振动信号处理中数学形态滤波器频率响应特性研究.pdf

第 48 卷第 1 期 2 0 12 年 1 月 机械工程学报 Jo U R N A L O F M E C H A N IC A L E N G IN E E R IN G V o 1 4 8 N O 1 Jan 2 0 12 D o I l O 3 90 1 J ME 20 12 O 1 098 振动信号处理中数学形态滤波器 频率响应特性研究冰 胡爱军孙敬敬 向 玲 华北 电力大学 保定 机械工程系保定071003 摘要 数学形态学滤波方法作为一种非线性的滤波工具拥有良好的消噪特性和低通特性 准确描述形态学滤波器特性是其应 用的理论依据和前提条件 通过对给定的数学形态滤波器输入激励信号 得到了数学形态滤波器的频响特性 给出结构元素 宽度与形态学组合滤波器截止频率的对应关系表 研究表明 在采样频率确定时 结构元素宽度越大 截止频率越低 截止 频率随着结构元素宽度的增长而变小 并呈非线性关系 当结构元素宽度确定时 采样频率越大 截止频率越高 采样频率 与截止频率成正比例变化 仿真分析表明 形态学组合滤波器具有更好的滤波效果 且具有保相的突出优点 形态学滤波器 对实际故障信号的处理验证了结论的有效性 研究成果为形态学在振动信号处理中的应用提供了理论依据 关键词 振动数学形态学滤波器频率响应截止频率 中图分类号 T H 165 A n al y si s o f Morp h ol o gi c al F i l ter s F req u en c y R esp on se C h arac teri sti c s i n V i b rati o n S i g n a l P roc essi n g H U A ijun SU N Ji ngji ng X IA N G Li ng M ec hani c al Engi neeri ng D epartm ent N orth Chi na El ec tri c Pow er U ni versi ty B aodi ng 07 1 003 A b stra c t A s a n on l i n ear fi l teri ng to o l m orp ho l o gi c al fil terin g m eth o d has go od c h ar ac teristi c s su c h as n o i se sup pressi ng and l ow pass c h arac teristi c s A c c urate d esc ripti o n o f the m ath em ati c al m orp h ol ogi c al fil ter S c h ar ac teristi c s sup pl i e s th e theoreti c al basi s an d p rerequ i si te for i ts ap pl i c ati on T he fr eq uen c y respo nse c har ac teri sti c of th e c om b i n ed m o rp h ol og i c al fi l ter i s p resen ted by exc i tati on si g nal i n pu tted i n to th e g i v en m o rp h ol og i c al fil ter an d th e no rm al i z ed c u to ff fr equ enc y tab l e w i th struc tu re el em ents of d i ff eren t w i dth i s g i v en T h e re sear c h i n di c ates w hen th e sam p l i ng fr equ en c y i s fi x ed as th e w i dth o f th e stru c ture el em en t i n c rease s th e c u to ff fr equ enc y dec rease s T h e c uto ff fr equ enc y g ets sm al l er a s th e w i dth o f stru c tu re el em ent gm w s an d th e rel ati o nshi p betw een them i s nonl i near W hen the w i dth of th e struc ture el em ent i s fi xe as th e sampl i ng fr equenc y i nc reases the c utoff fr equenc y vari es d i rec tl y w i th th e sam p l i ng fr equ en c y T h e si m u l ati on resu l t show s th at th e m orp ho l o g i c al fi