高中数学 第一章 三角函数 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性课件 北师大版必修4.ppt

第一章 4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式 4 1单位圆与任意角的正弦函数 余弦函数的定义4 2单位圆与周期性 学习目标1 理解任意角的正弦函数 余弦函数的定义及其应用 2 掌握同角的正弦 余弦函数值间的关系 3 理解周期函数的定义 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一任意角的正弦函数和余弦函数 使锐角 的顶点与原点o重合 始边与x轴的非负半轴重合 在终边上任取一点p pm x轴于m 设p x y op r 思考1角 的正弦 余弦分别等于什么 答案不会 思考2对确定的锐角 sin cos 的值是否随p点在终边上的位置的改变而改变 思考3若取 op 1时 sin cos 的值怎样表示 答案sin y cos x 梳理 1 对于任意角 使角 的顶点与原点重合 始边与x轴的非负半轴重合 终边与单位圆交于唯一的点p u v 那么点p的定义为角 的正弦函数 记作 点p的定义为角 的余弦函数 记作 2 对于给定的角 点p的纵坐标v 横坐标u都是唯一确定的 所以正弦函数 余弦函数都是以角为自变量 以单位圆上点的坐标为函数值的函数 纵坐标v v sin 横坐标u u cos 知识点二正弦 余弦函数的定义域 思考对于任意角 sin cos 都有意义吗 答案由三角函数的定义可知 对于任意角 sin cos 都有意义 梳理正弦函数 余弦函数的定义域 知识点三正弦 余弦函数值在各象限的符号 思考根据三角函数的定义 你能判断正弦 余弦函数的值在各象限的符号吗 答案由三角函数定义可知 在平面直角坐标系中 设 是一个任意角 它的终边与单位圆交于点p u v 则sin v cos u 当 为第一象限角时 v 0 u 0 故sin 0 cos 0 同理可得 在其他象限时三角函数值的符号 梳理正弦 余弦函数在各象限的符号 知识点四周期函数 思考由sin x 2k sinx k z 可知函数值随着角的变化呈周期性变化 你能说一下函数的变化周期吗 答案2 4 6 2 等都是函数的周期 梳理一般地 对于函数f x 如果存在 对定义域内的 x值 都有 我们就把f x 称为周期函数 称为这个函数的周期 特别地 正弦函数 余弦函数是周期函数 称2k k z k 0 为正弦函数 余弦函数的周期 其中2 是正弦函数 余弦函数正周期中的一个 称为 简称为周期 非零实数t 任意 一个 f x t f x t 最小 最小正周期 思考辨析判断正误 1 函数f x x2满足f 3 6 f 3 所以f x x2是以6为周期的周期函数 提示周期函数需满足对定义域内每一个值x 都有f x t f x 对于f x x2 f 0 0 f 0 6 f 6 36 f 0 f 0 6 f x x2不是以6为周期的周期函数 2 任何周期函数都有最小正周期 提示对于常函数f x c 任意一个正实数都是其周期 因而不存在最小正周期 答案 提示 题型探究 类型一正弦函数 余弦函数定义的应用 命题角度1已知角 终边上一点坐标求三角函数值 解答 x 0 x 1 当x 1时 p 1 3 当x 1时 p 1 3 反思与感悟 1 已知角 终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法 先利用直线与单位圆相交 求出交点坐标 然后再利用正 余弦函数的定义求出相应的三角函数值 2 当角 的终边上点的坐标以参数形式给出时 要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论 跟踪训练1已知角 的终边过点p 3a 4a a 0 求2sin cos 的值 若a 0 则r 5a 角 在第二象限 若a 0 则r 5a 角 在第四象限 解答 命题角度2已知角 终边所在直线求三角函数值 解答 解由题意知 cos 0 设角 的终边上任一点为p k 3k k 0 若a 0 则 为第一象限角 r 2a 若a 0 则 为第三象限角 r 2a 解答 类型二正弦 余弦函数值符号的判断 例3 1 若 是第二象限角 则点p sin cos 在a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 解析 为第二象限角 sin 0 cos 0 点p在第四象限 故选d 答案 解析 2 判断下列各式的符号 sin145 cos 210 解 145 是第二象限角 sin145 0 210 360 150 210 是第二象限角 cos 210 0 sin145 cos 210 0 解答 sin3 cos4 解答 sin3 0 cos4 0 sin3 cos4 0 反思与感悟准确确定正弦函数 余弦函数值中角所在象限是基础 准确记忆正弦函数 余弦函数值在各象限的符号是解决正弦 余弦函数值符号判断问题的关键 跟踪训练3若三角形的两内角a b满足sinacosb 0 则此三角形必为a 锐角三角形b 钝角三角形c 直角三角形d 以上三种情况都有可能 解析由题意知 a b 0 sina 0 cosb 0 b为钝角 故选b 答案 解析 类型三周期性 例4 1 已知函数f x 在其定义域上都满足f x 2 f x 求证 函数f x 是以4为周期的周期函数 证明 f x 4 f x 2 2 f x 2 f x f x 由周期函数定义知 函数f x 是以4为周期的周期函数 证明 证明 由周期函数定义知 函数f x 是以4为周期的周期函数 反思与感悟 1 证明函数是周期函数 只需根据定义 存在非零常数t 对定义域内任意实数x 都有f x t f x 跟踪训练4若函数y f x x r 满足f x f x a f x a a 0 f 2a 1 求f 14a 的值 解由f x f x a f x a 得f x a f x f x 2a 得f x a f x 2a 0 即f x a f x 2a f x f x 3a 即f x 3a f x f x 6a f x 3a f x t 6a为函数y f x 的一个周期 f 14a f 6a 2 2a f 2a 1 解答 达标检测 1 已知角 的终边经过点 4 3 则cos 等于 解析由题意可知x 4 y 3 r 5 答案 解析 1 2 4 5 3 a 1b 0c 2d 2 解析 为第二象限角 sin 0 cos 0 答案 解析 1 2 4 5 3 a 2b 0c 1d 3 解析 f x 是以1为一个周期的函数 k z且k 0 也是f x 的周期 又当x 1 0 时 f x 2x 1 1 2 4 5 3 答案 解析 4 点p sin2016 cos2016 位于第象限 解析 2016 5 360 216 2016 是第三象限角 sin2016 0 cos2016 0 点p位于第三象限 1 2 4 5 3 答案 解析 三 5 已知角 的终边在直线y 2x上 求sin cos 的值 1 2 4 5 3 解答 规律与方法 1 三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础 要充分理解其内涵 把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关 与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点 2 三角函数值的符号主要涉及开方