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数学解题方法与技巧一、换元法 “换元”的思想和方法，在数学中有着广泛的应用，灵活运用换元法解题，有助于数量关系明朗化，变繁为简，化难为易，给出简便、巧妙的解答。 在解题过程中，把题中某一式子如f(x)，作为新的变量y或者把题中某一变量如x，用新变量t的式子如g(t)替换，即通过令f(x)=y或x=g(t)进行变量代换，得到结构简单便于求解的新解题方法，通常称为换元法或变量代换法。 用换元法解题，关键在于根据问题的结构特征，选择能以简驭繁，化难为易的代换f(x)=y或x=g(t)。就换元的具体形式而论，是多种多样的，常用的有有理式代换，根式代换，指数式代换，对数式代换，三角式代换，反三角式代换，复变量代换等，宜在解题实践中不断总结经验，掌握有关的技巧。 例如，用于求解代数问题的三角代换，在具体设计时，宜遵循以下原则：（1）全面考虑三角函数的定义域、值域和有关的公式、性质；（2）力求减少变量的个数，使问题结构简单化；（3）便于借助已知三角公式，建立变量间的内在联系。只有全面考虑以上原则，才能谋取恰当的三角代换。 换元法是一种重要的数学方法，在多项式的因式分解，代数式的化简计算，恒等式、条件等式或不等式的证明，方程、方程组、不等式、不等式组或混合组的求解，函数表达式、定义域、值域或最值的推求，以及解析几何中的坐标替换，普通方程与参数方程、极坐标方程的互化等问题中，都有着广泛的应用。例1 分解因式：(x2-x-3)(x2-x-5)-3例2 在实数集上解方程：例3 设sinx+siny=1，求cosx+cosy的取值范围.例4 设x,yR，且，求函数f(x,y)=x2+2xy+y2+x+2y的最小值和最大值。二、消元法 对于含有多个变数的问题，有时可以利用题设条件和某些已知恒等式（代数恒等式或三角恒等式），通过适当的变形，消去一部分变数，使问题得以解决，这种解题方法，通常称为消元法，又称消去法。 消元法是解方程组的基本方法，在推证条件等式和把参数方程化成普通方程等问题中，也有着重要的应用。 用消元法解题，具有较强的技巧性，常常需要根据题目的特点，灵活选择合适的消元方法。例1 解方程组： x+1=y x-y-z=6 例2 解方程组： y-z-x=0 z-x-y= -12例3、设a,b,c均为不等于1的正数，若 ax=by=cz 求证： abc=1三、待定系数法 按照一定规律，先写出问题的解的形式（一般是指一个算式、表达式或方程），其中含有若干尚待确定的未知系数的值，从而得到问题的解。这种解题方法，通常称为待定系数法；其中尚待确定的未知系数，称为待定系数。 确定待定系数的值，有两种常用方法：比较系数法和特殊值法。一、 比较系数法 比较系数法，是指通过比较恒等式两边多项式的对应项系数，得到关于待定系数的若干关系式（通常是多元方程组），由此求得待定系数的值。 比较系数法的理论根据，是多项式的恒等定理：两个多项式恒等的充分必要条件是对应项系数相等，即a0xn+a1xn-1+ +anb0xn+b1xn-1+ +bn 的充分必要条件是 a0=b0, a1=b1, an=bn 。 二、 特殊值法 特殊值法，是指通过取字母的一些特定数据值代入恒等式，由左右两边数值相等得到关于待定系数的若干关系式，由此求得待定系数的值。 特殊值法的理论根据，是表达式恒等的定义：两个表达式恒等，是指用字母容许值集内的任意值代替表达式中的字母，恒等式左右两边的值总是相等的。 待定系数法是一种常用的数学方法，主要用于处理涉及多项式恒等变形问题，如分解因式、证明恒等式、解方程、将分式表示为部分分式、确定函数的解析式和圆锥曲线的方程等。例1 设二次函数的图象通过点A（-1，0），B（7，0），C（3，-8），求此二次函数的解析式。例2 以x-1的幂表示多项式 x3-x2+2x+2。例3 分解因式：6x2+xy-2y2+x+10y-12.四、判别式法 实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0) 的判别式=b2-4ac具有以下性质： 0，当且仅当方程有两个不相等的实数根 0，当且仅当方程有两个相等的实数根； 0，当且仅当方程没有实数根。对于二次函数 y=ax2+bx+c (a0)它的判别式=b2-4ac具有以下性质： 0，当且仅当抛物线与x轴有两个公共点； 0，当且仅当抛物线与x轴有一个公共点； 0，当且仅当抛物线与x轴没有公共点。 利用判别式是中学数学的一种重要方法，在探求某些实变数之间的关系，研究方程的根和函数的性质，证明不等式，以及研究圆锥曲线与直线的关系等方面，都有着广泛的应用。 在具体运用判别式时，中的系数都可以是含有参数的代数式。例1 已知关于x的二次方程x2+px+q=0有两正根求证：对于一切实数r0，方程qx2+(p-2rq)x+1-p=0也必有两正根。例2、 x,y,zR, aR+，且 x+y+z=a, x2+y2+z2=a2 试确定x,y,z的取值范围。例3、 已知a,x为实数，|a|0）（1） 写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域。（2） 求鱼群年增长量的最大值。例4：某公司有资金100万元，董事会决定全部投资到甲、乙两工厂，投资甲厂可获得的利润为投资额的20%；投资乙厂可获得的利润由公式M=(M为利润额，x为投资额，单位均为万元)确定，问公司如何分配100万元资金投资这两个工厂，使获得利润最大？最大利润是多少？