（江苏专版）高考数学大二轮专题复习 审题 解题 回扣（要点回扣+易错警示+查缺补漏）立体几何 文.doc

立体几何(推荐时间：70分钟)1 如图，在六面体abcdefg中，平面abc平面defg，ad平面defg，abac，eddg，efdg.且ac1，abedef2，addg4.(1)求证：be平面defg；(2)求证：bf平面acgd；(3)求二面角fbca的余弦值(1)证明平面abc平面defg，平面abc平面adebab，平面defg平面adebde，abde.又abde，四边形adeb为平行四边形，bead.ad平面defg，be平面defg.(2)证明设dg的中点为m，连接am，mf，则dmdg2，ef2，efdg，四边形defm是平行四边形，mfde且mfde，由(1)知，adeb为平行四边形，abde且abde，abmf且abmf，四边形abfm是平行四边形，即bfam，又bf平面acgd，故bf平面acgd.(3)解由已知，ad，de，dg两两垂直，建立如图的空间坐标系，则a(0,0,4)，b(2,0,4)，c(0,1,4)，f(2,2,0)，(0,2，4)，(2,1,0)，设平面fbc的法向量为n(x，y，z)，则，令z1，则n(1,2,1)，而平面abc的法向量m(0,0,4)，cosm，n.由图形可知，二面角fbca的余弦值为.2 如图，在等腰直角abc中，acb90，acbc，cdab，d为垂足沿cd将abc对折，连接a、b，使得ab.(1)对折后，在线段ab上是否存在点e，使cead？若存在，求出ae的长；若不存在，说明理由；(2)对折后，求二面角bacd的正切值解(1)在线段ab上存在点e，使cead.由等腰直角abc可知，对折后，cdad，cdbd，adbd1.在abd中，cosadb，adb120，badabd30.过d作ab的垂线，与ab交于点e，点e就是满足条件的唯一点证明如下：连接ce.adde，adcd，decdd，ad平面cde，adce，即在线段ab上存在点e，使cead.在rtade中， dae30，ad1，得ae.(2)对折后，作dfac于f，连接ef，cdad，cdbd，adbdd，cd平面adb，平面acd平面adb.dead，且平面acd平面adbad，de平面acd.dedf.而dfac，所以ac平面def，即dfe为二面角bacd的平面角在rtade中，dae30，ad1，得deadtandae1，在rtadf中，daf45，ad1，得fdadsindaf1.在rtedf中，edf90，tandfe，即二面角bacd的正切值为.(第(2)问也可用向量法)3 三棱柱abca1b1c1中，a1acb是直二面角，aa1a1cac2，abbc，且abc90，o为ac的中点(1)若e是bc1的中点，求证：oe平面a1ab；(2)求二面角aa1bc1的余弦值(1)证明如图1所示，取bc的中点f，连接of，ef，则ofab，efbb1.又ofeff，abbb1b，平面oef平面a1ab，又oe平面oef，oe平面a1ab.图1图2(2)解如图2所示，连接a1o，bo，a1aa1c，且o为ac的中点，a1oac.由题意可知，平面aa1c1c平面abc，a1o平面abc.abbc，booc.ob、oc、oa1两两垂直以o为原点，ob、oc、oa1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系由题意可知，a1aa1cac2，又abbc，abbc，obac1，各相关点的坐标为：o(0,0,0)，a(0，1,0)，a1(0,0，)，c(0,1,0)，c1(0,2，)，b(1,0,0)(0,1，)，(1,1,0)，(1,0，)，(0,2,0)设平面aa1b的一个法向量为n(x，y，z)，则令y1，得x1，z，n.设平面a1bc1的一个法向量为m(a，b，c)，则令c，则a3，得m(3,0，)cosm，n，结合图形可知，二面角aa1bc1的平面角是钝角，二面角aa1bc1的余弦值为.4 已知直角梯形abcd与等腰直角apb所在平面互相垂直，adbc，apbabc90，abbc2ad2，e为pb的中点(1)求证：直线ae平面pcd；(2)求平面pcd与平面pab所成角的正弦值(1)证明如图1取pc的中点f，连接ef、df.在pbc中，peeb，pffc，所以ef綊bc，又ad綊bc，所以ef綊ad，故四边形aefd为平行四边形，所以aedf，又因为ae面pcd，df面pcd，所以ae平面pcd.图1图2(2)解如图2，取ab的中点o，cd的中点q，连接op，oq.在apb中，appb，oaob，apb90，所以poab，且poab1.在直角梯形abcd中，aoob，dqqc，所以oqbc，又因为bcab，所以oqab，又因为面apb面abcd，面apb面abcdab，所以oq面pab.以o为坐标原点，分别以op、ob、oq为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则p(1,0,0)，a(0，1,0)，b(0,1,0)，c(0,1,2)，d(0，1,1)故(1，1,1)，(1,1,2)设面pcd的法向量为n(x，y，z)，则由，得，令y1，则z2，x3.故n(3,1，2)为面pcd的一个法向量因为oq面pab，所以可取m(0,0,1)为面pab的一个法向量故cosm，n.设所求二面角为，所以|cos |cosm，n|，所以sin .5 如图，在三棱柱abca1b1c1中，底面abc为正三角形，aa1平面abc，aa12ab，n是cc1的中点，m是线段ab1上的动点(1)当m在什么位置时，mnaa1，请给出证明；(2)若直线mn与平面abn所成角的大小为，求sin 的最大值(1)证明当m是线段ab1的中点时，mnaa1.下面给出证明：如图，以ab，aa1所在直线为x轴，z轴，在平面abc内过a且与ab垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系设aa12ab2，则a(0,0,0)，a1(0,0,2)，m，n.所以(0,0,2)0.即mnaa1.(2)解设，即m(，0,2)，其中01，(1,0,0)，.设n(x，y，z)是平面abn的一个法向量，则即取n(0,2，)所以sin .即sin 的最大值为.6 如图，正abc的边长为4，cd是ab边上的高，e，f分别是ac和bc边的中点，现将abc沿cd翻折成直二面角acdb.(1)试判断直线ab与平面def的位置关系，并说明理由；(2)求二面角edfc的余弦值；(3)在线段bc上是否存在一点p，使apde？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由解(1)在abc的中点，由e，f分别是ac，bc的中点，得efab，又ab平面def，ef平面def，ab平面def.(2)以点d为坐标原点，直线db，dc，da分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则a(0,0,2)，b(2,0,0)，c(0,2，0)，e(0，1)，f(1，0)易知平面cdf的一个法向量为(0,0,2