关于解题教学的几点思考（南京师大附中+孙居国）.doc

欢迎光临中学数学信息网 关于解题教学的几点思考南京师大附中 孙居国引言：几个案例顾浩洋同学，在整个高三一年中，做了老师布置的各项数学作业，另外自己还做了上百份高考模拟试题，平时的数学模考成绩相当突出，几次市模考数学几乎都是全校、甚至于全市第一，指望着考省市状元！但随着高考的临近，超来起焦虑，最后一次校模，附加分只有18分，（全校均分32分），高考中数学是128+32（班级均分）。徐雯同学考起代数来，优势非常明显，但考起几何时，成绩却比较糟糕。因此考试时成绩不稳定，最好可得全年级第一，差时却达不到平均分。姜晶晶同学平时数学学习一般，也没有参加什么竞赛，曾经有一段时间想出国，分散了一些精力，到了高三，精力相对集中一些，但也是不显山，不露水，高三完成作业情况也不是太好，第二学期做高考模拟试题不足20份，最后高考成绩为：146+39殷明周同学课堂上非堂投入，但作业不能认真及时的完成，特别是进入高三以后，对老师布置的作业不重视，只肯完成一半。但课后自己钻研了一些难题也做了一部分模拟试题，在高考中取得了优异的成绩。142+38沈佳华同学对数学特别感兴趣，特别热爱数学达到痴谜的程度，高一时写的解题论文老师看不懂，喜欢钻研难题，不重视基础，数学课堂上从来不听。高一参加全国联赛只有30分，后来加强了对基础的重视，上数学课能听讲，课堂作业基本能完成，在高二的全国联赛中得186（其中100分一等奖，140分获保送资格）在高三的全国联赛中入选省选，在国家队的集训中获银牌。蒋志远、张振宁上课几乎不听，作业基本不做，但课后花了大量时间与精力在数学上，成绩极不稳定，走了不少“弯路”、“错路”。在临近高考的二、三个月内奋起直追，均考了160多分。积极向上，知识面广博，有个性，有追求，有激情！德国著名教育家第斯多惠（F。A。W）Diesterweg）说：“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒和鼓舞。”而课堂教学正是落实激励学生参与的重要手段。激励学生奋发向上的追求；唤醒学生战胜困难的热情；鼓舞学生敢于胜利的斗志。一、让数学解题更自然数学是自然的。如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成过程，它的应用，以及它与其他概念的联系，你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味。同样解数学题也是一样，想想与它相关的概念、方法、思想等以后，你也会发现数学解题是自然的、清楚的、明白的！笛卡尔曾说：我们每解一题都要成为以后解题的范例。1 已知数列满足关系式，则的值是_。条件有什么？面对条件，你最想做什么？展开变形！186an13 anan1 an18即：6an13 anan1 an0做不下去了怎么办？看结论是什么？怎么将条件和结论联系起来！6an13 anan1 an0两边同除以an1 an10有没有看到希望了？能否将上式变得更简单一点？令bn上式可变为：bn12 bn1一般情况下，形如满足an1panq的数列怎么求通项？直接观察：如在等式两边同加上1得：bn112 (bn1)即数列 bn1是首项为2，公比为2的等比数列，所以bn2n1（2n1）所以（21+222nn）（2n12n）待定系数法an1xp（anx）解得：x在等式bn12 bn1两边同除以2n得令cn再叠加则可。有的学生总是停留在感觉和经验中，不容易接受理性、抽象的思维，拒绝成长，这样的人尽管天生丽质，聪慧灵活，但也只能是伟大的侏儒！如果每天能接受一点点理性、抽象的思维，在解题的过程中能体会到一点点方法的、概念的、思维的、抽象的、归纳的力量，那就会激发出无穷的潜力。长期以往，必将能成为平凡的巨人！变式训练：已知数列满足：，（n2），求通项.2数列中，。求。看到这个问题，你有什么想法？能否算出a1，a2，a3，a4，若能根据前几项归纳出通项公式，这将是一个伟大的发现！然后再用数学归纳法证明即可！能否直接求出通项公式呢？面对条件，我们唯一能做的就是将己知式子变形！