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3 4基本不等式 第2课时 复习旧知 1 重要不等式 2 基本不等式 注意两个不等式的成立条件 公式的常见变形形式 以上两个公式是由怎样变形得来的 例课本100页练习3题 用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形 应当怎样折 解 设矩形的长与宽分别为acm bcm a 0 b 0 由题意a b 10 所以 当且仅当a b 5时取等号 答 当矩形的长与宽均为5时 面积最大 由 可得出 由 可得出 公式的变形形式可以直接使用 引例 1 把36写成两个正数的积 当这两个数取什么值时 它们的和最小 2 把18写成两个正数的和 当这两个数取什么值时 它们的积最大 解 1 设两个数为a b 则a 0 b 0 ab 36 当且仅当a b 6时和最小 2 设两个数为a b 则a 0 b 0 a b 18 当且仅当a b 9时积最大 那么 对于一般的正数有什么结论 例1已知都是正数 求证 1 如果积是定值 那么当时 和有最小值 2 如果和是定值 那么当时 积有最大值 我们把它称为极值定理 证 所以当时有 简记 积定和最小 和定积最大 所以当时有 说明 用极值定理可求函数的最值 在求函数的最值时应注意 1 定理的成立条件 只有当都是正数时才成立 即只有当都是正数时 才能应用 但当都是负数时 也可应用 解 函数的定义域是 当 时 当 时取等号 时 值域为 当 时 当时取等号 时 值域为 综上 原函数的值域为 求和的最小值 积必为定值 求积的最大值 和必为定值 否则不能用定理 解 就说 最小值为 是错误的 因为 不是定值 它会随 的变化而变化 若继续 当且仅当 即 舍去 时取等号 则也错误 代入得 解 当且仅当 正确的解法为 一定要能取到等号 若这样解 所以它的最小值为0 显然是错误的 正解 令 函数在 0 1 为减函数 在 上为增函数 上为增函数 当t 2时 即x 0时 函数取得最小值为 故在 等号成立条件不存在 利用极值定理求最大值或最小值时应注意 等号是否能够成立 2 求积最大值时 应看和是否为定值 求和最小值时 看积是否为定值 简记为一正二定三相等 三者缺一不可 例2证明下列各题 1 证 若上题改成 结果将如何 2 解 从而 若 则 解 若 则显然有 异号或一个为0则 随堂练习 找找以下做法是否正确 说明理由 错的 给出正确作法 已知 求函数的最小值 解 当且仅当即时取等号 所以函数的最小值为6 已知 求函数的最小值 解 故最小值为4 解 所以最小值为8 小结 1 极值定理以及用极值定理应注意的三个条件 2 常见的公式变形 3 基本不等式在实际问题中的应用的步骤 1 先理解题意 设变量 设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数 2 建立相应的函数关系式 把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题 3 在定义
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