第5章常微分方程数值解.doc

数值计算基础讲义 武汉科技大学计算机学院第5章 常微分方程数值解法教学目的与要求1理解常微分方程数值解法的基本思想；2掌握欧拉方法、后退欧拉方法、梯形方法、改进欧拉方法的基本公式与构造；3理解龙格-库塔方法的基本思想与构造方法；4了解一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法；5理解线性多步法的基本思想与构造方法。重点与难点重点：欧拉方法、后退欧拉方法、梯形方法、改进欧拉方法、龙格-库塔的基本公式与构造。难点：一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法，线性多步法的基本思想与构造方法。教学安排主要内容学时课后作业5.1 引言2P1602，3题5.2 Runge-Kutta法2P1618，9题5.3线性多步法2P16111题5.4常微分方程数值解的进一步讨论2P16112题授课内容5.1 引言一、主要问题已知求y(x) (1) y(x)难以用解析式表示(2) 解析表达式复杂，难以计算二、解决方法约定：表示的近似值。(1) y(x)以列表法表示(2) 采用“步进式”，以定步长h顺着节点向前推进计算(3) 利用，建立的递推公式。三、数值微分法两点公式： 三点公式：1、欧拉公式 几何意义：y=y(x)x0 x1 x2 xn xn+1例：用欧拉法求初值问题当h = 0.02时在区间0, 0.10上的数值解。解：把代入欧拉法计算公式。就得具体计算结果如下表：nxnyny(xn)en = y(xn) - yn001.00001.0000010.020.98200.98250.000520.040.96500.96600.000530.060.94890.95030.001440.080.93360.93540.001850.100.91920.9230.0021在上表中y(xn)列，乃是该初值问题的真解在xn上的值。为近似值yn的误差。从表中可以看出，随着n的增大，误差也在增大，所以说，欧拉法计算简便，对一些问题有较大的使用价值，但是，它的误差较大，所得的数值解精确度不高。2、后退欧拉公式（隐式欧拉公式） 右边的计算：1）化为显式2）用欧拉公式3）化为，由后向前计算，故称后退欧拉公式3、二步欧拉公式 的计算：用欧拉法四、数值积分法1、左矩形公式2、右矩形公式3、中矩形公式4、梯形公式性质：1）隐式公式2）欧拉法与隐式欧拉法的算术平均改进欧拉公式1）梯形公式右边用Euler法计算2）三种等价表示形式a、预报-校正形式预报：校正：b、嵌套形式c、平均化形式例:设初值问题试用Euler法和改进Euler法在区间0, 1.5上取h = 0.1求解，并与精确解进行比较。解：（1）用Euler法计算公式如下：（2）用改进Euler法计算公式如下：计算结果如下表：xnEuler法yn改进Euler法yn准确解y(xn)01110.11.11.0959091.0954450.21.1918181.1840961.1832160.31.2774381.2602011.2649110.41.3582131.3433601.3416410.51.4351331.4161021.4142140.61.5089661.4829561.4832400.71.5803381.5525151.5491930.81.6497831.6164761.6124520.91.7177791.6781681.6733201.01.7847701.7378691.7320511.11.851181.7958221.7888541.21.9174641.8522421.8439091.31.9840461.9073231.8973671.42.0514041.9612531.9493591.52.1200522.0142072.000000五、局部截断误差与精度 1、局部截断误差的定义定义：一个近似公式，当公式右边的量是精确时前提下，称为局部截断误差。 2、精度的定义定义：一个公式若它的局部截断误差为，则称该公式的精度为p阶。例：求证欧拉公式精度为一阶。证明：即证 (1)令 (2)(1)(2),得例：求证后退欧拉公式精度为一阶。证明：即证 (1)令，右边的 (2)(1)(2),得例：求证二步欧拉公式精度为二阶。证明：即证 (1)令， (2)(1)(2),得 例：求证梯形公式精度为二阶。证明：即证 (1)令，右边的 (2)(1)(2),得5.2 Runge-Kutta法一、基本思想1、精确公式与近似公式的关系精确公式：欧拉公式： 精度一阶，以这一点导数的近似值代替改进欧拉公式：精度二阶，以这两点导数近似值的平均代替2、结论：在内取若干个点的导数近似值加权平均代替，可能产生更高精度的公式。二、二阶龙格-库塔方法 1、思想：取两个点，用这两点导数近似值加权平均代替。在的计算中，的计算利用使用Euler法公式而得到。 2、公式框架该公式具有二个系数，当这两个系数满足一定约束条件时，该公式具有二阶精度。3、约束条件令公式中，则由上式可知，公式要有二阶精度，只要，满足该约束条件的公式称为二阶龙格-库塔公式。4、常用二阶龙格-库塔公式1）改进Euler法（）2）变形Euler法（）三、三阶龙格-库塔方法1、思想：取三个点，用这三点导数近似值加权平均代替。的计算同二阶龙格-库塔方法；在的计算中，的计算利用了的加权平均而得到。2、公式框架 该公式具有五个系数，当这五个系数满足一定约束条件时，该公式具有三阶精度。3、约束条件满足该约束条件的公式称为三阶龙格-库塔公式。4、常用三阶龙格-库塔公式库塔公式四、四阶龙格-库塔方法 1、思想：取四个点，用这四个点导数近似值加权平均代替。2、常用四阶龙格-库塔公式经典公式5.3 线性多步法一、基本思想在逐步推进的求解过程中，计算之前已求出的值，如果充分利用这些值来预测，可能会获得更精确的结果。二、构造方法 将从到积分，得以插值多项式P(x) 来代替上式中的被积函数，即： 由此选取不同的插值点作插值多项式，就会得出不同的数值解法。三、开型求解公式插值节点可以取在求积区间的外部1、阿当姆斯显式公式取作为插值结点，则2、阿当姆斯隐式公式取作为插值结点，则3、阿当姆斯预报-校正公式预报：校正：四、闭型求解公式插值节点取在求积区间的内部哈明方法取作为插值结点，则五、计算过程1）、利用单步法（如四阶龙格-库塔方法）求出开头几个点上的近似值，即计算“表头”；2）、利用线性多步法公式逐步求后面点xk上的值yk。5.4 常微分方程数值解法的进一步讨论一、常微分方程组1、模型已知求：2、方法例：使用欧拉公式由二、高阶常微分方程1、模型已知求：2、方法设定一个过度函数降阶产生方程组令，则使用欧拉公式由 小结通过本章的学习，应掌握1、理解常微分方程数值解法的