§2-6 函数的极大(小)值和最大(小)值.doc

1272-6 函数的极值和最大（小）值2-6 函数的极大(小)值和最大(小)值1.函数的极大(小)值 一个函数在它有定义的区间上可能没有最大(小)值，但它在某个部分区间上可能会有最大(小)值，即局部最大值或局部最小值.函数的局部最大值或局部最小值，又称为函数的极大值或极小值.具体地说，设函数在点连续.若有足够小的正数，使yy = f (x)图2-21 O a x0 x1 b x(图2-21)则称函数在点取到极大值，并称点为函数的极大值点.同理，使(图2-21)则称函数在点取到极小值，并称点为函数的极小值点.函数的极大值和极小值统称为函数的极值，而函数的极大值点和极小值点统称为函数的极值点.因为函数的极值是函数在小范围内的最大值或最小值，根据定理2-1，我们就有下面的结论：若函数在某区间内的点处取到极值且有导数，则.因此，是可微函数在点取到极值的必要条件,但它不是可微函数取到极值的充分条件! 例如函数，尽管有，但不是它的极值点(图2-22).以后，就把使的点称为函数的驻点(可能不是极值点).图2-22xyO图2-23O xy需要指出，不能把上面的结论简单说成“函数取到极值的必要条件”.例如，函数 (图2-23)，它在点0有极小值(也是最小值)，可是它在点0没有导数.因此，函数在区间内部的极值点只可能是它的驻点或没有导数的点.它们合在一起称为函数的临界点.一般情形下，求连续函数在开区间内的极值时，一般步骤是：第一步，求出在区间内的所有临界点(即驻点或没有导数的点)；第二步，对于每一个临界点，再用下面的判别法验证它是否为极值点；第三步，求出函数在极值点处的函数值(即函数的极大值或极小值).判别法 设为连续函数在区间内的临界点(驻点或没有导数的点).若有足够小的正数，使(见图2-24)在内是增大的且在内又是减小的，则是极大值； 或 或在内是减小的且在内又是增大的，则是极小值； 或 或在内是增大的或是减小的，则不是极值.(1)x0图2-24(2)x0x0(3)当为函数的驻点且时，就用下面的判别法.判别法 设为函数在区间内的驻点即.若有二阶导数，则 当时，是极大值； 当时，是极小值.当时，函数在点是否取到极值，需要做进一步的讨论证 根据例22（2-5），则有于是得因为，所以当足够小时，与同符号.因此，有正数，使当时，这就是要证的结论. 例23 求函数的极值.解 ，由得驻点.因为，所以是极大值； 是极小值.【注】若函数在点没有导数或二阶导数，就去用上面的判别法.2.函数的最大(小)值(又称为绝对极值) 函数的最大(小)值是指函数在定义域或定义域中某个区间上的最大(小)值.求连续函数在闭区间上的最大值和最小值时，方法更简单：第一步，先求出在开区间内的临界点；并求出在所有临界点上的函数值.第二步，把以上函数值与区间端点上的函数值和放在一起做比较，其中最大者就是函数在闭区间上的最大值，最小者就是函数在闭区间上的最小值.非闭区间上的连续函数可能没有最大值或最小值.在这种情形下，就要根据具体问题，经过分析后才能确定某个函数值是最大值或最小值.例如， 函数在区间上增大(减小)时，就是最小值(最大值)； 函数在区间上增大(减小)时，就是最大值(最小值)； 设有点. 若函数在区间上增大且又在区间上减小，则就是最大值；若函数在区间上减小且又在区间上增大，则就是最小值.例24 证明不等式：.证 令，则在上是连续函数.因为 即函数是增函数 所以是最小值.因此，即.例25 证明：函数在区间内有最大值. 由此再证明近代数学中著名的赫尔窦(Hlder)不等式: 证 由得驻点. 因为 当时， 即增大， 当时， 即减小，所以是最大值. 其次，令，则 而根据上述结论，即，则得不等式两端同乘，并注意，则得要证的不等式.在非闭区间上求一个函数的最大(小)值问题，常常出现在实际应用问题中.