如何变形比较合适呢？哪里讨厌从哪里下手！讨厌的通常怎么处理？通常有三类办法去根号！平方将被开方式化成完全平方式换元法在这个问题中哪种方法比较合适呢？综合上述三种情况，换元法比较合适！不妨令bn1则an则原式可化为：(1bn)整理得：4 bn1296 bnbn2丑小鸭变成了白天鹅！解题的过程往往就是将讨厌的东西变化喜欢的东西！如果能将将讨厌的东西变成了喜欢的东西，问题差不多就解决了！由4 bn1296 bnbn2得bn1 bnbn13( bn3)所以数列 bn3是首项为2公比为的等比数列。bn322n，即22n3所以an经验证，结论正确！（怎么验证）数学是自然的、清楚的、明白的！3设数列an，bn满足a1a0，an+1an，且bnln（1an）an2，nN*证明：1解：由a1a0，an+1an知an0（nN*），故bn0（nN*）构造函数f (x)ln（1x）x2x（x0），其导函数f(x)x1，当x0时，f（x）0，故f (x)在（0，）内为增函数，所以f (x)f (0)0，即bnan0，即1。要证，只要证ln（1an）an0，构造函数g(x)ln（1x）x0（x0），则导函数为g(x)1 ，当x0时，g(x)0，即g(x) 在（0，）内为减函数，故g(x)g(0)0，所以ln（1an）an0，ln（1an） an2an an2，即bnan an2所以，所以1说明：根据数列的特征构造函数，将非函数问题的条件或结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段构造函数，从而将数列的大小问题化归为函数的单调性问题。4设， ，求证：。观察问题，抓住条件和结论中关键因素！这个问题中是结论中含有，这是一个关键的细节。一般出现的问题与什么有关？与圆有关！与三角函数有关！三角函数是圆的解析表示法。猜想该问题可能与三角函数有关？尝试：由条件可推断可能与哪类三角函数有关？不妨试一试：正弦、余弦、正切与正切有关的可能性很大！若令an1tan则tan现在你有什么感想！构造新数列令antann n(0,)则tanntan，又因为n(0,)，a1tan所以数列n是首项为，公比为的等比数列，所以n()n1所以antannn通过本题的解答，说明，要花时间仔细的读完题后再作答，读题时要抓住题中的每一个信息！在读题时做到：预见性、层次性、条理性、探究性！在关键处给力在焦点处访谈在疑难处探究5己知数列满足,求.分析:先放弃一部分条件,也就是将原问题转化为一个更一般的问题.约束条件少了,自由度增加了,适合条件的数列更多了,挑选合适的数列更容易了.能否找到符合条件的数列?变化：数列中, 已知，写出符合条件的其中一个数列的通项公式。 变化：数列中, 已知=1，写出符合条件的其中一个数列的通项公式。 不符合 当或时，满足。时满足。即只要满足时就行。再变化：数列中, 已知。求数列的通项公式。 当或时，满足。时满足。即只要满足时就行。再变化：数列中, 已知。求数列的通项公式。条件成立，则满足：条件成立，则满足条件成立，则满足三个条件同时满足，则所以：数列的通项公式为。放弃一部分条件待解决问题可以解决的问题构造方程数列增加部分条件解决该问题解决原问题6已知数列的首项，（1）求的通项公式；（2）证明：对任意的，；（3）证明：解：（1），又，是以为首项，为公比的等比数列，（2）由（）知，原不等式成立（3）由（2）知，对任意的，有取，则原不等式成立7设r为正整数，定义数列如下： ， 求证：。分析 现在唯一能做的就是将条件变形！有没有遇到过类似的问题？还记得这样一个题目！己知，nan1(n1) an求an你是用什么方法做的？你能一眼就看出结果吗？怎么看的？改一下：己知，nan1(n2) an求an会了吗？再看原问题该怎么变形呢？两边同除以（n1）（n2）得到：（n1）（n2）an1n（n1）an2（n1）2r1令bnn（n1）an得bn1bn2（n1）2r1b2b1222r1b3b2232r1b4b3242r1 bnbn12n2r1 累加可得bn2（12r122r132r1n2r1）即证：2（12r122r132r1n2r1）能被n（n1）通常有什么方法证明整除问题？