高中数学 第一章 立体几何初步 6.1 垂直关系的判定课件 北师大版必修2.ppt

6 1垂直关系的判定 第一章 6垂直关系 学习目标1 掌握直线与平面垂直的定义 判定定理 2 掌握平面与平面垂直的概念 判定定理 3 会应用两定义及两定理证明有关的垂直问题 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一直线与平面垂直的定义 思考在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子 随着时间的变化 影子的位置在移动 在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化 为多少 答案不变 90 梳理线面垂直的概念 任何一条 l 垂面 垂线 垂足 知识点二直线和平面垂直的判定定理 将一块三角形纸片abc沿折痕ad折起 将翻折后的纸片竖起放置在桌面上 bd dc与桌面接触 观察折痕ad与桌面的位置关系 思考1折痕ad与桌面一定垂直吗 答案不一定 思考2当折痕ad满足什么条件时 ad与桌面垂直 答案当ad bd且ad cd时 折痕ad与桌面垂直 梳理判定定理 两条相交直线 知识点三二面角 思考1观察教室内门与墙面 当门绕着门轴旋转时 门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状 数学上 用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角 答案二面角 思考2平时 我们常说 把门开大一点 在这里指的是哪个角大一点 答案二面角的平面角 梳理 1 定义 从一条直线出发的所组成的图形 2 相关概念 这条直线叫作二面角的 两个半平面叫作二面角的 3 二面角的记法以直线ab为棱 半平面 为面的二面角 记作二面角面 ab 4 二面角的平面角 若有 ol oa ob oal obl 则二面角 l 的平面角是 两个半平面 棱 面 aob 知识点四平面与平面垂直 思考建筑工人常在一根细线上拴一个重物 做成 铅锤 用这种方法来检查墙与地面是否垂直 当挂铅锤的线从上面某一点垂下时 如果墙壁贴近铅锤线 则说明墙和地面什么关系 此时铅锤线与地面什么关系 答案都是垂直 梳理 1 平面与平面垂直的概念 定义 如果两个平面相交 且它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 画法 记法 直二面角 2 判定定理 垂线 l 思考辨析判断正误 1 若直线l 平面 则l与平面 内的直线可能相交 可能异面 也可能平行 2 若直线l与平面 内的无数条直线垂直 则l 3 若l 则过l有无数个平面与 垂直 4 两垂直平面的二面角的平面角大小为90 题型探究 例1下列命题中 正确的序号是 若直线l与平面 内的无数条直线垂直 则l 若直线l与平面 内的一条直线垂直 则l 若直线l不垂直于平面 则 内没有与l垂直的直线 若直线l不垂直于平面 则 内也可以有无数条直线与l垂直 过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条 类型一线面垂直的定义及判定定理的理解 答案 解析 解析当直线l与平面 内的无数条直线垂直时 l与 不一定垂直 所以 不正确 当l与 内的一条直线垂直时 不能保证l与平面 垂直 所以 不正确 当l与 不垂直时 l可能与 内的无数条平行直线垂直 所以 不正确 正确 过一点有且只有一条直线垂直于已知平面 所以 正确 反思与感悟 1 对于线面垂直的定义要注意 直线垂直于平面内的所有直线 说法与 直线垂直于平面内无数条直线 不是一回事 后者说法是不正确的 它可以使直线与平面斜交 2 判定定理中要注意必须是平面内两相交直线 跟踪训练1 1 若三条直线oa ob oc两两垂直 则直线oa垂直于a 平面oabb 平面oacc 平面obcd 平面abc 答案 解析 oa ob oa oc ob oc o ob oc 平面obc oa 平面obc 解析 2 如果一条直线垂直于一个平面内的 三角形的两边 梯形的两边 圆的两条直径 正五边形的两边 能保证该直线与平面垂直的是 填序号 答案 解析根据直线与平面垂直的判定定理 平面内这两条直线必须是相交的 中给定的两直线一定相交 能保证直线与平面垂直 而 梯形的两边可能是上 下底边 它们互相平行 不满足定理条件 解析 类型二线面垂直的判定 例2如图 已知pa垂直于 o所在的平面 ab是 o的直径 c是 o上任意一点 求证 bc 平面pac 证明 pa 平面abc bc 平面abc pa bc 又 ab是 o的直径 bc ac 而pa ac a pa ac 平面pac bc 平面pac 证明 引申探究若本例中其他条件不变 作ae pc交pc于点e 求证 ae 平面pbc 证明由例2知bc 平面pac 又 ae 平面pac bc ae pc ae 且pc bc c pc bc 平面pbc ae 平面pbc 证明 反思与感悟 1 使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直 即把线面垂直转化为线线垂直来解决 2 证明线面垂直的方法 线面垂直的定义 线面垂直的判定定理 如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面 