l ter h as better n oi se sup pressi n g an d ph ase k eep i ng ab i l i ty F i n al l y throu gh p roc essi n g th e fau l t si gnal by th e m o rp h ol og i c al fi l ter th e eff ec ti v ene ss o f the c o nc l u si on s i s v erifi ed T h e resu l ts su pp l y th e th eo reti c al basi s fo r the ap p l i c ati on of m ath em ati c a l m orp h ol ogy i n v i b rati on si gnal pro c essi n g K ey w o rd s V i brati o n Math em ati c a l m o rp h ol ogy F i l ter F req uen c y respo n se C utoff fr equ en c y 0 前言 数学形态学 卜 是基于积分几何和 随机集论建 立起来的非线性图像 信号 处理和分析工具 数学 形态变换通过探针 结构元素 探测 目标信号的各个 国家 自然科学基金 11072078 和 中央高校基本科研业务费专项资金 资助项 目 20110407 收到初稿 20111026 收到修改稿 位置 获取各部分信号的几何形状信息以及它们之 间的关系 从而提取信号特征 数学形态变换摒弃 了传统的数值建模及分析的观点 从集合的角度来 刻画和分析对象 广泛应用于图像处理 形状识别 计算机视觉等领域 取得 了很好的效果 j 形态学 变换对信号的处理完全在时域中进行 只取决于待 处理信号的局部形状特征 不需要信号的频域信息 其算法只有加减法和取极值计算 不涉及乘除法 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 2012 年 1 月 胡爱军等 振动信号处理中数学形态滤波器频率响应特性研究 运算速度快 近年来逐渐引用到一维信号处理领域 在电力系统 语音 心 以及振动信号处理 8 中得到 了逐步应用 由于一维信号处理 的数学形态 方法来源于形 态学图像处理 而一维信号 的特征 处理 目的及方 法与图像处理有很大的不同 针对一维信号 特别 是振动信号处理 研究形态变换的处理特点 准确 描述形态学滤波器的响应特性是其应用的理论依据 和前提条件 目前在一维信号处理的形态结构元素 构造 形状选择等方面 的研究取得 了一定成果 文 献 9 10 针对电力系统扰动信号 采用信噪比和滤波 误差等指标 评价不同形状 尺寸的结构元素的滤 波效果 并针对不同类型的干扰推荐了结构元素 文献 11 借鉴 中值滤波器幅频响应分析方法 l 给 出了膨胀运算 开运算和开一闭运算三种算子的幅 频特性 曲线 验证了三种算子的低通特性 从 已取 得的成果上看 目前 的研究多停 留在定性分析的层 面上 主要是针对某一具体信号滤波效果的分析 给 出的结构元素形状对比及组合方式 的建议 不具 普遍性 即使提出一些原则性 的结论也过于抽象 缺乏对形态滤波器准确 定量 统一的特性描述及 应用准则 形态学滤波作为一种非线性滤波器 不同于传 统的数字滤波器 不能借助公式推导传递 函数进而 得到其频响特性 本文基于振动信号处理中频响函 数测量原理 通过对给定的数学形态滤波器输入激 励信号 得到滤波器频率响应特性 通过研究结构 元素宽度 采样频率 分析点数与滤波特性间的定 量关系 给 出数学形态滤波器特性的定量描述 归 纳总结形态滤波器在振动信号处理中的应用准则 1 数学形态学的基本理论 数学形态学基本算子主要包括腐蚀运算 膨胀 运算 以及 以此为基础构造的开运算 闭运算等 这些算子 的定义如下 设原始信号 n 为定义在F 0 1 一 1 上 的 离 散 函 数 定 义 结 构 元 素 g n 为 G O 1 M 一 1 上的离散函数 且 则f n 关于g 的腐蚀和膨胀分别定义为 m i n f n 一g m 0 1 一1 1 0 g m ax f n m g m 0 1 M 一1 2 f n 关于g n 的开运算和闭运算分别定义为 厂og f O g 0 g 3 厂 g z 厂0 gO g n 4 式中 符号O 壬 o和 分别表示腐蚀 膨胀 开运算和闭运算 其中开运算可以抑制信号的正脉 冲 闭运算可 以抑制信号 的负脉冲 开运算 闭运 算本身以及它们的自由组合可以形成不同的形态学 滤波器 为了同时滤除信号中的正脉冲和负脉冲 通常采用形态开 形态 闭的级联形式 M A R A G O S 等 l 采用相 同尺寸的结构元素 通过不同顺序级联 开 闭运算 定义了形态开一 闭和 闭一开滤波器 Foc 厂 厂og g 5 Fc 0 厂 刀 f g og 6 由于开运算的收缩性导致开一闭滤波器的输 出偏小 闭运算的扩张性导致闭一开滤波器的输出 偏大 因而存在统计偏倚现象 如式 7 的开一 闭和 闭一开组合形态滤波器 l 3 避免了上述缺点 