解这类问题时，首先需要根据问题本身，运用几何学或物理学或其他有关科学中的知识，列出“目标函数”(即要求它的最大值或最小值的函数)的函数式.这样，问题就变成求目标函数的最大值或最小值.例如， “当矩形周长为定值时，它的长和宽为何值时面积最大？” 或“当矩形面积S为定值时，它的长和宽为何值时周长最小？”设矩形的一边长为，则前一个问题的目标函数就是(矩形面积) 而后一个问题的目标函数就是(矩形周长) 这样，问题就变成求函数的最大值或求函数的最小值.例26 设有闭合电路如图2-25. 它由电动势、内阻和纯电阻负载所构成.若和是已知常数，问负载为何值时，电流的电功率最大？EI图2-25R解 根据电学的知识，闭合电路中电流的电功率为(为电流强度)而根据闭合电路的欧姆定律，电流强度. 因此，电功率为 (自变量为)由，即由得. 因此，当负载(内阻)时，电功率取到最大值. 例27 由材料力学的知识，横截面为矩形的横梁的强度是(为比例系数，为矩形的宽，为矩形的高)今要将一根横截面直径为的圆木，切成横截面为矩形且有最大强度的横梁，那么矩形的高与宽之比应该是多少？解 如图2-26，因为，所以.令，即则得驻点.根据实际问题的提法，当矩形的宽时，强度取到最大值.此时，因为所以.图2-26h d xA C D B图2-27在实际工作中，技术人员是按下面的几何方法设计的：把圆木的横截面(圆)的直径分成三等份(如图2-27)，再分别自分点和向相反方向作直径的垂线，交圆周后做成图中那样的矩形.这个矩形的长边与短边的比值就是.例28 已知某工厂生产件产品的成本为(元)问： 要使平均成本最小，应生产多少件产品？ 若产品以每件500元售出，要获得最大利润，应生产多少件产品？最大利润是多少? 解 平均成本为(元/件)让，则得(件).因此，生产件产品时平均成本最小. 售出件产品时，收入为(元)，而利润为(收入)-(成本) 让，则得(件).因此，生产件产品并全部售出时，获得的利润最大.最大利润为(元).习 题 1.求下列函数的极值(极大值或极小值)：求连续函数在定义区间内的极值时，应先找出导数等于零的点（驻点）和没有导数的点，然后按上面指出的判别法，去判别函数在这些点上是否取到极大值或极小值. ； ； ； ； ； ； ； .答案：； ；.2.求下列函数在指出区间上的最大值和最小值： .答案：.3.设. 当为何值时，函数取最小值？答案：(算术平均值).4.设 求函数的最大值. 提示：把区间分成三个区间. 答案：.5.证明下面的不等式： .6.设有方程(为常数).问：当满足什么条件时，方程有: 三个实根，两个实根，一个实根？ 提示：分别研究下图， xxxxx第6题图 答案：；或.7.在什么条件下，方程有：一个实根，三个实根？提示：参考上一题的做法. 答案：；.8.确定下列各方程实根的个数，并指出只含有一个实根的区间： ； ； ； . 答案：一个实根，在内；两个实根，； 当时有一个实根，在内； 当时有两个实根，； 当时有一个实根；当时没有实根. 当时有一个实根，在内；当时有三个实根， .9.设有二阶导数. 证明： 若函数在点取到极大值，则； 若函数在点取到极小值，则.10.设函数.证明：有最大值，但在点的左旁附近不是增大的，而且在点的右旁附近不是减小的(这说明判别法中的条件不是必要的).11.应用题设两正数与的和等于常数().求的最大值. 设两正数与的乘积等于常数().求的最小值.在有一定体积的所有正圆柱体中，当底圆半径与高之比为何值时，它有最小的表面积？ 用薄钢板做一个容积为定值的无盖圆柱形桶.假若不计钢板厚度和剪裁时的损耗，问桶底半径与高各为多少时，用料最省？ 从半径为的圆上切掉一个扇形后，把余下部分卷成一个漏斗.问余下部分扇形的圆心角为何值时，卷成漏斗的容积最大？第11题图 R第11题图yO 1B B B BC(