那么另一条直线也垂直于这个平面 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面 那么它也垂直于另一个平面 跟踪训练2如图 已知pa垂直于 o所在的平面 ab是 o的直径 c是 o上任意一点 过点a作ae pc于点e 作af pb于点f 求证 pb 平面aef 证明 证明由引申探究知ae 平面pbc pb 平面pbc ae pb 又af pb 且ae af a ae af 平面aef pb 平面aef 类型三面面垂直的判定 例3如图所示 在四棱锥s abcd中 底面四边形abcd是平行四边形 sc 平面abcd e为sa的中点 求证 平面ebd 平面abcd 证明连接ac 与bd交于o点 连接oe o为ac的中点 e为sa的中点 eo sc sc 平面abcd eo 平面abcd 又 eo 平面ebd 平面ebd 平面abcd 证明 反思与感悟 1 由面面垂直的判定定理知 要证两个平面互相垂直 关键是证明其中一个平面经过另一个平面的垂线 2 证明面面垂直的常用方法 面面垂直的判定定理 所成二面角是直二面角 跟踪训练3如图 三棱柱abc a1b1c1中 侧棱垂直于底面 acb 90 ac aa1 d是棱aa1的中点 证明 平面bdc1 平面bdc 证明 证明由题设知bc cc1 bc ac cc1 ac c cc1 ac 平面acc1a1 所以bc 平面acc1a1 又dc1 平面acc1a1 所以dc1 bc 由题设知 a1dc1 adc 45 所以 cdc1 90 即dc1 dc 又dc bc c dc bc 平面bdc 所以dc1 平面bdc 又dc1 平面bdc1 故平面bdc1 平面bdc 类型四与二面角有关的计算 例4如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 求二面角b a1c1 b1的正切值 解答 解取a1c1的中点o 连接b1o bo 由题意知b1o a1c1 又ba1 bc1 o为a1c1的中点 所以bo a1c1 所以 bob1即是二面角b a1c1 b1的平面角 因为bb1 平面a1b1c1d1 ob1 平面a1b1c1d1 所以bb1 ob1 反思与感悟 1 求二面角的大小关键是要找出或作出平面角 再把平面角放在三角形中 利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值 其步骤为作角 证明 计算 2 为了能在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点 如是否为等腰三角形等 跟踪训练4如图 ab是 o的直径 pa垂直于 o所在的平面 c是圆周上的一点 且pa ac 求二面角p bc a的大小 解答 解由已知pa 平面abc bc 平面abc pa bc ab是 o的直径 且点c在圆周上 ac bc 又 pa ac a pa ac 平面pac bc 平面pac 又pc 平面pac pc bc 又 bc是二面角p bc a的棱 pca是二面角p bc a的平面角 由pa ac知 pac是等腰直角三角形 pca 45 即二面角p bc a的大小是45 达标检测 答案 1 已知直线m n是异面直线 则过直线n且与直线m垂直的平面a 有且只有一个b 至多一个c 有一个或无数个d 不存在 1 2 3 4 5 解析若异面直线m n垂直 则符合要求的平面有一个 否则不存在 解析 2 已知m和n是两条不同的直线 和 是两个不重合的平面 那么下面给出的条件中 一定能推出m 的是a 且m b m n 且n c m n 且n d m n 且n 1 2 3 4 5 答案 解析a中 由 且m 知m b中 由n 知n垂直于平面 内的任意直线 再由m n 知m也垂直于 内的任意直线 所以m 符合题意 c d中 m 或m 或m与 相交 不符合题意 故选b 解析 2 3 3 如图 l 点a c 点b 且ba bc 那么直线l与直线ac的关系是a 异面b 平行c 垂直d 不确定 4 5 解析 1 答案 2 3 4 5 解析 ba l l ba l 同理bc l 又ba bc b l 平面abc ac 平面abc l ac 1 4 三棱锥p abc中 pa pb pc ab 10 bc 8 ca 6 则二面角p ac b的大小为 答案 解析 2 3 4 5 1 60 解析由题意易得点p在平面abc上的射影o是ab的中点 取ac的中点q 连接oq 则oq bc 由题意可得 abc是直角三角形 且 acb 90 aqo 90 即oq ac 又 pa pc pq ac pqo即是二面角p ac b的平面角 2 3 4 5 1 pq 8 pqo 60 即二面角p ac b的大小为60 2 3 4 5 1 5 如图 在四面体abcd中 cb cd ad bd 且e f分别是ab bd的中点 求证 平面efc 平面bcd 证明 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 证明 e f分别是ab bd的中点 ef ad 又 ad bd ef bd cb cd f是bd的中点 cf bd 又ef cf f ef cf 平面efc bd 平面efc 又 bd 平面bcd 平面efc 平面bcd 1 直线和平面垂直的判定方法 1 利用线面垂直的定义 2 利用线