在振动 信号处理中取得了较好 的应用效果 因此本文 以此 为对象研究其滤波响应特性 1 g Fc o f n Foc 厂 7 2 数学形态滤波器的频率响应特性 2 1数学形态滤波器的低通特性 本文基于振动信号处理 中频响函数测量原理 借鉴非线性滤波器频响特性的分析方法 11 通过 对确 定 的数学形态滤 波器输入不 同频率 的激励 信 号 分析滤波器的稳态幅频响应随频率变化的一般 规律 得到数学形态滤波器的频率响应特性 设分析点数为 单频正弦信号的表达式为 sin 2 2 j n 0 1 一1 J 0 1 9 式中 采样频率 厂 正弦信号的频率 将式 8 定义 的正弦信号作为式 7 的形态学组 合滤波器的激励 其中频率 厂的范围按式 9 取值 等 l 2 即输 入 的单 频正 弦信 号 的频 率 厂的变 化 范 围为 f f 0 f 2冗 上 f 为正弦信号的初相位 为避免初始相 位 10 变化对分析结果的影响 借鉴 非线性 中值滤波器特性研究中相位平均的方法 12 对于每一个频率 厂下 的正弦信号初始相位变化 10 次 求 出每次相位下滤波器响应幅值 将 10 次幅值 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 100 机械工程学报 第 48 卷第 1期 求平均作为滤波器响应的结果 随着信号频率的变 化 将得到一系列平均值 将这些值作为纵坐标 频率值作为横坐标 从而得到幅频特性 2 2不同宽度的结构元素与截止频率的关系 取N 1 024 1H z 采用宽为 的直线型 结构元素 分别令L 2 3 5 8 1O 计算组合滤波 器的频率响应 并画出幅值为l 2 的水平直线 以 得到截止频率 如图 1 所示 i 型 馨 1 删 频率厂 Hz 图 1 不同结构元素宽度下形态滤波器的幅频特性 可以看出 形态学滤波器表现出良好 的低通特 性 随着结构元素的宽度变大 通带的宽度变窄 滚降更加 陡峭 并且随着结构元素宽度增长 截止 频率非线性变小 当结构元素的宽度及形状确定时 改变分析点数为 256 点 5 12 点 1 024 点 2 048 点的仿真计算表明 分析点数只影响频率分辨率 对形态滤波器频率响应特性没有影响 与振动信号 频谱分析理论一致 计算结构元素宽度从 2 20 的形态滤波器响 应特性 得到不同结构元素宽度对应的截止频率 如 下 表所 示 作 为应 用 中 结构元 素 宽度 选取 的 依据 表截止频率对照表 结构元素宽度工 截止频 A H z 结构元素宽度工 截止频率 2 0 2 04 3 0 12 0 0 2 6 O 0 3 0 12 0 5 0 13 0 0 2 3 9 3 4 0 085 69 14 0 022 09 5 0 066 53 l 5 0 020 63 6 0 0 5 4 3 2 16 0 0 19 2 9 7 0 0 4 6 02 17 0 0 l 8 0 7 8 0 0 3 9 7 9 18 0 0 17 0 9 9 0 0 3 5 l 6 19 0 0 16 l 1 10 0 O3l 49 20 0 O l 5 26 l l 0 0 2 8 4 4 2 3采样频率变化对截止频率的影晌 为分析采样频 率变化对滤波器 响应特 性的影 响 改变式 9 中的采样频率分别为 l H z 2 H z 4 H z 8 H z 为保证最高采样频率下仍具有较好的频率分 辨率及 良好 的程序运行效率 取 N 2 048 信号频 率0 H z f 0 5 H z 频率增量变为 1 256 选择 宽 度 L 10 的直线型结构元素 得到不同采样频率下 的形态学组合滤波器频率响应特性如图 2 所示 j璺 馨 1 黑 嘲 频率f Hz 图2不同采样频率时数学形态滤波器的幅频特性 由图 2 可知 对于固定宽度 形状的结构元素 采样频率越高 通带的宽度越宽 图2 中在采样频 率分别为 1 H z 2 H z 4 H z 8 H z 时对应的截止频 率分别为 0 03 1 49 H z 0 062 87 H z 0 125 70 H z 0 25l 60 H z 截止频率的数值比例约为 1 2 4 8 与 采样频率 的比值相等 即截止频率与采样频率成正 比例变化 因此 在实际应用中 只需要知道采样 频率为 l H z 时不同宽度结构元素对应的截止频率 表 对表中的截频值乘以实际的采样频率 就可 得到准确的截止频率值 应该说明的是 当以自噪声和正弦快速扫频信 号等作为激励信号时 所得的分析结果与上述结论 一 致 当结构元素为其他形状诸如三角 正弦 半 圆形时 分析得到的结论与上述结论趋势相同 只 是在截止频率的位置上会有少量变化 对结构元素 形状等参数变化对数学形态滤波器滤波特性影响的 机理 仍在深入研究中 3 形态学在振动信号分析中的应用 3 1仿真分析 为进一步验证形态滤波器的滤波效果 并分析 结构元素的选择方式 选用常用的巴特沃斯数字低 通滤波器与形态组合滤波器进行仿真分析对 比 利用 M atl ab 生成幅值为 4 频率为 50 H z 的正 弦信号 Y 4si n 2n 50 f 在信号中每隔 160 个点 加入随机脉冲 并加入信噪比为 15 dB 的高斯 白噪 声 