高考数学二轮复习 第二篇 熟练规范 中档大题保高分 第24练 数列的综合问题课件 文.ppt

第二篇熟练规范中档大题保高分 第24练数列的综合问题 明考情数列与函数方程 方程不等式的综合问题是高考的重点 往往和数列的通项 求和结合考查 在高考中经常出现 知考向1 数列与函数的综合 2 数列与不等式的综合 3 数列与其他知识的综合 研透考点核心考点突破练 栏目索引 规范解答模板答题规范练 研透考点核心考点突破练 考点一数列与函数的综合 方法技巧 1 以函数为背景的数列问题 一般要利用函数的性质图象进行转化 得出数列的通项或递推关系 2 数列中的函数问题 一般利用数列的性质研究函数的性质 用函数思想求解数列问题 1 求数列 xn 的通项公式 1 2 3 解答 解答 1 2 3 2 已知定义域为r的二次函数f x 的最小值为0 且有f 1 x f 1 x 直线g x 4 x 1 的图象被f x 的图象截得的弦长为 数列 an 满足a1 2 an 1 an g an f an 0 n n 1 求函数f x 的解析式 解设f x a x 1 2 a 0 所以a 1 所以f x x 1 2 解答 1 2 3 2 求数列 an 的通项公式 解f an an 1 2 g an 4 an 1 因为 an 1 an 4 an 1 an 1 2 0 所以 an 1 4an 1 3an 1 0 因为a1 2 所以an 1 所以4an 1 3an 1 0 解答 1 2 3 3 设bn 3f an g an 1 求数列 bn 的最值及相应的n 解bn 3 an 1 2 4 an 1 1 当n 1时 bn有最大值0 解答 1 2 3 1 当n n 时 求f n 的表达式 解答 1 2 3 2 设an n f n n n 求证 a1 a2 a3 an 2 证明设tn为 an 的前n项和 即a1 a2 a3 an 2 证明 1 2 3 当n 8时 bn 0 当n 9时 bn 0 当n 9时 bn 0 当n 8或9时 sn取得最大值 解答 1 2 3 考点二数列与不等式的综合 方法技巧 1 数列中的最值问题可以利用基本不等式求解 2 与数列求和有关的不等式证明可以对中间过程或最后结果放缩得到 3 可利用比较法或数列的单调性解决比较大小问题 4 设数列 an 的前n项和为sn 已知a1 a an 1 sn 3n n n 1 设bn sn 3n 求数列 bn 的通项公式 解依题意 得sn 1 sn an 1 sn 3n 即sn 1 2sn 3n 由此得sn 1 3n 1 2 sn 3n 因此bn 1 2bn 当a 3时 bn 为等比数列 且首项b1 a 3 公比q 2 所以通项公式为bn a 3 2n 1 n n 当a 3时 b1 a 3 0 bn 2bn 1 22bn 2 23bn 3 2n 1b1 0 也适合 式 故数列 bn 的通项公式为bn a 3 2n 1 n n 解答 4 5 6 2 若an 1 an n n 求实数a的取值范围 解由 1 知 sn 3n a 3 2n 1 n n 于是 当n 2时 an sn sn 1 3n a 3 2n 1 3n 1 a 3 2n 2 2 3n 1 a 3 2n 2 则an 1 an 2 3n a 3 2n 1 2 3n 1 a 3 2n 2 又a2 a1 3 a1成立 所以所求实数a的取值范围是 9 解答 4 5 6 解答 4 5 6 5 已知数列 bn 满足3 n 1 bn nbn 1 且b1 3 1 求数列 bn 的通项公式 因为b1 3 所以bn n 3n 证明 4 5 6 4 5 6 6 已知数列 an 满足an 1 an 2 f n 1 f n n n 1 若a1 1 f x 3x 5 求数列 an 的通项公式 解因为an 1 an 2 f n 1 f n n n f n 3n 5 所以an 1 an 2 3n 8 3n 5 6 所以 an 是等差数列 首项为a1 1 公差为6 即an 6n 5 解答 4 5 6 2 若a1 6 f x 2x且 an 2n n 2 对一切n n 恒成立 求实数 的取值范围 解答 4 5 6 解因为f x 2x 所以f n 1 f n 2n 1 2n 2n 所以an 1 an 2 2n 2n 1 当n 2时 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 2n 2n 1 22 6 2n 1 2 当n 1时 a1 6 符合上式 所以an 2n 1 2 4 5 6 考点三数列与其他知识的综合 方法技巧数列和其他知识的综合问题解题的关键是通过对其他知识的转化得到数列的通项关系式或递推关系式 1 求a1 b1的值 7 8 9 解答 解答 2 点p1 p2 p3 pn 能否在同一条直线上 请证明你的结论 7 8 9 设 an 的公差为d bn 的公比为q 