常用积分公式汇总+较全面的积分表[1].pdf

INTEGRALS ELEMENTARY FORMS 1 Z adx ax 2 Z a f x dx a Z f x dx 3 Z y dx Z y y0 dy where y0 dy dx 4 Z u v dx Z udx Z vdx where u and v are any functions of x 5 Z udv u Z dv Z vdu uv Z vdu 6 Z u dv dx dx uv Z v du dx dx 7 Z xndx xn 1 n 1 except n 1 8 Z f0 x dx f x log f x df x f0 x dx 9 Z dx x logx 10 Z f0 x dx 2 ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi f x p ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi f x p df x f0 x dx 11 Z exdx ex 12 Z eaxdx eax a 13 Z baxdx bax alogb b 0 14 Z logxdx xlogx x 15 Z axlogadx ax a 0 16 Z dx a2 x2 1 atan 1x a 17 Z dx a2 x2 1 atanh 1x a or 1 2a loga x a x a2 x2 8 18 Z dx x2 a2 1 a coth 1 x a or 1 2alog x a x a x2 a2 8 A 20 INTEGRALS Continued 19 Z dx ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi a2 x2 p sin 1 x jaj or cos 1 x jaj a2 x2 8 20 Z dx ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi x2 a2 p log x ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi x2 a2 p 21 Z dx x ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi x2 a2 p 1 jaj sec 1 x a 22 Z dx x ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi a2 x2 p 1 a log a ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi a2 x2 p x FORMS CONTAINING a bx For forms containing a bx but not listed in the table the substitution u a bx x may prove helpful 23 Z a bx ndx a bx n 1 n 1 b n 6 1 24 Z x a bx ndx 1 b2 n 2 a bx n 2 a b2 n 1 a bx n 1 n 6 1 2 25 Z x2 a bx ndx 1 b3 a bx n 3 n 3 2a a bx n 2 n 2 a2 a bx n 1 n 1 26 Z xm a bx ndx x m 1 a bx n m n 1 an m n 1 Z xm a bx n 1dx or 1 a n 1 xm 1 a bx n 1 m n 2 Z xm a bx n 1dx or 1 b m n 1 xm a bx n 1 ma Z xm 1 a bx ndx 8 27 Z dx a bx 1 b log a bx 28 Z dx a bx 2 1 b a bx 29 Z dx a bx 3 1 2b a bx 2 30 Z xdx a bx 1 b2 a bx alog a bx or x b a b2 log a bx 8 A 21 INTEGRALS Continued 31 Z xdx a bx 2 1 b2 log a bx a a bx 32 Z xdx a bx n 1 b2 1 n 2 a bx n 2 a n 1 a bx n 1 n 6 1 2 33 Z x2dx a bx 1 b3 1 2 a bx 2 2a a bx a2log a bx 34 Z x2dx a bx 2 1 b3 a bx 2alog a bx a2 a bx 35 Z x2dx a bx 3 1 b3 log a bx 2a a bx a2 2 a bx 2 36 Z x2dx a bx n 1 b3 1 n 3 a bx n 3 2a n 2 a bx n 2 a2 n 1 a bx n 1 n 6 1 2 3 37 Z dx x a bx 1 alog a bx x 38 Z dx x a bx 2 1 a a bx 1 a2 loga bx x 39 Z dx x a bx 3 1 a3 1 2 2a bx a bx 2 log x a bx 40 Z dx x2 a bx 1 ax b a2 loga bx x 41 Z dx x3 a bx 2bx a 2a2x2 b2 a3 log x a bx 42 Z dx x2 a bx 2 a 2bx a2x a bx 2b a3 loga bx x FORMS CONTAINING c2 x2 x2 c2 43 Z dx c2 x2 1 c tan 1 x c 44 Z dx c2 x2 1 2c logc x c x c2 x2 45 Z dx x2 c2 1 2c logx c x c x2 c2 46 Z xdx c2 x2 1 2log c 2 x2 47 Z xdx c2 x2 n 1 1 2n c2 x2 n 48 Z dx c2 x2 n 1 2c2 n 1 x c2 x2 n 1 2n 3 Z dx c2 x2 n 1 49 Z dx x2 c2 n 1 2c2 n 1 x x2 c2 n 1 2n 3 Z dx x2 c2 n 1 50 Z xdx x2 c2 1 2 log x2 c2 A 22 INTEGRALS Continued 51 Z xdx x2 c2 n 1 1 2n x2 c2 n FORMS CONTAINING a bx and c dx u a bx v c dx k ad bc If k 0 then v c a u 52 Z dx u v 1 k log v u 53 Z xdx u v 1 k a b log u c d log v hi 54 Z dx u2 v 1 k 1 u d k log v u 55 Z xdx u2 v a bku c k2 log v u 56 Z x2dx u2 v a2 b2ku 1 k2 c2 d log v a k bc b2 log u 57 Z dx un vm 1 k m 1 1 un 1 vm 1 m n 2 b Z dx un vm 1 58 Z u v dx bx d k d2 