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第六章数列 6 2等差数列 高考数学 浙江专用 考点一等差数列的有关概念及运算1 2017课标全国 理 4 5分 记sn为等差数列 an 的前n项和 若a4 a5 24 s6 48 则 an 的公差为 a 1b 2c 4d 8 五年高考 答案c本题考查等差数列基本量的计算与性质的综合应用 等差数列 an 中 s6 48 则a1 a6 16 a2 a5 又a4 a5 24 所以a4 a2 2d 24 16 8 得d 4 故选c 方法总结求解此类题时 常用sn 求出a1 an的值 再结合等差数列中 若m n p q n m n p q 则am an ap aq 的性质求解数列中的基本量 2 2017课标全国 理 4 5分 记sn为等差数列 an 的前n项和 若a4 a5 24 s6 48 则 an 的公差为 a 1b 2c 4d 8 答案c本题考查等差数列基本量的计算与性质的综合应用 等差数列 an 中 s6 48 则a1 a6 16 a2 a5 又a4 a5 24 所以a4 a2 2d 24 16 8 得d 4 故选c 方法总结求解此类题时 常用sn 求出a1 an的值 再结合等差数列中 若m n p q n m n p q 则am an ap aq 的性质求解数列中的基本量 3 2017课标全国 理 9 5分 等差数列 an 的首项为1 公差不为0 若a2 a3 a6成等比数列 则 an 前6项的和为 a 24b 3c 3d 8 答案a本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式 设等差数列 an 的公差为d 依题意得 a2 a6 即 1 2d 2 1 d 1 5d 解得d 2或d 0 舍去 又a1 1 s6 6 1 2 24 故选a 4 2016浙江 6 5分 如图 点列 an bn 分别在某锐角的两边上 且 anan 1 an 1an 2 an an 2 n n bnbn 1 bn 1bn 2 bn bn 2 n n p q表示点p与q不重合 若dn anbn sn为 anbnbn 1的面积 则 a sn 是等差数列b 是等差数列c dn 是等差数列d 是等差数列 答案a不妨设该锐角的顶点为c a1cb1 a1c a 依题意 知a1 a2 an顺次排列 设 anan 1 b bnbn 1 c 则 can a n 1 b 作andn cbn于dn 则 andn a n 1 b sin 于是sn bnbn 1 andn c a n 1 b sin bcsin n a b csin 易知sn是关于n的一次函数 所以 sn 成等差数列 故选a 5 2015浙江 3 5分 已知 an 是等差数列 公差d不为零 前n项和是sn 若a3 a4 a8成等比数列 则 a a1d 0 ds4 0b a1d0 ds40 答案b由 a3a8 得 a1 2d a1 7d a1 3d 2 整理得d 5d 3a1 0 又d 0 a1 d 则a1d d2 0 又 s4 4a1 6d d ds4 d2 0 故选b 6 2016课标全国 3 5分 已知等差数列 an 前9项的和为27 a10 8 则a100 a 100b 99c 98d 97 答案c设 an 的公差为d 由等差数列前n项和公式及通项公式 得解得 an a1 n 1 d n 2 a100 100 2 98 故选c 方法总结已知条件中有具体的an sn的值时 通常用基本元素法处理 即在a1 d n an sn这5个量中知三求二 7 2015重庆 2 5分 在等差数列 an 中 若a2 4 a4 2 则a6 a 1b 0c 1d 6 答案b设数列 an 的公差为d 由a4 a2 2d a2 4 a4 2 得2 4 2d d 1 a6 a4 2d 0 故选b 8 2016江苏 8 5分 已知 an 是等差数列 sn是其前n项和 若a1 3 s5 10 则a9的值是 答案20 解析设等差数列 an 的公差为d 则由题设可得解得从而a9 a1 8d 20 评析数列的计算求值问题一般应以 基本元素 为主 9 2016北京 12 5分 已知 an 为等差数列 sn为其前n项和 若a1 6 a3 a5 0 则s6 答案6 解析设等差数列 an 的公差为d a1 6 a3 a5 0 6 2d 6 4d 0 d 2 s6 6 6 2 6 评析本题考查等差数列的前n项和公式 属容易题 10 2014浙江文 19 14分 已知等差数列 an 的公差d 0 设 an 的前n项和为sn a1 1 s2 s3 36 1 求d及sn 2 求m k m k n 的值 使得am am 1 am 2 am