作业：1、 设x的二次方程x2-2x+lg(2a2-a)=0有一正根和一负根，求a的范围。2、（1994年高考题）在测量某物理的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1,a2, an共n 个数据。我们规定所测物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其它近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，依此规定，从a1 ,a2 , an，推出的a的值。3、 塑料厂销售科计划出售一种塑料鞋，经营人员不是仅仅根据估计的生产成本来确定塑料鞋的销售价格，而是通过对经营塑料鞋的零售商进行调查，看看在不同的价格下会进多少货。通过一番调查，确定的需求关系是p=-750x+15000（p为零售商进货的总数量，x为每双鞋的出厂价）， 并求得工厂生产塑料鞋固定成本是7000元，估计生产每双塑料鞋的材料和劳动生产费用为4元，为了获得最大利润，工厂应把每双鞋的出厂价定为多少元？4、建筑一个容积为2400米，深为6米的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价为a元，池底每平方米粉的造价为2a元，则如何建造才能使总造价为最小。4、 某一信托公司，考虑投资1600万元建造一座涉外宾馆。经预测，该宾馆建成后，每年年底可获利600万元，假设银行每年复利计息，利率为10%。若需要在三年内收回全部投资，每年至少应该收益多少万元（结果保留一位小数）？七、试验法 解答数学题，需要多方面的信息。数学中的各种试验，常常能给人以有益的信息，为分析问题和解决问题提供必要的依据。 用试验法处理数学问题时，必须从问题的实际情形出发，结合有关的数学知识，恰当选择试验的对象和范围；在制定试验方案时，要全面考虑试验的各种可能情形，不能有所遗漏；在实施试验方案时，要讲究试验技巧，充分利用各次试验所提供的信息，以缩小试验范围，减少试验次数，尽快找出原题的解答。 任何试验都和观察相联系。观察依赖于试验，试验离不开观察。因此，要用好试验法，必须勤于观察，善于观察，有目的、有计划、有条理地进行观察。 例1：在正整数集N+上解方程：xy+3x-5y=3 例2、已知方程x2+(m+1)x+2m-1=0的两个根都是整数，求m的整数值。例3、求所有的实数k，使得方程kx2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数。八、分类法 分类法是数学中的一种基本方法，对于提高解题能力，发展思维的缜密性，具有十分重要的意义。 不少数学问题，在解题过程中，常常需要借助逻辑中的分类规则，把题设条件所确定的集合，分成若干个便于讨论的非空真子集，然后在各个非空真子集内进行求解，直到获得完满的结果。这种把逻辑分类思想移植到数学中来，用以指导解题的方法，通常称为分类或分域法。 用分类法解题，大体包含以下几个步骤： 第一步：根据题设条件，明确分类的对象，确定需要分类的集合A； 第二步：寻求恰当的分类根据，按照分类的规则，把集合A分为若干个便于求解的非空真子集A1，A2，An; 第三步：在子集A1，A2，An内逐类讨论； 第四步：综合子集内的解答，归纳结论。以上四个步骤是相互联系的，寻求分类的根据，是其中的一项关键性的工作。从总体上说，分类的主要依据有：分类叙述的定义、定理、公式、法则，具有分类讨论位置关系的几何图形，题目中含有某些特殊的或隐含的分类讨论条件等。在实际解题时，仅凭这些还不够，还需要有较强的分类意识，需要思维的灵活性和缜密性，特别要善于发掘题中隐含的分类条件。 例1：求方程的实数解，其中a为实参数。例2：ABC中，ADBC于点D，M是BC的中点，且B=2C。求证：DM=AB例3：解方程：2|x+2|-|2x+1-1|=2x+1+1九、数形结合法 数形结合，是研究数学的一个基本观点，对于沟通代数、三角与几何的内在联系，具有重要的指导意义。理解并掌握数形结合法，有助于增强人们的数学素养，提高分析问题和解决问题的能力。 数和形这两个基本概念，是数学的两块基石。数学就是围绕这两个概念发展起来的。在数学发展的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化。 数形结合的基本思想，是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案。 中学数学中，数形结合法包含两个方面的内容：一是运用代数、三角知识，通过对数量关系的讨论，去处理几何图形问题；二是运用几何知识，通过对图形性质的研究，去解决数量关系的问题。就具体方法而论，前者常用的方法有解析法、三角法、复数法、向量法等；后者常用的方法主要是图解法。例：方程sinx=解的个数为 A、1 B、2 C、3 D、4 例：已知实数x,y满足3x+4y-1=0，求的最小值。例：设xR，求的最小值。例：对每个实数x，记-x,x2,x+2三者中的最大者为F(x)，求F(x)及F(x)的最小值。例：如果方程|x2-4x+3|=px有四个不同的实数根，求p的取值范围十、反证法与同一法 反证法和同一法是间接证明的两种方法，在解题中有着广泛的应用。（一）反证法是一种重要的证明方法。这里主要研究反证法的逻辑原理、解题步骤和适用范围。 反证法的解题步骤： 第一步：反设。假设命题结论不成立，即假设原结论的反面为真。 第二步：归谬。由反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果。