前后配对？要对n分奇偶讨论！能不分类吗？反序相加bn2（12r122r132r1n2r1）bn2（n2r132r122r112r1）bn(12r1n2r1)(22r1(n1)2r1)(k2r1(n 1k)2r1)(n2r112r1)只要看通项即可k2r1(n 1k)2r1k2r1C (n1) 2r1 C (n1)( k)2rk2r1 C (n1) 2r1 C (n1)( k)2r所以bn能除n1整除如何证明bn能除n整除？bn2（12r122r132r1（n1）2r1n2r1） 2（12r122r132r1（n1）2r1）2n2r1只要证2（12r122r132r1（n1）2r1）能除n整除！所以原题得证二、让数学思维看得见（不是说给学生听，而是想给学生听）对于高三数学课堂教学，笔者听了很多课，但基本上都有如下一个相对固定的模式。1知识梳理：将本节课或本单元的重点知识罗列，方法归类。2.基础回顾：主要是基本知识直接应用。以小题形式出现。3.典型例题：解答题形式出现，难度上有所增加稍有。4.课堂测试：小题形式，直接得用知识解决问题。这种教学过程中存在的最大问题是：强调“记忆和掌握现成的知识”，而把学生独立进行创造性活动放在次要的地位，学生被动的接受，很少让学生自己去发掘知识，以及在不同情况下分析和运用知识。忽视了学生的思维活动过程，停留在“模仿加记忆”的水平，教师教的不是为了学生真正的理解，只是让学生模仿，记住有关的结论、题型和方法。用这样的方法培养出来的学生，大多只能做死题，死做题，只能机械地毫无创造性地套用所学的知识，对数学思维能力的培养没有好处，缺乏创造精神，不利于学生数学思维的发展。为了让学生有效的进行学习，必须对学生的原有知识和经验的适当性作出及时的评价和必要的调整，决定认识活动的有效性的一个重要因素在于主体能否对自身所从事的认识活动（包括认知结构）具有清醒的自我意识并能及时作出自我评价和必要的调整。强调学生的自我意识。高三的数学教学，应是通过解题教学把知识、技能、思想、方法联系起来。通过例题教学，要达到掌握基础、传授方法、揭示规律、启发思想、培养能力的目的。形成相对稳定的解题认知结构和思维风格。下面结合课堂实例对高三教学活动谈一谈体会与认识。课题是直线方程。问题：“己知直线经过点，请同学们自己再加另一个条件.求直线的方程.”（1） 过程的分析通过对学生给出结论的整理与分析（见下表）。发现学生在构建问题的过程是知识的不断重组或思维不断优化的过程，可以看出学生数学思维的一些重要特征。发现学生的认知风格。学生解题能力的形成，并不取决于解题数量的多少，而与题目的质量有密切关系，所谓题目的质量，是指题目有一定的控制功能，不仅有助于知识的巩固和理解，而且有助于掌握探索问题解法的方法。这在很大程度上决定了解题教学的效果。学生添加的条件过程分析这一类问题，是学生根据直线的基本形式，对直线方程最基本的问题都包含进去了。可以发现这类学生思维定位在直线方程的基本形式。特别是注意了斜率不存在的情形。通过这类问题的解决，学生基本上巩固了直线方程的五种基本形式，比教师归纳或提问叫学生回答效果较好。倾斜角为直线在x轴上的截距为1过点(3,4)斜率不存在在x轴与y轴上的截距相等与直线垂直两条直线的位置关系。与单一求直线方程在思维上又进了一步，巩固性知识之间的联系。要有利于巩固基础知识，基本技能和基本方法的理解和掌握。与平行原点到该直线的距离为1点到直线的距离。从学生的设回答可以看出：从几何和代数两个方面来寻找解决这类问题的思路。几何的特殊位置和函数的极值对应起来。与点(2,3)距离最远且距直线距离为3有的学生不仅考察点到直线的距离，还更进一步考到方法与结果的特征。与相切、与相切和与相切反映了解题方法与思路。当半径为1时，有一条直线斜率不存在的情形要单独讨论。当半径为时，点正好在圆上，只有一条。当半径为时，有两条。当半径为3时，没有切线。包含了分类讨论等思想。充分暴露了思维的层次性。与相切与相切与相切与相切经过与,的交点该问题提出在同学们发现解“不够好”，原因是两直线交点坐标比较“繁”，马上同学们立刻沿着这一思路比寻找更好的“解”，逆向思维、自我纠正、调节监控等思维手段充分调动起来。