k 65 解析 1 由题意知 2a1 d 3a1 3d 36 将a1 1代入上式解得d 2或d 5 因为d 0 所以d 2 从而an 2n 1 sn n2 n n 2 由 1 得am am 1 am 2 am k 2m k 1 k 1 所以 2m k 1 k 1 65 由m k n 知2m k 1 k 1 1 故所以 评析本题主要考查等差数列的概念 通项公式 求和公式等基础知识 同时考查运算求解能力 11 2016山东 18 12分 已知数列 an 的前n项和sn 3n2 8n bn 是等差数列 且an bn bn 1 1 求数列 bn 的通项公式 2 令cn 求数列 cn 的前n项和tn 方法总结若某数列的通项是等差数列与等比数列的通项的积或商 则该数列的前n项和可以采用错位相减法求解 注意相减后的项数容易出错 评析本题主要考查了等差数列及前n项和 属中档题 12 2014大纲全国 18 12分 等差数列 an 的前n项和为sn 已知a1 10 a2为整数 且sn s4 1 求 an 的通项公式 2 设bn 求数列 bn 的前n项和tn 解析 1 由a1 10 a2为整数知 等差数列 an 的公差d为整数 又sn s4 故a4 0 a5 0 于是10 3d 0 10 4d 0 解得 d 因此d 3 数列 an 的通项公式为an 13 3n 6分 2 bn 8分 于是tn b1 b2 bn 12分 评析本题考查了等差数列的定义及其前n项和 裂项相消法求数列前n项和 第 1 问的解题关键在于分析已知条件 a2为整数 sn s4 所隐含的条件 在第 2 问中 对通项公式bn进行裂项过程中易漏了系数而导致错解 13 2014福建 3 5分 等差数列 an 的前n项和为sn 若a1 2 s3 12 则a6等于 a 8b 10c 12d 14 以下为教师用书专用 答案c设 an 的公差为d s3 3a2 12 a2 4 a1 2 d a2 a1 4 2 2 a6 a1 5d 12 故选c 14 2014辽宁 8 5分 设等差数列 an 的公差为d 若数列 为递减数列 则 a d0c a1d0 答案c 为递减数列 可知 a1an 也为递减数列 又a1an a1 n 1 d a1dn a1d 故a1d 0 故选c 15 2013广东 12 5分 在等差数列 an 中 已知a3 a8 10 则3a5 a7 答案20 解析设等差数列的公差为d 则a3 a8 2a1 9d 10 3a5 a7 4a1 18d 2 2a1 9d 20 考点二等差数列的性质及应用1 2017浙江 6 4分 已知等差数列 an 的公差为d 前n项和为sn 则 d 0 是 s4 s6 2s5 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 答案c本题考查充分必要条件的判断 等差数列的概念 数列前n项和与通项的关系 考查运算求解能力 解法一 s4 s6 2s5等价于 s6 s5 s4 s5 0 等价于a6 a5 0 等价于d 0 故选c 解法二 sn na1 n n 1 d s4 s6 2s5 4a1 6d 6a1 15d 2 5a1 10d d 即s4 s6 2s5等价于d 0 故选c 2 2015北京 6 5分 设 an 是等差数列 下列结论中正确的是 a 若a1 a2 0 则a2 a3 0b 若a1 a3d 若a10 答案c因为 an 为等差数列 所以2a2 a1 a3 当a2 a1 0时 得公差d 0 a3 0 a1 a3 2 2a2 2 即a2 故选c 3 2017课标全国 理 15 5分 等差数列 an 的前n项和为sn a3 3 s4 10 则 答案 解析本题主要考查等差数列基本量的计算及裂项相消法求和 设公差为d 则 an n 前n项和sn 1 2 n 2 21 2 2 思路分析求出首项a1和公差d 从而求出sn 2 从而运用裂项相消法求和即可 解后反思裂项相消法求和的常见类型 若 an 是等差数列 则 d 0 4 2015广东 10 5分 在等差数列 an 中 若a3 a4 a5 a6 a7 25 则a2 a8 答案10 解析利用等差数列的性质可得a3 a7 a4 a6 2a5 从而a3 a4 a5 a6 a7 5a5 25 故a5 5 所以a2 a8 2a5 10 5 2014北京 12 5分 若等差数列 an 满足a7 a8 a9 0 a7 a10 0 则当n 时 an 的前n项和最大 答案8 解析根据题意知a7 a8 a9 3a8 0 即a8 0 又a8 a9 a7 a10 0 a9 0 当n 8时 an 的前n项和最大 6 2014江苏 20 16分 设数列 an 的前n项和为sn 若对任意的正整数n 总存在正整数m 使得sn am 