log v 59 Z umdx vn 1 k n 1 um 1 vn 1 b n m 2 Z um vn 1 dx or 1 d n m 1 um vn 1 mk Z um 1 vn dx or 1 d n 1 um vn 1 mb Z um 1 vn 1 dx 8 FORMS CONTAINING a bxn 60 Z dx a bx2 1 ffi ffi ffi ffi ffi ab ptan 1 x ffi ffi ffi ffi ffi ab p a ab 0 61 Z dx a bx2 1 2 ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi ab ploga x ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi ab p a x ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi ab p ab 0 or 1 ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi ab ptanh 1 x ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi ab p a ab 62 Z dx a2 b2x2 1 abtan 1bx a 63 Z xdx a bx2 1 2b log a bx2 64 Z x2dx a bx2 x b a b Z dx a bx2 65 Z dx a bx2 2 x 2a a bx2 1 2a Z dx a bx2 A 23 INTEGRALS Continued 66 Z dx a2 b2x2 1 2ab loga bx a bx 67 Z dx a bx2 m 1 1 2ma x a bx2 m 2m 1 2ma Z dx a bx2 m or 2m m 2 x 2a X m r 1 r r 1 4a m r 2r a bx2 r 1 4a m Z dx a bx2 8 68 Z xdx a bx2 m 1 1 2bm a bx2 m 69 Z x2dx a bx2 m 1 x 2mb a bx2 m 1 2mb Z dx a bx2 m 70 Z dx x a bx2 1 2a log x2 a bx2 71 Z dx x2 a bx2 1 ax b a Z dx a bx2 72 Z dx x a bx2 m 1 1 2am a bx2 m 1 a Z dx x a bx2 m or 1 2am 1 X m r 1 ar r a bx2 r log x2 a bx2 8 73 Z dx x2 a bx2 m 1 1 a Z dx x2 a bx2 m b a Z dx a bx2 m 1 74 Z dx a bx3 k 3a 1 2log k x 3 a bx3 ffi ffiffi 3 p tan 1 2x k k ffi ffiffi 3 p k ffi ffiffi a b 3 r 75 Z xdx a bx3 1 3bk 1 2 log a bx3 k x 3 ffi ffiffi 3 p tan 1 2x k k ffi ffiffi 3 p k ffi ffiffi a b 3 r 76 Z x2dx a bx3 1 3b log a bx3 77 Z dx a bx4 k 2a 1 2 logx 2 2kx 2k2 x2 2kx 2k2 tan 1 2kx 2k2 x2 ab 0 k ffi ffi ffi ffi ffi a 4b 4 r 78 Z dx a bx4 k 2a 1 2 logx k x k tan 1 x k ab 0 k ffi ffiffi a b r 80 Z xdx a bx4 1 4bk logx 2 k x2 k ab 0 k ffi ffi ffi ffi ffi a 4b 4 r A 24 INTEGRALS Continued 82 Z x2dx a bx4 1 4bk logx k x k 2tan 1 x k ab FORMS CONTAINING c3 x3 89 Z dx c3 x3 1 6c2 log c x 3 c3 x3 1 c2 ffi ffiffi 3 p tan 1 2x c c ffi ffiffi 3 p 90 Z dx c3 x3 2 x 3c3 c3 x3 2 3c3 Z dx c3 x3 91 Z dx c3 x3 n 1 1 3nc3 x c3 x3 n 3n 1 Z dx c3 x3 n 92 Z xdx c3 x3 1 6c log c3 x3 c x 3 1 c ffi ffiffi 3 p tan 1 2x c c ffi ffiffi 3 p 93 Z xdx c3 x3 2 x2 3c3 c3 x3 1 3c3 Z xdx c3 x3 A 25 INTEGRALS Continued 94 Z xdx c3 x3 n 1 1 3nc3 x2 c3 x3 n 3n 2 Z xdx c3 x3 n 95 Z x2dx c3 x3 1 3log c 3 x3 96 Z x2dx c3 x3 n 1 1 3n c3 x3 n 97 Z dx x c3 x3 1 3c3 log x3 c3 x3 98 Z dx x c3 x3 2 1 3c3 c3 x3 1 3c6 log x3 c3 x3 99 Z dx x c3 x3 n 1 1 3nc3 c3 x3 n 1 c3 Z dx x c3 x3 n 100 Z dx x2 c3 x3 1 c3x 1 c3 Z xdx c3 x3 101 Z dx x2 c3 x3 n 1 1 c3 Z dx x2 c3 x3 n 1 c3 Z xdx c3 x3 n 1 FORMS CONTAINING c4 x4 102 Z dx c4 x4 1 2c3 ffi ffiffi 2 p 1 2 logx 2 cx ffi ffiffi 2 p c2 x2 cx ffi ffiffi 2 p c2 tan 1 cx ffi ffiffi 2 p c2 x2 103 Z dx c4 x4 1 2c3 1 2log c x c x tan 1 x c 104 Z xdx c4 x4 1 2c2 tan 1 x2 c2 105 Z xdx c4 x4 1 4c2 logc 2 x2 c2 x2 106 Z x2dx c4 x4 1 2c ffi ffiffi 2 p 1 2log x2 cx ffi ffiffi 2 p c2 x2 cx ffi ffiffi 2 p c2 tan 1 cx ffi ffiffi 2 p c2 x2 107 Z x2dx c4 x4 1 2c 1 2 logc x c x tan 1 x c 108 Z x3dx c4 x4 1 4log c 4 x4 FORMS CONTAINING a bx cx2 X a bx cx2and q 4ac b2 If q 0 then X c x b 2c 2 and formulas starting with 23 should be used in place of these 109 