则由于p1 p2 p3 pn 互不相同 所以d 0 q 1不会同时成立 7 8 9 若d 0且q 1 p1 p2 p3 pn 在同一条直线上 7 8 9 所以 an an 1 bn 1 bn an 1 an bn bn 1 0 d bn 1 bn d bn bn 1 0 bn 1 bn bn bn 1 q 1 这与q 1矛盾 所以当d 0且q 1时 p1 p2 p3 pn 不可能在同一条直线上 1 求数列 an 的通项公式 解答 又a1 1 所以an 2n 1 7 8 9 解答 7 8 9 解当n为偶数时 tn b1 b3 bn 1 b2 b4 bn 当n为奇数时 n 1为偶数 而tn 1 tn bn 1 tn 2n 7 8 9 1 判断非零的常数列是否为 tomall数列 并说明理由 解设常数列为an p 其前n项和为sn pn 7 8 9 解答 2 等差数列 bn 的首项为3 公差不为零 若 bn 为 tomall数列 求数列 bn 的通项及前n项和sn 7 8 9 解答 解设等差数列 bn 的公差为d d 0 因为b1 3 因为 bn 为 tomall数列 7 8 9 故数列 bn 的通项公式为bn 3 2 n 1 即bn 2n 1 7 8 9 7 8 9 证明 规范解答模板答题规范练 例 12分 已知单调递增的等比数列 an 满足 a2 a3 a4 28 且a3 2是a2 a4的等差中项 1 求数列 an 的通项公式 2 若bn an sn b1 b2 bn 求使sn n 2n 1 30成立的正整数n的最小值 模板体验 审题路线图 规范解答 评分标准 解 1 设等比数列 an 的首项为a1 公比为q 由题意知2 a3 2 a2 a4 代入a2 a3 a4 28 可得a3 8 所以a2 a4 20 又数列 an 单调递增 所以q 2 a1 2 所以数列 an 的通项公式为an 2n 5分 2 因为bn n 2n 6分所以sn 1 2 2 22 n 2n 2sn 1 22 2 23 n 1 2n n 2n 1 两式相减 得sn 2 22 23 2n n 2n 1 2n 1 2 n 2n 1 8分又sn n 2n 1 30 可得2n 1 2 30 即2n 1 32 25 10分所以n 1 5 即n 4 所以使sn n 2n 1 30成立的正整数n的最小值为5 12分 构建答题模板 第一步 求通项 根据题目条件 列方程 组 求解 得到数列的通项公式 第二步 求和 根据数列的类型 选择适当方法求出数列的前n项和 第三步 求最值 根据题目条件 建立相应的函数或不等式 通过解相应函数或不等式求出n的最小值 1 2017 佛山一模 已知数列 an 的前n项和为sn 且满足sn an n2 1 n n 1 求 an 的通项公式 规范演练 解 sn an n2 1 n n a1 a2 a2 22 1 解得a1 3 当n 2时 an sn sn 1 an n2 1 an 1 n 1 2 1 化为an 1 2n 1 可得an 2n 1 当n 1时也成立 an 2n 1 1 2 3 4 5 解答 证明由 1 可得sn 2n 1 n2 1 n2 2n 1 2 3 4 5 证明 1 求数列 an 的通项公式 x 2k 1 k z 又 x 0 an 2n 1 n n 1 2 3 4 5 解答 解 f x 2 1 2 3 4 5 证明 1 2 3 4 5 1 求数列 an 的通项公式 解答 当n 2时 an sn sn 1 3n2 2n 3 n 1 2 2 n 1 6n 5 当n 1时 a1 s1 3 12 2 1 1 6 1 5 所以an 6n 5 n n 1 2 3 4 5 解答 故满足要求的最小正整数m为10 4 已知等比数列 an 的公比q 1 a1 1 且a1 a3 a2 14成等差数列 数列 bn 满足 b1 1 且a1b1 a2b2 anbn n 1 3n 1 n n 1 求数列 an 和 bn 的通项公式 1 2 3 4 5 解答 解 等比数列 an 满足 a1 1 且a1 a3 a2 14成等差数列 2a3 a1 a2 14 即2a1q2 a1 a1q 14 2q2 q 15 0 q 3或q 又q 1 q 3 an 3n 1 a1b1 a2b2 anbn n 1 3n 1 当n 2时 有a1b1 a2b2 an 1bn 1 n 2 3n 1 1 可得anbn 2n 1 3n 1 n 2 bn 2n 1 n 2 又当n 1时 b1 1 符合bn 2n 1 故bn 2n 1 n n 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解答 2 若man bn 8恒成立 求实数m的最小值 当cn 1 cn 即n 5时 c5 c6 当cn 1 cn 即n 5时 c1 c2 c3 c4 c5 当cn 1 cn 即n 5时 c6