则称 an 是 h数列 1 若数列 an 的前n项和sn 2n n n 证明 an 是 h数列 2 设 an 是等差数列 其首项a1 1 公差d 0 若 an 是 h数列 求d的值 3 证明 对任意的等差数列 an 总存在两个 h数列 bn 和 cn 使得an bn cn n n 成立 评析本题主要考查数列的概念 等差数列等基础知识 考查探究能力及推理论证能力 以下为教师用书 7 2013辽宁 4 5分 下面是关于公差d 0的等差数列 an 的四个命题 p1 数列 an 是递增数列 p2 数列 nan 是递增数列 p3 数列是递增数列 p4 数列 an 3nd 是递增数列 其中的真命题为 a p1 p2b p3 p4c p2 p3d p1 p4 答案d an 是等差数列 则an a1 n 1 d dn a1 d 因为d 0 所以 an 是递增数列 故p1正确 对p2 举反例 令a1 3 a2 2 d 1 则a1 2a2 故 nan 不是递增数列 p2不正确 d 当a1 d 0时 递减 p3不正确 an 3nd 4nd a1 d 4d 0 an 3nd 是递增数列 p4正确 故p1 p4是正确的 选d 8 2013课标全国 7 5分 设等差数列 an 的前n项和为sn 若sm 1 2 sm 0 sm 1 3 则m a 3b 4c 5d 6 答案c解法一 sm 1 2 sm 0 sm 1 3 am sm sm 1 2 am 1 sm 1 sm 3 公差d am 1 am 1 由sn na1 d na1 得由 得a1 代入 可得m 5 解法二 数列 an 为等差数列 且前n项和为sn 数列也为等差数列 即 0 解得m 5 经检验为原方程的解 故选c 1 2017浙江镇海中学阶段测试 一 3 在等差数列 an 中 sn为其前n项和 若s15 60 则3a9 a11的值为 a 4b 8c 12d 16 三年模拟 一 选择题 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 答案b由s15 15a8 60 得a8 4 则3a9 a11 2a8 8 2 2017浙江名校 绍兴一中 交流卷一 3 已知等差数列 an 满足a1 a2 a3 a2017 0 则有 a a1 a2017 0b a2 a2016 0c a3 a2015 0d a1009 1009 答案c由 an 是等差数列得a1 a2 a3 a2017 0 所以a3 a2015 a1 a2017 0 故选a 3 2017浙江金华十校调研 6 若等差数列 an 的公差为d 前n项和为sn 记bn 则 a 数列 bn 是等差数列 且公差为db 数列 bn 是等差数列 且公差为2dc 数列 an bn 是等差数列 且公差为dd 数列 an bn 是等差数列 且公差为 答案d由题可设an a1 n 1 d 则sn na1 d 所以bn a1 n 1 因此排除选项a b an bn 2a1 d n 1 因此排除选项c an bn d n 1 d正确 4 2016浙江五校第一次联考 6 已知等差数列 an 的公差d 0 且a1 a3 a13成等比数列 若a1 1 sn为数列 an 的前n项和 则的最小值为 a 4b 3c 2 1d 答案a由题意得 a1 2d 2 a1 a1 12d 1 2d 2 1 12d d 2 d 0舍去 an a1 n 1 d 2n 1 sn n2 n 1 2 2 2 4 当且仅当n 1 即n 2时等号成立 所以的最小值为4 故选a 5 2017浙江名校新高考研究联盟测试一 4 已知sn是等差数列 an 的前n项和 且s2 s7 s6 sk 则k的值为 a 2b 3c 4d 5 答案b由s2 s7 得a3 a4 a5 a6 a7 0 即5a5 0 a5 0 又s6 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a1 a2 a3 3a5 a1 a2 a3 s3 故k 3 故选b 6 2015浙江温州十校期中 7 设等差数列 an 的前n项和为sn 若s6 s7 s5 则满足snsn 1 0的正整数n的值为 a 13b 12c 11d 10 答案b由s6 s7 s5 得a7 s7 s60 a6 a7 s7 s5 0 从而有s13 13a70 s12 12 6 a6 a7 0 从而有n 12时 sn 0 n 13时 sn 0 即满足题意的正整数n 12 故选b 7 2015浙江冲刺卷四 2 已知等差数列 an 共有11项 其中奇数项之和为30 则偶数项之和为 a 10b 15c 20d 25 答案d奇数项有6项 其和为 6 30 即6a6 30 得a6 5 a2 a4 a6 a8 a10 5a6 25 8 