调整后与方程所表示的曲线相切截直线,且P为该线段的中点(汪逸之)发展学生的能力，发展学生的思维，掌握探索解题的方法，培养他们独立思考与创新精神。因此，要精心选择和编制包括运用科学的方法，提高逻辑素养，培养创造力的数学问题，例系列题、变式题等。与两坐标轴围成的面积是3从这类问题中，学生己经考虑到知识的迁移。函数、方程思想在此得到了很好的应用。设直线方程为在轴上的截距分别为截距之和为与坐标轴围成面积而有的答案存在解，有的不存在解，学生自然就挖究为什么不存在解，原因是什么？怎样调控才能使结果更合理？学生的思维积极性得到充分的调动。思维过程清晰生动的暴露出来。而这一些教师在设计时不可能全部想到。通过探索活动，学生根据自己的经验和知识，运用实验、观察、想像、直觉、猜想、验证和反驳的方法，寻求一种可能结论性活动。其基本特点是：不是运用逻辑推理的论证方法，而是运用合情推理的探索方法，可以预测可能性结论的正确程度，对其作出合理的修正，其结果只具有可能性，必须通过严格的论证才是可靠的。与两坐标轴围成的面积是1在坐标轴上截距之和最大的直线交坐标轴正半轴于A,B.与两坐标轴围成的面积是在坐标轴上截距之积为12在x轴与y轴上的截距的平方和为10在x轴与y轴上的截距互为相反数与两坐标轴围成的面积是1的直线方程在x轴与y轴上的截距之和最大, 截距之积最大与关于原点对称同样是错误，但反映了学生不同的思想轨迹。这几位同学数学思维水平很高，但有时不够严谨，保护其积极性。弄清他们的真实意图。通过对问题的展示，暴露出学生一些表述语言的规范性。用日常生活概念代替数学概念。用形象描述代替数学概念。对学生的数学表达提出更高的要求。能更好的帮助学生阅读问题和理解问题，清楚地表达自己的数学观点。可以发现学生的思维习惯，有的粗枝大叶，丢三拉四，看起来会做，但做不出结果。培养了学生思维的深刻性。有的小心奕奕，不敢越雷池半步，重点不突出，事倍功半。灵活性不够。运算能力差异性大。有的运算能力强，解题能够深入。有的运算能力较差，得不出结果，使解题到处受阻。与P关于直线的对称点的直线方程.与仅有2个交点关于原点对称的直线距(2,0)距离为3从学生的提供的情况分析，直线方程的基本形式，与直线相关的概念，直线间的关系，点线关系、直线和圆的关系都充分的体现出来。去掉原来老师给出的条件，将学生的两个条件合起来又得出新的问题。可以给学生更多的思维空间。（2） 问题的反思为什么怎样提问？是为了更好地提高高三课堂的效率,做到不是高一、高二的简单重复，而是对学生能力的进一步提升和发展。要有利于促进学生对原有知识经验回顾、整理重构，更贴近学生的实际，从学生中来，到学生中去。提高课堂的兴趣，使学生一直处于思维的兴奋点。问题所涉及的知识发生在学生的最近发展区。设计这一问题有以下四个方面的思考。11降低思维的起点,创设思维活动的基础。因为，高三学生与高一高二不一样。知识经验的准备不一样，学生对高中数学知识和方法己经有了一定的了解。对知识己经掌握到了不同程度。作为高三的数学课堂，对于各类学生的数学知识、能力及认知风格有较深入的了解应是教师设计教学的逻辑起点。由于学生的差异性和个性特征不同，为了让不同的学生都有思考的空间。所以教学设计时，能促使每一个学生都有思维活动的基础。调动了全体学生的积极性和参与热情。比较完整和清晰地反映了学生的思想特征和过程，充分体现了每一位同学的个性特征，暴露的学生的优点和不足。充分利用主体己有的知识经验在认识活动中发挥了十分重要的作用，这也就是说，主体并不被看成在认识活动中处于完全被动的地位，而是发挥了十分重要的能动作用。12拓宽问题的出口,展示思维的过程和风格由于低起点，每一个学生都能给出相应的结论，但学生的认知风格各异，所以给出的结论各不相同，与高一入学时相比学生的差异性更大，课堂的兴趣会减少，新奇性减少。思维方式、认识风格己基本形成、有的学生喜欢用固有的方法去解所有的问题，定势思维现象较严重。有的学生喜欢用新方法去解决原有问题，求异思维。通过学生对问题的提出的解答,可以发现学生的思维过程和风格. 