2006中科院量子力学试题乙A试题+答案.pdf

中国科学院研究生院中国科学院研究生院 2006 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 参考答案 量子力学 乙 卷参考答案 量子力学 乙 卷 考生须知 考生须知 1 本试卷满分为 150 分 全部考试时间总计 180 分钟 2 所有答案必须写在答题纸上 写在试题纸上或草稿纸上一律无效 入射一维方势垒 a 0 0 0 0 0 Vx V x xxa E一 共 30 分 粒子以能量 设能量 求透射系数 解 解 定态薛定谔方程为 0 EV T 22 2 2 d V xxEx m dx 其解为 12 expexp 0 expexp 0 exp ikxBikxx xCik xCik xx Dikxxa a 其中 022 22 m EVmE kk 由波函数 x 及其一阶导数在0 xxa 处连 续条件 可得 22 4exp exp 2 kki kka D kkkkik a 由此得到透射系数 22 22 2 22222 4 sin4 jkk TDD mmj k k kkk ak k 透 入 二 共30分 自旋为的粒子置于势场中 V x 0 0 0 xa V x xxa 1 2 设粒子所 处状态为 35 11 x ii 52 189 z x sx 其 中 n x 为系统空间部分的第 n个 能量本征函数 已归一化 求能量的可测值及相应的取值概率 解 解 可验证 z x s 已经归一化 能量的可测值为E和E 相应的 35 取值概率 n W E 为 35 W E 54 99 W E 参考答案 2006 量子力学 乙 第 1 页 共 3 页 三 共30分 用不确定度关系估算一维谐振子的基态能量 解 解 谐振子基态为宇称本征态 0 xp 因此 22 22 xxp p 由测不准关系 2 xp 得 22 2 11 222 p Hm mp 由取极值条件 H H p 0 得 2 2 m p 代入得到基态能量的估计值为 H min 1 2 H 四 共30分 各向同性的三维谐振子哈密顿算符为 22 0 22 22 m Hr m 加 上微扰 zx后 求第一激发态的一级能量修正 1 Hxyyz 解 解 已知的本征解为 0 H 0 123 3 2 n Ennn 123 0 123 0 1 2 nnnn x y zxyzn n n n 第一激发态 0 1 5 2 E 存在三重简并 即 0 11100 0 12010 0 13001 x y zxyz x y zxyz x y zxyz 在简并子空间中 能量的一级修正满足的久期方程为 1 1 E 1 1 2 1 1 22 1 1 0 2 Eaa aEaa aaE 1 1 1 111213 2EEaEa 可解得 五 共30分 自旋为 1 2 磁矩为 电荷为零的粒子置于磁场中 0t 时磁场为 00 0 0 BB 粒子处于 z 的本征值为1 的本征态 0 设在0t 时 再加上弱磁 场0 求0t 时的波函数 以及测到自旋反转的概率 1 11 0 BB 解法一 解法一 精确解 磁场对粒子的作用为 10 xz HBBB 在 z 表象中 的本征值和本征函数 未归一化 为 其中 H 1 0 1 0 11 21 E E 22 1101 00 BB 参考答案 2006 量子力学 乙 第 2 页 共 3 页 参考答案 2006 量子力学 乙 第 3 页 共 3 页 0t 将时初始波函数按能量本征函数展开得到 12 0 1 0 12 在时 波函数为 0t 01 12 10 1 sincossin 012 i ti t teeittit t 满足归一化条件 因此在时刻 测到粒子自旋反转的概率为 0t 2 2 2 11 2 sinsin 2 z W sitt 解法二 解法二 近似解 0t 时磁场为 0 0 0 0 BB 沿Z轴正方向 系统哈密顿量为 00 zHBB 粒子处于本征态 相应的能量本征值 0 1 00 EB 0 在时加入微扰0t 11 xHBB 在的作用下 粒子由跃迁到态 相应的能量本征值为H 0 0 1 1 0 0 EB f 跃迁概率为 2 2 0 1 t it e PHdt 其中矩阵元 11 x HHBB 1 00 1 2 f EE 于是 2