作为滤波器输入信号 采样频率 2 048 H z 分 析点数 1 024 点 原始信号如图 3 所示 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 2012 年 1 月 胡爱军等 振动信号处理中数学形态滤波器频率响应特性研究 101 频率 Hz 图3原始信号的时域图和幅值谱 由表可知宽度为 4 的直线型结构元素其对应 的 归一化截止频率为 0 085 69 H z 用归一化截止频率 乘以实际采样频率2 048 Hz 可以得到数学形态滤 波器实际截止频率约为 175 Hz 满足信号低通滤波 要求 利用 M atl ab 内置的 Fdatool 工具设计归一化 截止频率为 0 085 94 H z 的4 阶直接 II型 巴特沃斯低 通滤波器 它们的频率响应特性如图 4 所示 趔 j謇 1 鲫 频率 yH z 图4滤波器的幅频特性曲线 由图 4 可知 两种滤波器截止频率及滤波特性 接近 相对数学形态滤波器 巴特沃斯滤波器的幅 频特性更加陡峭 阻带衰减波纹小 仅从幅频特性 曲线上看 巴特沃斯波器的特性好于选定的数学形 态滤波器 对原始信号分别用两种滤波器处理后 的 时域波形及幅值谱对 比结果如图 5 6 所示 警 一 20 删 20 睾 0 o o 0 2 o 0 4 o 0 6 o 0 8 o 1o 时间 f S a 数学形态滤波前后时域图对比 馨 咖 鎏 1 螽 0 200 400 600 频率f Hz a 数学形态滤波后幅值谱 o 200 400 600 800 频率厂 l z b 巴特沃斯滤波后幅值谱 图6滤波后信号的幅值谱 图5 中虚线为原始信号 实线为滤波后波形 可以看出经形态滤波后的波形光滑 基本恢复了原 始波形的轮廓 信号的初相位得到了良好保持 经 巴特沃斯滤波器滤波后的信号在脉冲干扰处存在局 部变形 同时存在 明显的相位延迟 频谱 图上 形 态滤波后的幅值谱上除主频外 其他频率 的幅值接 近于零 噪声及脉冲均得到了有效抑制 而 巴特沃 斯滤波后的幅值谱上 低频部分仍有残 留 由以上 分析可知 数学形态滤波器效果明显优于 巴特沃斯 滤波器 并且 形态学基于形状的处理原理 可以 有效祛除信号上的毛刺 而不考虑频带分布 因而 可 以同时滤 除高频噪声和低频噪声 并具有相位保 持的突 出优点 此外 运行时间分析显示 巴特沃 斯滤波器运算时间为 0 341 1 s 数学形态滤波器 的 运算时间仅为 0 052 2 s 速度具有明显优势 3 2应用实例 为了验证形态滤波在实际信号 中的应用效果 用形态滤波器对滚动轴承内圈故障数据进行处理 滚动轴承型号为 SK F6205 转速为 1 730 d m i n 采 样频率为 24 kH z 原始信号时域图和幅值谱见 图 7 2 色 0 骚 一 2 删 b O 毽 划 瑙 曩 1 臻 哪 0 10 0 O5 LL J L 1L J J L U i uulLl r r rr了 I T TI r1 1 T rI I rl q 1 O O 05 O 1O 0 15 O 20 0 25 时间 s 0 2000 4000 6000 8 000 10000 频率f n z 图7原始故障信号时域图及幅值谱 数学形态滤波器采用宽度为 4 的直线型结构元 理馨 骚蚓 置 I 蝴 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 机械工程学报 第 48 卷第 1期 频率f m 图 8数学形态滤波后时域图及幅值图 通过对图 7 8 的时域图比较 原始信号冲击 明显 形态学滤波后冲击大部分被滤除 幅值谱上 低频成分被保 留 2 105 9 H z 以上的高频部分大幅 度衰减 验证了上述分析结论的正确性 用原始信 号减去上述滤波后的信号 对得到的冲击成分进行 进一步分析 从而提取信号特征 1 这个过程即为 数学形态学用于轴承 齿轮故障信号特征提取的一 种方法 本文给 出的对数学形态滤波器特性的定量 描述 为形态学应用于故障特征提取提供 了理论依 据 从而有效避免了盲 目性和经验性 4 结论 1 给出了组合形态滤波器 的频率响应曲线 分析表明结构元素的宽度直接影响形态滤波器的低 通特性 结构元素越宽 数学形态滤波器通带宽度 越窄 对应 的截止频率值越小 反之亦然 归纳总 结了不同宽度的结构元素对应 的归一化截止频率 表 工程应用中 对表中的归一化截止频率乘以实 际的采样频率 即可得到实际截止频率 2 对于确定宽度的结构元素 形态滤波器截 止频率与采样频率成正 比例变化 3 仿真分析表 明 形态学滤波器比传统数字 滤波器有更好的滤波效果 并具有相位保持 的突出 优点 4 研究成果给出了数学形态滤波器定量的 统一的特性描述及应用准则 避免 了盲 目性和经验 性 为推动数学形态学在振动信号处理中的广泛应 用提供了理论依据 参考文献 1 M A R A G O S P SC H A FER R W M orphol ogi c al fi l ters P art h T h ei r set theo reti c anal ysi s and rel ati o n to l i n ear shi ft i nvari