主体己有的知识经验在认识活动中发挥了十分重要的作用，这也就是说，主体并不被看成在认识活动中处于完全被动的地位，而是发挥了十分重要的能动作用。全部数学都可以按照结构的建构来考虑，而这种建构始终是完全开放的，这种结构或者正在形成更强的结构。13调动参与的主动性,激发学生思维的热情.以开放的形式给出问题，具有较大的普适性，对于不同层次的学生都有思考的时间和空间。增加了学生参与课堂的热情，每一位学生主动地回忆原有的知识和经验，结合自己的思维特征，主动地在思维上积极参与到课堂中来。若直接给出确定的问题,学生感到乏味，优秀学生做了大量重复无效的活动，而学习能力比较差的学生跟不上课堂节节奏，感到学习困难。老师不能深入了解学生的想法，整个课堂以教师为中心，学生围着老师的问题团团转。始终处于被动接受的地位.通过这样的设计,使问题与学生己有的认知结构之间建立起实质性的、非人为的联系，使得学习更有意义. 在解题问题之前就己经对模式进行了思考，变“被动的防守”为“主动的进攻”，给学生提供了一种思考问题的模式。14培养学生的独立性,形成稳定的思维结构由于教师的指导应体现为学生创设情境，问题情境的开放性和结论的不确定性，每一位学生独立地积极地进行数学思维活动。在各自能力范围内寻求最佳的答案。让学生积极主动独立的从事有意义学习。应当立足于对学习过程中真实思维活动的深入了解与分析。独立性原则决定了数学思维活动必须由学生独立地进行。确定了求直线方程通常要两个独立的条件.为以后学习圆、圆锥曲线等问题提供了学习的方法。例如何给出3个独立的条件确定圆的方程等。通过上述变化.学生变更问题的意识增强,自发地整理所学的知识.增加条理性,系统性,问题的层次性.对问题的数学结构和特征有更加明晰的认识.开阔了学生的视野.基本知识基本方法得到巩固和深化.进一步明确数学学习的过程就是常识发展的过程.增加了学习的主动性.真正做到主动深动的发展.培养思维的深刻性,敏锐性.揭发学生的兴趣.高三学生上课效率低,容易疲劳,上课睡觉的比比皆是.这与教师的设计有较大的关系.在方法论和思想论上都得到提高,在不变中求变化,在变化中找不变.在形式上多样化,在本质方法上同一化.两个独立的条件确定一条直线。总之，解题的教学，不但关心问题的结果，而且更关心求得结果的过程，也就是解题的思维过程。从数学教育角度看，解题的思维过程最有价值的。从学生给出的结论可以看出学生思维的特征。通过学生自己提出条件，必然对原有知识和经验自发的回忆与识别，可以发现学生的思维的深度、广度和严谨性。通过适当的调整有利于提高学生学习的积极性和主动性。三、将数学探究进行到底数学探究学习是指学生自己或合作共同体针对要学习的概念、原理、法则或要解决的数学问题主动地思考、探索的学习活动，强调的是一种主动参与的学习方式。课本及参考资料由于是静态化的学习材料，通常是现成的结论和比较成熟的思想方法，很难将探究的过程动态化的体现出来，这就要求教师进行创造性的工作，借助课堂这一动态发展的优势，为学生营造探究的环境和条件，促进学生学习方式和观念的转变，从而使以培养创新精神和实践能力为核心的教育理念落务到实处。本文结合苏教版数学选修2-22.1.3推理案例赏析中数学活动部分的教学过程及思想谈以下几点想法。1 给学生探究的空间更大一些苏教版数学选修2-22.1.3推理案例赏析中数学活动简述：例1 正整数平方和公式的推导提出问题：前个正整数的和为那么前个正整数的平方和观察表中数据（表1）1234561361015211514305591尝试计算，终于在计算和的比时，发现规律了（表2）1234561361015211514305591于是猜想。在这一数学活动中，“尝试计算”才是真正体现了探究性！怎样尝试计算？尝试了哪些计算？这正是教师需要思考的。如果教师叫学生直接将两组数据作比，发现什么规律？呈现一个或多个己被教师加工、抽象好的数学问题，这是现实数学教学中的常见现象。由于指导过多、过细，将本该学生自己思考、探索的问题包办代替；有时照本宣科，有意识地将一些较高层次的探索性问题分解为一个个较低认知识水平的“小步子、低难度”问题，清除了教学障碍，但同时也使探究流于浅层次的认知水平，不利于培养学生的探究意识和创造精神, 使得学生探究的空间就很小。