 a xcbbb c 再由 22 00 22 1 4 xy bb 得 2 222 0 0 2 43 x ybb 0 6 3 yb 所以直线m斜率 0 0 6 3 2 3 3 b y k xcb 直线m 2 yxc 220 xyc 28 原点o到直线m的距离 2 3 c d 依题意 2 2 3 c 6c 所以2b 所以椭圆的方程是 22 1 82 xy 26 江苏省徐州市 2013 届高三上学期模底考试数学试题 已知椭圆e 的左顶点为 22 22 1 0 xy ab ab a 左 右焦点分别为f1 f2 且圆c 过a f2两点 22 3360 xyxy 1 求椭圆e的方程 2 设直线pf2的倾斜角为 直线pf1的倾斜角为 当 时 证明 点 2 3 p在一定圆上 答案 解 1 圆与x轴交点坐标为 22 3360 xyxy 2 3 0 a 2 3 0 f 故 所以 椭圆方程是 2 3 3ac 3b 22 1 129 xy 2 设点 p x y 因为 0 0 1 f 3 2 f 3 设点 p x y 则 tan tan 1 pf k 2 pf k 因为 所以 tan 2 33 因为 tan tan tan 1 tan tan 所以 化简得x2 y2 2y 3 3 所以点p在定圆x2 y2 2y 3 上 27 徐州 宿迁市 2013 届高三年级第三次模拟考试数学试卷 如图 在平面直角坐标系中 已知椭xoy 圆 的离心率 分别是椭圆的左 右两个顶点 圆的半径为e 22 22 1 0 xy ab ab 3 2 e 12 a ae 2 a 过点作圆的切线 切点为 在轴的上方交椭圆于点 a 1 a 2 apxeq 求直线的方程 op 求的值 1 pq qa 设为常数 过点作两条互相垂直的直线 分别交椭圆于点 分别交圆于点 记aoe b c 2 a mn 和的面积分别为 求的最大值 obc omn 1 s 2 s 12 ss 29 a1a2o p q m n b c x y 第 18 题图 答案 连结 则 且 2 a p 21 a pap 2 a pa 又 所以 12 2a aa 12 60a a p 所以 所以直线的方程为 2 60poa op3yx 由 知 直线的方程为 的方程为 2 a p3 yxa 1 ap 3 3 yxa 联立解得 2 p a x 因为 即 所以 故椭圆的方程为 3 2 e 3 2 c a 22 3 4 ca 22 1 4 ba e 22 22 4 1 xy aa 由解得 22 22 3 3 4 1 yxa xy aa 7 q a x 所以 1 3 27 4 7 aa pq a qa a 不妨设的方程为 om 0 ykx k 联立方程组解得 22 22 4 1 ykx xy aa 22 1414 aak b kk 所以 2 2 1 14 k oba k 用代替上面的 得 1 k k 2 2 1 4 k oca k 30 同理可得 2 2 1 a om k 2 2 1 ak on k 所以 4 12 22 1 4 14 4 k ssob oc om ona kk 因为 22 2 2 11 1 5 14 4 4 17 k kk k k 当且仅当时等号成立 所以的最大值为 1k 12 ss 4 5 a 28 江苏省连云港市 2013 届高三上学期摸底考试 数学 选修历史 如图 已知中心在原点且焦点在 x 轴上的椭圆 e 经过点 a 3 1 离心率 6 3 e 1 求椭圆 e 的方程 2 过点 a 且斜率为 1 的直线交椭圆 e 于 a c 两点 过原点 o 与 ac 垂直的直线交椭圆 e 于 b d 两点 求证 a b c d 四点在同一个圆上 答案 解 1 设椭圆方程为 22 22 1 xy ab 因为离心率 6 3 e 所以 22 3ab 所以椭圆方程为 22 22 1 3 xy bb 又因为经过点 3 1 a 则 22 91 1 3bb 所以 2 4b 所以椭圆的方程为 22 1 124 xy 31 29 南京市 淮安市 2013 届高三第二次模拟考试数学试卷 在平面直角坐标系中 椭圆 c xoy 过点 22 22 1 0 xy ab ab 3 1 2 2 a a ab 1 求椭圆 c 的方程 2 已知点在椭圆 c 上 f 为椭圆的左焦点 直线的方程为 00 p xy 00 360 x xy y 求证 直线与椭圆 c 有唯一的公共点 若点 f 关于直线的对称点为 q 求证 当点 p 在椭圆 c 上运动时 直线 pq 恒过定点 并求出此定点的坐 标 答案 32 30 江苏省泰州市 2012 2013 学年度第一学期期末考试高三数学试题 直角坐标系中 已知椭圆xoy c 33 答案 1 p 5 3a 5 4b kop 1 4b2 3a2 4 a2 c2 a2 4c2 e 22b a k 2 1 2 mn 7 214 22 11 2 ba 12 7 22 22 ba ba 由 得 a2 4 b2 3 1 34 22 yx 3 cos cos rqrf