an t fi l ters J IE E E Tran s on A SSP 1987 35 8 1153 1169 2 M A R A G O S P SC H A FER R W M orphol ogi c al fil ter an Ih T heft rel ati on to m ed i an order stati sti c an d stac k fi l ters J IE EE Trans on A SSP 1987 35 8 1 170 1184 3 R IC H A R D A P N ew al gori thm for i m age noi se reduc ti on usi ng m ath em ati c al m orp hol ogy J IE EE T ransac ti ons on Im age Proc essi ng 1995 4 5 554 568 4 SU R E SH G B RA H A M S M O vervi ew ofm athem ati c al m o rp h o l o gy i n p ow er sy stem s A tutori al approac h C Pro c eedi ngs of IE E E on PES Jul y 26 30 20 09 C al g ary A l b erta C an ada N ew Y ork IE E E 20 09 1 7 5 赵晓群 王津 一种基于形态学的语音增强方法 J 同 济大学学报 2006 34 10 1394 1397 Z H A O X i ao qun W A N G Ji n A sp eec h enh an c em ent m eth od based on m orp hol ogy J Journal of Tongji U ni versi ty 2006 34 10 1394 1397 6 PA W E L T W A LD EM A R R M ath em ati c al m orp hol ogy b ased E C G feature extrac ti on fo r the p urp o se o f h eartb eat c l assi fi c ati on C Proc eedi ngs of C ISIM June 28 30 2 0 07 E l k P o l an d N ew Y ork IE E E 20 07 3 22 32 7 7 郝如江 卢文秀 褚福磊 滚动轴承故障信号的数学 形态学提取方法 J 中国电机工程学报 2008 28 26 6 5 70 H A O R uji ang L U W enxi u C H U Ful ei M ath em ati c al m orp h ol ogy ex tr ac ti n g m eth o d on ro l l er b eari n g fau l t si gnal s J P roc eedings of the C SEE 2008 28 26 6 5 7 O 8 章立军 杨德斌 徐金梧 等 基于数学形态滤波的 齿轮故障特征提取方法 J 机械工程学报 2007 43 2 71 75 Z H A N G L ijun YA N G D ebi n X U Ji nw u et a1 A pproac h to extr ac ti ng g ear fau l t feature b ased on m ath em ati c al m orphol ogy fi l teri ng J C hi nese Journal of M ec hani c al E ngi neeri ng 2007 43 2 71 75 9 赵昭 刘利林 张承学 等 形态学滤波器结构元素 选取原则研究与分析 J 电力系统保护与控制 2009 37 14 21 35 Z H A O Z h ao L IU L i l i n Z H A N G C h eng xu e et a1 R esear c h and an a l y si s o f m orp h o l o gi c al fil ter S stru c tu re 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 2012 年 1月 胡爱军等 振动信号处理中数学形态滤波器频率响应特性研究 103 el em ent sel ec ti on pri nei pl e J Pow er System Protec ti on and C ontrol 2009 37 14 21 35 10 陈平 李庆民 基于数学形态学的数字滤波器设计与 分析 J 中国电机工程学报 2005 25 11 60 65 C H E N Pi ng L I Q i ngm i n D esi gn an d anal ysi s of m athem ati c al m orphol ogy based di gi tal fi l ters J Proc eedi n