教师不妨作以下处理1234561361015211514305591表中的和数据又怎样的联系？通常遇到两组数据可以进行哪些处理方法？若将两组数尝试进行加、减、乘、除运算会有什么样的发现！这样提出问题，比只考察 “除”空间要大。这是一个需要提炼的模糊问题，一个开放性问题、学生可以根据一组活动素材展开一系列数学探究活动。由定向思维变为发散思维，对于展开的途径、问题的程度和类别则不作过多的限定，使得探究的空间更大。尝试进行加、减、乘、除运算得到（表3）1234561361015211514305591+2820407011202820407011584300825191112 给学生探究的时间更长一些学生通过观察（表3），很快发现和“比”时的规律，从而猜想出.数学的探究学习并不是为了得到一个确定的结论, 而强调的是一种是主动参与的学习方式。在进行数学活动时，让学生真正的“活动”起来，在活动的过程中作出合情推理的猜想即“念头”。因此，可以适当延长学生探究的时间，对上述表中的各组数据再进行再“活动”，对每一个数据进行分析。（表4）136101521中的数据可以表示成的形式，其它行的数据能否具有这样的形式？通过类比提出新问题，并让学生花一定的时间去探究。由于+和相似，比较复杂。学生的注意力集中在+的整理与变形。发现如下：（表5）+28204070112猜想发现得到，从而得到；=.这一结果尽管来之不易，大部分学生可能没有得到这一结果，只有少数学生得到这一结论，但每一个学生都进入实质性探究活动阶段。对“迷路”的学生应给“指南针”，由学生自己定方向；对“走错”的学生，应尽可能多地肯定学生思维的合理的成分。这样适当延长时间的探究“活动”意义重大。学生经历了“由无到有、从有到优”的亲身体会，其他学生从中真正“赏析”了数学的内在之联系，感悟到了数学之美。3 给学生探究的层次更深一些通过上述的学生活动，从不同的途径获得了结论。结论的“正确性”尽管学生确信无疑，但如何证明这一结论的正确性，正是学生此时所需要的。如果此时老师直接讲解如何证明该结论，就中断了学生“思维活动”的流畅性。若在原来的基础上，再灵活的提问，让探究的层次再深入一些，在已经掌握的类似或相近的基础上加以改造、变换和重组等“思维活动”，学生对己有的处理方法适当变通，在较高的层次上思考、探索出问题的解答。激发学生的学习兴趣，以创造生动活泼的情境，使学生带着浓厚的兴趣去积极思维、参与活动。再要求学生考察下表（表6）中的两组数据123456+28204070112028204070可以发现两组结果错开一位，用式子表示如下：+=（）（+）即对任意都成立.即 将上述各式相加，得：从而得到：通过此法，就证明：.解决这一问题的关键在于学生能发现表6中两组数据的关系，并能有效的变形，探究的层次更加分明，在貌似无实则蕴疑之处探究。貌似无疑是学生思维活动停留在浅层面的反映，并不是真的没有问题，只不过学生还没有发现发现深蕴其中的问题。如果不失时机地在该处提问激疑，就能使学生的思维活动更深入，对问题的理解更接近本质，有助于培养发现问题、解决问题的能力。4给学生探究的广度更宽一些尽管问题己得到圆满的解答。不应把探究问题的结果作为一次探究活动的结束，而应把问题的探究和发现解决的过程延伸到课外和后续内容的学习。通常的做法是将问题引申、推广，引导学生用变维（改变问题的维度）、变序（改变问题的条件、结论）等方式提出新问题，将探究活动自然地延续下去。求异探新、问题延伸的目的是培养学生主动参与与探究数学问题的意识和习惯，而是否能探究出最终结果并不重要。对于式子：能否加以类比推广？进一步探究，可以得到：，从而可以求出.得出一般结论：.从中可以求出的前项的和。本节课，从探究的空间、时间、层次、宽度等方面为学生营造了一个较为宽松的探究情境，探究活动基本上自成体系、有序、环环相扣。各个探究活动之间密切相关，做到由浅入深、由易到难、由表及里、由现象到本质。整个探究活动彻底而较有成效。因此，若在平时的教学过程中，若能将数学探究活动进行到底，则会提高课堂效率，有效促进学生主动生动的发展。四、猜想在先，论证在后波利亚有一段精彩的论述：“我想谈一个小小