这里所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、定义、定理、公式矛盾，与已知条件矛盾，与临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形。 第三步：存真。由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立。反证法的三个步骤是互相联系的。反设是前提，归谬是关键，存真是目的。只有正确地作出反设，合乎逻辑地进行推导，才能间接地证出原题。例1：已知A1，A2，An是凸n边形的n(n3)个内角。求证：这n个内角中至多有3个内角是锐角。例2：设平面平面，直线l平面=A。求证：直线l与平面相交。例3：求证：方程 x=qsinx+a (0q0.2、 已知，（0，），且sin(+)=2sin。求证：3、 在梯形ABCD中，E为一腰BC上的一点，已知AED的面积是梯形ABCD的面积的一半，求证：CE=EB函数对称性的探究讲函数的对称性主要是讲奇偶函数图像的对称性，函数与反函数图像的对称性。前者是函数自身的性质，而后者是函数的变换问题。下文中我们均简称为函数的变换性。函数的对称性在近几年高考中屡见不鲜，对于解决其它问题也很有帮助，同时也是数学美的很好体现。现通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称变换这两个方面来探讨函数对称性有关的性质。1. 函数自身的对称性探究高考题回放：（2005年广东卷I）设函数，且在闭区间0，7上只有（1）试判断函数的奇偶性；（2）试求方程在闭区间2005，2005上根的个数并证明你的结论。分析：由可得：函数图象既关于x2对称，又关于x7对称，进而可得到周期性，然后再继续求解，而本题关键是要首先明确函数的对称性，因此，熟悉函数对称性是解决本题的第一步。定理1 函数的图像关于直线xa对称的充要条件是即证明（略）推论 函数的图像关于y轴对称的充要条件是定理2 函数的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是证明（略）推论 函数的图像关于原点O对称的充要条件是偶函数、奇函数分别是定理1，定理2的特例。定理3 若函数的图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（），则是周期函数，且是其一个周期。若函数的图像同时关于直线成轴对称（），则是周期函数，且是其一个周期。若函数的图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线xb成轴对称（），则是周期函数，且是其一个周期。以下给出的证明，的证明留给读者。因为函数的图像关于点A（a，c）成中心对称。所以代得：又因为函数的图像关于直线成轴对称。所以代入（*）得：得代入（*）得：是周期函数，且是其一个周期。2. 不同函数对称性的探究定理4 函数的图像关于点成中心对称。证明：设点图像上任一点，则。点关于点的对称点为，此点坐标满足，显然点在的图像上。同理可证：图像上关于点对称的点也在的图像上。推论 函数与的图像关于原点成中心对称。定理5 函数与的图像关于直线成轴对称。证明 设点是图像上任意一点，则。点关于直线的对称点为，显然点在的图像上。同理可证：图像上关于直线对称的点也在图像上。推论 函数与的图像关于直线y轴对称。定理6 函数与的图像关于直线成轴对称。函数与的图像关于直线成轴对称。现证定理6中的设点是图像上任一点，则。记点关于直线的对称点，则，所以代入之中得。所以点在函数的图像上。同理可证：函数的图像上任一点关于直线的轴对称点也在函数的图像上。故定理6中的成立。推论 函数的图像与的图像关于直线成轴对称。3. 函数对称性应用举例例1 定义在R上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是（ ）A. 是偶函数，也是周期函数B. 是偶函数，但不是周期函数C. 是奇函数，也是周期函数D. 是奇函数，但不是周期函数解：因为为偶函数，所以。所以有两条对称轴，因此是以10为其一个周期的周期函数，所以x0即y轴也是的对称轴，因此还是一个偶函数。故选（A）。例2 设定义域为R的函数、都有反函数，并且和的函数图像关于直线对称，若，那么（ ）A. 2002 B. 2003 C. 2004 D. 2005解：因为的函数图像关于直线对称，所以的反函数是，而的反函数是，所以，所以有故，应选（C）。例3 设是定义在R上的偶函数，且，当时，则_解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以的对称轴；又因为的对称轴。故是以2为周期的周期函数，所以例4 函数的图像的一条对称轴的方程是（ ）解：函数的图像的所有对称轴的方程是，所以，显然取时的对称轴方程是，故选（A）。例5 设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线，则：_解：函数的图像既关于原点对称，又关于直线对称，所以周期是2，又，图像关于对称，所以，所以数列一、基本概念 1、 数列的定义及表示方法：按一定次序排列成的一列数叫数列 2、 数列的项an与项数n 3、 按照数列的项数来分,分为有穷数列与无穷数列 4、 按照项的增减规律分为：递增数列,递减数列,摆动数列和常数列 5、 数列的通项公式an 6、 数列的前n项和公式Sn 7、 等差数列、公差d、等差数列的结构：an=a1+(n-1)d 8、 等比数列、公比q、等比数列的结构：an=a1q(n-1) 二、基本公式： 9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an= Sn-Sn-1 10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。 