高中数学 第一章 统计 1.8 最小二乘估计课件 北师大版必修3.ppt

8最小二乘估计 1 了解最小二乘法的思想 2 能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程 1 最小二乘法如果有n个点 x1 y1 x2 y2 xn yn 可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y a bx的接近程度 y1 a bx1 2 y2 a bx2 2 yn a bxn 2 使得上式达到最小值的直线y a bx就是我们所要求的直线 这种方法称为最小二乘法 其中a b的值由以下公式给出 a b是线性回归方程的系数 做一做1 在最小二乘法中 用来刻画各样本点到直线y a bx 距离 的量是 c yi a bxi d yi a bxi 2解析 最小二乘法的定义明确给出 用 yi a bxi 2来刻画各个样本点与这条直线之间的 距离 即二者之间的接近程度 用它们的和表示这些点与这条直线的接近程度 答案 d 2 线性回归方程 1 线性回归方程的概念 注意 线性回归直线是与n个样本点距离最近的直线 线性回归方程的系数是用最小二乘法思想求出来的 虽然求的过程中主要用二次函数最值的求法 但运算较繁 教材上不作要求 a b的值被n个样本点唯一确定 n个样本点坐标给定后 应用公式即可计算出a b 得到线性回归方程 在写线性回归方程时 切勿写成y ax b 应写成y a bx 2 求线性回归方程的步骤 分别计算b a 代入y a bx即得线性回归方程 做一做2 1 由一组样本数据 x1 y1 x2 y2 xn yn 得到线性回归方程y bx a 下面说法不正确的是 答案 b 做一做2 2 已知某工厂在某年里每月生产产品的总成本y 单位 万元 与该月产量x 单位 万件 之间的线性回归方程为y 0 974 1 215x 计算当x 2时 总成本y的估计值为 解析 由线性回归直线方程y 0 974 1 215x 得当x 2时 总成本y的估计值为y 0 974 1 215 2 3 404 答案 3 404 题型一 题型二 题型三 题型四 线性回归方程的意义 例1 已知一个线性回归方程y 2 1 2x 则变量x增加一个单位长度时 a y平均增加1 2个单位长度b y平均减少1 2个单位长度c y平均增加2个单位长度d y平均减少2个单位长度解析 在线性回归方程y bx a中 b是线性回归方程的斜率 a是截距 b代表x每增加一个单位长度 y平均增加的单位长度数 当b 0时 若x每增加一个单位长度 y就增加b个单位长度 当b 0时 若x每增加一个单位长度 y就减少 b 个单位长度 答案 a 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 为了考察两个变量x和y之间的线性相关性 甲 乙两位同学各自独立地做10次和15次试验 并且利用线性回归法 求得线性回归直线分别为l1和l2 已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s 对变量y的观测数据的平均值都是t 则下列说法正确的是 a l1和l2有交点 s t b l1与l2有交点 但交点不一定是 s t c l1与l2必定平行d l1与l2必定重合 题型一 题型二 题型三 题型四 答案 a 题型一 题型二 题型三 题型四 求线性回归方程 a y 11 47 2 62xb y 11 47 2 62xc y 2 62 11 47xd y 11 47 2 62x 题型一 题型二 题型三 题型四 答案 a 反思与以往的直线方程y ax b不同 在线性回归方程中 参数a b的位置正好相反 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 已知x y之间的一组数据如下表 答案 题型一 题型二 题型三 题型四 线性回归方程及其简单应用 例3 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x 单位 t 与相应的生产能耗y 单位 吨标准煤 的几组对照数据 1 请画出上表数据的散点图 2 请根据上表提供的数据 用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y bx a 3 已知该厂技术改造前100t甲产品的生产能耗为90吨标准煤 试根据 2 求出的线性回归方程 预测生产100t甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤 题型一 题型二 题型三 题型四 分析 1 以产量为横坐标 以生产能耗对应的测量值为纵坐标在平面直角坐标系内画散点图 2 应用计算公式求得线性相关系数b a的值 3 实际上就是求出当x 100时 对应的y的值 解 1 散点图如图所示 题型一 题型二 题型三 题型四 3 根据回归方程可预测 现在生产100t甲产品的生产能耗为0 7 100 0 35 70 35 吨标准煤 故预测生产100t甲产品的生产能耗比技术改造前减少了90 70 35 19 65 吨标准煤 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 某种产品的广告费支出额x 单位 百万元 与销售额y 单位 百万元 之间有如下对应数据 1 画出散点图 判断变量x与y是否具有线性相关关系 2 如果x与y具有线性相关关系 求线性回归方程 3 预测当广告费用为7百万元时的销售额 题型一 题型二 题型三 题型四 解 1 散点图如图所示 由图可以看出 各点都在一条直线附近 所以广告费支出额x与销售额y之间具有线性相关关系 题型一 题型二 题型三 题型四 2 设线性回归方程为y a bx 列出下表 并用科学计算器进行有关计算 所以所求的线性回归方程是y 17 5 6 5x 3 当x 7时 y 6 5 7 17 5 63 所以当广告费为7百万元时 销售额约为63百万元 题型一 题型二 题型三 题型四 易错辨析易错点 不判断相关性就求线性回归方程而致错 例4 假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费用如下表中统计资料所示 求y对x的线性回归方程 并检验能否用线性回归模型描述两个变量间的关系 错解 求出相关的数据直接代入公式求b a 得出线性回归方程为y 0 16x 2 94 错因分析 没有先判断两个变量是否具有相关关系 题型一 题型二 题型三 题型四 正解 画出散点图 如图所示 从散点图上看 这些点的分布几乎没有什么规则 虽然也可求出线性回归方程 但这时不能用线性回归模型描述两个变量之间的关系 1 2 3 4 5 1 若有一个回归方程为y 2 1 5x 则变量x每增加1个单位长度时 变量y a 平均增加1 5个单位长度b 平均增加2个单位长度c 平均减少1 5个单位长度d 平均减少2个单位长度答案 c 1 2 3 4 5 2 已知下表是x与y之间的一组数据 则y关于x的回归直线必经过点 1 2 3 4 5 3 已知x y的