rqrf 1 1 rqrf rqrf 2 2 2 0 2 0 0000 2 0 2 0 0000 1 1 1 1 yx ytxyx yx ytxyx 34 化简得 t y0 3 1 0 y0y 2 22 1 22 1 111 2 11 221 221 0 2 2 1 x mmy mymyy m myx 22 2 222 22 11111 22 211 22 10 1 22 mm m mm afxymyym mm 同理 22 2 2 211 2 mm m bf m 36 a bo f i 由 得 2 12 2 21 2 m m afbf m 解 2 2 216 22 m m m 得 2 m 2 注意到0m 2m 直线 1 af的斜率为 12 2m ii 证明 1 af 2 bf 2 11 bfpb pfaf 即 2121 1111 11 bfpbpfbfafpb pfafpfaf 1 11 12 af pfbf afbf lby lfx 由点b在椭圆上知 12 2 2bfbf 1 12 12 2 2 af pfbf afbf 同理 2 21 12 2 2 bf pfaf afbf 122 1221 121212 2 2 22 22 2 afbfaf bf pfpfbfaf afbfafbfafbf a 由 得 2 1 2 2 21 2 m afbf m 2 2 1 2 m af bf m a 12 23 2 2 2 22 pfpf 12 pfpf 是定值 33 2010 年高考 江苏 在平面直角坐标系中 如图 已知椭圆的左右顶点为 a b 右xoy1 59 22 yx 焦点为 f 设过点 t 的直线 ta tb 与椭圆分别交于点 m 其中 m 0 mt 11 yx 22 yxn 0 0 21 yy 设动点 p 满足 求点 p 的轨迹4 22 pbpf 设 求点 t 的坐标 3 1 2 21 xx 设 求证 直线 mn 必过 x 轴上的一定点9 t 其坐标与 m 无关 答案 1 由题知 则 2 0 3 0 fap x y设 2222 2 3 4 9 2 xyxy x 化简整理得 37 2 把代入椭圆方程分别求出 12 1 2 3 xx 51 20 2 339 mn 直线 1 3 3 amyx 直线 5 3 6 bnyx 联立得 9 10 77 t 3 9 tm 直线 与椭圆联立得 3 12 m ta yx 2 22 3 80 40 8080 m m mm 直线 与椭圆联立得 3 6 m tb yx 2 22 3 20 20 2020 m n mm 直线 2 22 2222 22 4020 203 20 8020 203 80 3 20 20 8020 m mm mnyx mmmm mm 化简得 2 222 20103 20 204020 m yx mmm 令定点 1 0 0 1 yxmnx 解得即直线过轴上 34 苏州市 2012 2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷 如图 在平面直角坐标系xoy中 已知点f是椭圆 22 22 1 0 xy eab ab 的左焦点 a b c分别 为椭圆e的右 下 上顶点 满足5fc ba a 椭圆的离心率为 1 2 1 求椭圆的方程 2 若p为线段fc 包括端点 上任意一点 当pa pb a取得最小值时 求点p的坐标 3 设点m为线段bc 包括端点 上的一个动点 射线mf交椭圆于点n 若nffm 求实数 的取值范围 38 o m n a c x b y 答案 35 连云港市 2012 2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷 已知椭圆c a b 0 的上 22 22 1 xy ab 顶点为a 左 右焦点分别为f1 f2 且椭圆c过点p 以ap为直径的圆恰好过右焦点f2 4 3 b 3 39 1 求椭圆c的方程 2 若动直线l与椭圆c有且只有一个公共点 试问 在轴上是否存在两定点 使其到直线l的距离之x 积为 1 若存在 请求出两定点坐标 若不存在 请说明理由 x y of2 第 18 题图 p a f1 1 答案 解 1 因为椭圆过点p 所以 1 解得a2 2 4 3 b 3 16 9a2 1 9 又以ap为直径的圆恰好过右焦点f2 所以af2 f2p 即 1 b2 c 4 3c b c b 3 4 3 c 而b2 a2 c2 2 c2 所以c2 2c 1 0 解得c2 1 故椭圆c的方程是 y2 1 x2 2 2 当直线l斜率存在时 设直线l方程为y kx p 代入椭圆方程得 1 2k2 x2 4kpx 2p2 2 0 因为直线l与椭圆c有只有一个公共点 所以 16k2p2 4 1 2k2 2p2 2 8 1 2k2 p2 0 即 1 2k2 p2 设在x轴上存在两点 s 0 t 0 使其到直线l的距离之积为 1 则 1 ks p k2 1 kt p k2 1 k2st kp