11、等差数列的前n项和公式：Sn=a1n+1/2n(n+1)d 当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a10），Sn=na1是关于n的正比例式。 12、等比数列的通项公式： an= a1q(n-1) an= akq(n-k) (其中a1为首项、ak为已知的第k项，an0) 13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)； 当q1时，Sn=a1(qn-1)/(q-1) 三、有关等差、等比数列的结论 14、等差数列的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等差数列。 15、等差数列中，若m+n=p+q，则 am+an=ap+aq 16、等比数列中，若m+n=p+q，则 aman=apaq 17、等比数列的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等比数列。 18、两个等差数列与的和差的数列an+bn仍为等差数列。 19、两个等比数列与的积、商、倒数组成的数列 anbn、an/bn 、1/(anbn) 仍为等比数列。 20、等差数列的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 21、等比数列的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d； 四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d 23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq； 四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 四、数列求和的常用方法： 公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。(关键是找数列的通项结构) 24、分组法求数列的和：如an=2n+3n 25、错位相减法求和：如an=n2n 26、裂项法求和：如an=1/n(n+1) 27、倒序相加法求和：如an= n 28、求数列的最大、最小项的方法： an+1-an= 如an= -2n2+29n-3 (an0) 如an= an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= an2+bn+c(a0) 29、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题常用邻项变号法求解： (1)当 a10,d0时，满足的项数m使得Sm取最大值. (2)当 a10时，满足的项数m使得Sm取最小值. 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。求数列通项公式常用以下几种方法： 一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。 例：在数列an中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求该数列的 通项公式an。 解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列an为a1=1，d=2的等差数列。所以an=2n-1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断，是较简单的基础小题。 二、已知数列的前n项和，用公式: an=S1 (n=1) ,an=Sn-Sn-1 (n2) 例：已知数列an的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5 (A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6 解：an=Sn-Sn-1=2n-10，52k-108 k=8 选 (B) 此类题在解时要注意考虑n=1的情况。 三、已知an与Sn的关系时，通常用转化的方法，先求出Sn与n的关系再由上面的(二)方法求通项公式。 四、用累加、累积的方法求通项公式 对于题中给出an与an+1、an-1的递推式子，常用累加、累积的方法求通项公式。 例：设数列an是首项为1的正项数列，且满足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求数列an的通项公式数列求和的方法 求数列的前n项和是高中数学数列一章的教学重点之一，而对于一些非等差数列，又非等比数列的某些数列求和，是教材的难点。不过，只要认真去探求这些数列的特点。和结构，也并非无规律可循。 典型示例： 1、 用通项公式法： 规律：能用通项公式写出数列各项，从而将其和重新组合为可求数列和。 例1：求5，55，555，的前n项和。 解：an= 5 9(10n-1) Sn = 5