Z dx X 2 ffi ffiffi q p tan 1 2cx b ffi ffiffi q p q 0 110 Z dx X 2 ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi q ptanh 1 2cx b ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi q p or 1 ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi q plog 2cx b ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi q p 2cx b ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi q p q 111 Z dx X2 2cx b qX 2c q Z dx X A 26 INTEGRALS Continued 112 Z dx X3 2cx b q 1 2X2 3c qX 6c2 q2 Z dx X 113 Z dx Xn 1 2cx b nqXn 2 2n 1 c qn Z dx Xn or 2n n 2 c q n 2cx b q X n r 1 q cX r r 1 r 2r Z dx X 8 114 Z xdx X 1 2c logX b 2c Z dx X 115 Z xdx X2 bx 2a qX b q Z dx X 116 Z xdx Xn 1 2a bx nqXn b 2n 1 nq Z dx Xn 117 Z x2 X dx x c b 2c2 logX b2 2ac 2c2 Z dx X 118 Z x2 X2 dx b2 2ac x ab cqX 2a q Z dx X 119 Z xmdx Xn 1 xm 1 2n m 1 cXn n m 1 2n m 1 b c Z xm 1dx Xn 1 m 1 2n m 1 a c Z xm 2dx Xn 1 120 Z dx xX 1 2a logx 2 X b 2a Z dx X 121 Z dx x2X b 2a2 log X x2 1 ax b2 2a2 c a Z dx X 122 Z dx xXn 1 2a n 1 Xn 1 b 2a Z dx Xn 1 a Z dx xXn 1 123 Z dx xmXn 1 1 m 1 axm 1Xn n m 1 m 1 b a Z dx xm 1Xn 1 2n m 1 m 1 c a Z dx xm 2Xn 1 FORMS CONTAINING ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi a bx p 124 Z ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi a bx p dx 2 3b ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi a bx 3 q 125 Z x ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi a bx p dx 2 2a 3bx ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi a bx 3 q 15b2 126 Z x2 ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi a bx p dx 2 8a2 12abx 15b2x2 ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi a bx 3 q 105b3 127 Z xm ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi a bx p dx 2 b 2m 3 xm ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi a bx 3 q ma Z xm 1 ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi a bx p dx or 2 bm 1 ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi a bx pX m r 0 m a m r r m r 2r 3 a bx r 1 8 A 27 INTEGRALS Continued 128 Z ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi a bx p x dx 2 ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi a bx p a Z dx x ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi a bx p 129 Z ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi a bx p x2 dx ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi a bx p x b 2 Z dx x ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi a bx p 130 Z ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi a bx p xm dx 1 m 1 a ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi ffiffi ffiffi a bx 3 q xm 1 2m 5 b 2 Z ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi a bx p xm 1 dx 2 4 3 5 131 Z dx ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi a bx p 2 ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi a bx p b 132 Z xdx ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi a bx p 2 2a bx 3b2 ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi a bx p 133 Z x2dx ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi a bx p 2 8a2 4abx 3b2x2 15b3 ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi a bx p 134 Z xmdx ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi a bx p 2 2m 1 b xm ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi a bx p ma Z xm 1dx ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi a bx p or 2 a m ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi a bx p bm 1 X m r 0 1 rm a bx r 2r 1 r m r ar 8 135 Z dx x ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi a bx p 1 ffi ffiffi a p log ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi a bx p ffi ffiffi a p ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi a bx p ffi ffiffi a p a 0 136 Z dx x ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi a bx p 2 ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi a ptan 1 ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi a bx a r a 139 Z a bx n 2dx 2 a bx 2 n 2 b 2 n 140 Z x a bx n 2dx 2 b2 a bx 4 n 2 4 n a a bx 2 n 2 2 n 141 Z dx x a bx m 2 1 a Z dx x a bx m 2 2 b a Z dx a bx m 2 A 28 INTEGRALS Continued 142 Z a bx n 2dx x b Z a bx n 2 2dx a Z a bx n 2 2 x dx 143 Z f x ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi a bx p dx 2 b Z f z2 a b z zdz z ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi a bx p FORMS CONTAINING ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi ffiffi ffi a bx p and ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi ffiffi ffi c dx p u a bxv c dxk ad bc If k 0 then v c a u and formulas starting with 124 should be used in place of these 144 Z dx ffi ffi ffi ffiffi uv p 2 ffi ffi ffi ffi ffiffi bd ptanh 1 ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi bduv p bv bd 0 k 0 k 0 or 1 ffi ffi ffi ffi ffiffi bd plog bv ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi bduv p 2 v bd 0 8 145 Z dx ffi ffi ffi ffiffi uv p 2 ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi bd ptan 1 ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi bduv p bv or 1 ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi bd psin 1 2bdx ad bc jkj bd 146 Z ffi ffi ffi ffiffi uv p dx k 2bv 4bd ffi ffi ffi ffiffi uv p k2 8bd Z dx ffi ffi ffi ffiffi uv p 147 Z dx v ffi ffiffi u p 1 ffi ffi ffi ffi ffiffi kd plogd ffi ffiffi u p ffi ffi ffi ffi ffiffi kd p d ffi ffiffi u p ffi ffi ffi ffi ffiffi kd p or 1 ffi ffi ffi ffi ffiffi kd plog d ffi ffiffi u p ffi ffi ffi ffi ffiffi kd p 2 v kd 0 8 148 Z dx v ffi ffiffi u p 2 ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi kd ptan 1 d ffi ffiffi u p ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi kd p kd FORMS CONTAINING ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffiffi x2 a2 p 156 Z ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi x2 a2 p dx 1 2 x ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi x2 a2 p a2log x ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi x2 a2 p 157 Z dx ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi x2 a2 p log x ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi x2 a2 p 158 Z dx x ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi ffi x2 a2 p 1 jaj sec 1 x a 159 Z dx x 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