2017浙江台州质量评估 13 已知公差不为0的等差数列 an 若a2 a4 10且a1 a2 a5成等比数列 则a1 an 二 填空题 答案1 2n 1 解析设 an 的公差为d 由等差数列的性质知 a3 5 则5 2d 5 d 5 2d成等比数列 即 5 d 2 5 2d 5 2d 化简得d d 2 0 因为d 0 所以d 2 因而a1 1 所以an 2n 1 9 2017浙江宁波二模 5月 13 已知 an bn 是公差分别为d1 d2的等差数列 且an an bn bn anbn 若a1 1 a2 3 则an 若 bn 为等差数列 则d1d2 答案2n 1 0 解析因为 an bn 是公差分别为d1 d2的等差数列 所以 an 也为等差数列 所以an 1 n 1 2 2n 1 bn a1 n 1 d1 b1 n 1 d2 d1d2n2 a1d2 b1d1 2d1d2 n a1 d1 b1 d2 因为 bn 为等差数列 所以由等差数列的通项公式的特征可知 d1d2 0 10 2016浙江温州二模 11 已知等差数列 an 的公差为 3 且a3是a1和a4的等比中项 则通项an 数列 an 的前n项和sn的最大值为 答案 3n 15 30 解析由题意知 a3 6 a3 3 解得a3 6 所以an 6 n 3 3 15 3n 令an 0 得n 5 所以 s5 12 0 30 解析 1 证明 由题易知 an 0 对an 1 an 两边平方 并整理得 2 所以当n 2时 2n 2n 当n 1时 a1 故an n n 2 由 1 知 a2017 63 且 所以 2 2017 4034 1 4034 1 2 4 8 16 512 1024 4034 4096 642 因此 63 a2017 64 所以a2017 63 64 即m 63 12 2016浙江镇海中学高考模拟 5月卷 17 等差数列 an 的前n项和为sn 已知a1 2 s6 22 1 求sn 并求sn的最小值 2 若从 an 中抽取一个公比为q的等比数列 其中k1 1 且k1 k2 kn kn n 当q取最小值时 求 kn 的通项公式 解析 1 设数列 an 的公差为d 则s6 6a1 6 5d 22 又a1 2 可得d 所以sn 2分 因为sn n n 5 n n 所以当n 1时 sn取最小值2 6分 2 由 1 得an a1 n 1 d n 2 因为数列 an 是正项递增等差数列 所以数列 的公比q 1 若k2 2 则由a1 2 a2 得q 此时 2 由 n 2 解得n n 所以k2 2 同理可证得k2 3 10分 若k2 4 则由a1 2 a4 4 得q 2 此时 2 2n 1 2n 又因为 kn 2 所以 kn 2 2n 即kn 3 2n 1 2 14分 所以对任意正整数n 是数列 an 的第 3 2n 1 2 项 所以最小的公比q 2 此时kn 3 2n 1 2 15分 1 2017浙江杭州二模 4月 8 设 an 是等差数列 sn为其前n项和 若正整数i j k l满足i l j k i j k l 则 a aial ajakb aial ajakc sisl sjskd sisl sjsk 一 选择题 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 答案a设an tn s 则aial ajak ti s tl s tj s tk s t2 il jk t2 i i l i j j k j t2 i i l i j i l j t2 i j l j 因为i j k l 所以aial ajak 0 故选a 2 2017浙江模拟训练冲刺卷五 6 已知等差数列 an 的前n项和为sn 且a3 a5 1 a6成等差数列 a2 a4 1 a7 1成等比数列 则sn a n2 nb n2 nc n2d 2n2 答案c设等差数列 an 的公差为d 由a3 a5 1 a6成等差数列 得2 a1 4d 1 a1 2d a1 5d 解得d 2 由a2 a4 1 a7 1成等比数列 得 a1 5 2 a1 2 a1 11 解得a1 1 故sn na1 n n 1 d n2 3 2016浙江名校 杭州二中 交流卷三 6 在等差数列 an 中 10 则a3 a7的最大值为 a 8b 9c 10d 11 答案c令a2 cos a4 sin 则a3 a7 a2 a4 a2 3a4 cos 3 sin 10sin 10 所以a3 a7的最大值为10 故选c 4 2015浙江宁波十校联考 3 已知等差数列 an 的公差为2 项数为偶数 所有奇数项的和为15 所有偶数项的和
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