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数学变式教学的作用与意义 吴小锋 浙江省东阳中学 322100 数学变式教学是通过变更数学概念的非本 质特征来暴露问题本质特征的教学方法 即在 数学教学中用不同形式的直观材料或事例说明 概念 定理 命题的本质属性 对数学的定理和 命题的非本质特征进行不同角度 不同层次 不 同情形 不同背景的变化 以突出它们的本质特 征 揭示不同知识点的内在联系的一种教学方 法 包括知识形成过程中的问题设计 基本概念 辨析型变式 定理 公式的深化变式 多证变式 以及变式应用 例习题的一题多解 一题多用 一题多变 多题归一 还有作图变式等 本文立 足自身的教学实践 试探索高中数学课堂上进 行变式教学的作用和意义 1 揭示规律 促进数学思想方法的内化 教师的教法常常影响到学生的学法 灵 活巧妙而又重视基础的教学方法对学生思维 灵活性的培养起着潜移默化的作用 在二面角的复习课中 针对学生已知道作 二面角的平面角但不能灵活处理的现状 笔者 编制了下列题组 以帮助学生形成建模意识 在学生学习中 面对纷繁复杂的知识和 方法 往往显得无从下手 这就需要平时在脑 海中形成一些基本的模型 使得碰到问题时 能够化归为常见数学模型 这就离不开变式 教学的不断训练 通过对问题的分析 抽象和 简化 明确问题中最重要的变量和参数 并应 用某些规律建立起变量 参数间的确定的数 学问题 也可称为一个数学模型 再用精确 的或者近似的数学方法求解之 解释验证所 得到的解 从而确定能否用于解决问题的多 次循环 不断深化和完善的过程 例 1 如图 1 在正方体 AC1中 求二面 图 1 角 A1 BD C 的大小 点评 可得 A1BD 与 C1BD 为等腰三角形 易得平面角为 A1OC1 用 定义法要善于利用图形特 点作平面角 变式 1 规律发现 1 求二面角 A1 BD A 的大小 点评 可由定义法及三垂线法 利用 AA1 面 BDA 得 在锥体 A1 ABD 中 我们不妨继 续研究侧面与底面所成的二面角的大小 2 求二面角 A1 AD B A1 AB D 的大 小 由 AA1 面 BDA 可得均为 90 变式 2 方法探究 求二面角 A A1D B A A1B D 的大小 即研究锥体侧面之间所 成的角 教师点评 这两个二面角均由等腰三角 形构成 是一个常见的模型 由定义法作平面 角显得很自然 变式 3 背景发散 若 G 为 CC1上一 点 问在棱上是否存在一点 G 使 A1 BD G 的大小为 45 与二面角有关的最值问题 简解 1 设 CG x 在 A1OG 中利用余 弦定理构造方程求解 并注意 x 的范围可得 简解 2 二面角 A1 BD G 的平面角 A1OG均在平面 A1C内变化 易得 G 与 C 重 合时此平面角最大 当 G 与C1重合时最小 且 cos A1OC1 1 3 b 0 上 O 为原点 若 OA OB 求证 1 OA 2 1 OB 2 1 a2 1 b2 证法 1 与例 2 类似 反思 仅仅利用点在曲线上 代入消元 是否显得繁琐 能否有更好的方法 如果用三 角换元 则两个角的关系无从判断 那么干脆 就引入 OA OB 与 x 轴的正半轴所成的角为 参数 以角为参数是常见的 证法 2 设 OA p OB q A p cos psin 则由OA OB 可设 B qsin qcos 又 A B 两点都在椭圆上 有 p 2 cos 2 a 2 p 2sin2 b 2 1 q2sin2 a2 q 2cos2 b2 1 即 cos 2 a2 sin 2 b2 1 p2 sin2 a2 cos 2 b2 1 q2 1 p 2 1 q 2 1 a 2 1 b2 故 1 OA 2 1 OB 2 1 a2 1 b2 本题通过引入OA 与 x 轴所成的角作为参 数 再利用OA 与OB 相互垂直 得到 B 点的参 数形式 显得简炼 灵活 那么例 2 为什么不用 这种方法呢 这是因为由条件仅仅是斜率关 系 不太容易得到直线与 x 轴所成角的关系 故 上题是直接利用点在椭圆上的条件 3 方法优化 培养学生思维的广度和深度 在日常教学中 经常会碰到一些高考大 纲中不要求掌握 但又对于学生开阔视野 提 高思维的深度相当重要的知识点 怎么处理 这样的矛盾 是教师必须面对的 笔者觉得现 在的课程体系中都要求有教学研究课 除了 书本上规定的内容外 不妨对所学知识作一 些适当的延伸和拓展 在教学实践中可发现 这不但不会增加学生的负担 而且由于将问 题置于更广阔的背景中 使学生如鱼得水 感 受到了质疑和发现的乐趣 比如 对于直线和圆锥曲线相交的问题 学生对于列方程式 消元 利用判别式和韦达 定理等解决问题的模式往往很熟练 但实质 上其中蕴含的一些思想 如对应思想等 并不 明确 针对这种现状 在一节研究课中 笔者 图 2 曾讲解了下面的问题 例 3 已知抛物线 y2 4ax a 0 的焦点为 F 以 B a 4 0 为圆心 AB 长为半径 在 x 轴上方的半圆交抛物线于不同 26 数学教学研究 第 28 卷第 6 期 2009 年 6 月 的两点M N MN 的中点为P 求 FM FN 的值 问是否存在这样的 a 值 使 FM FP FN 成等差数列 解 F a 0 设 M x1 y1 N x2 y2 则 x a 4 2 y2 16 y 2 4ax x2 2 a 4 x 8a a2 0 1 x1 x2 2 a 4 x1x2 a 2 8a AM AN x1 a x2 a 2 a 4 2a 8 2 FP AM AN 8 FP 4 又 P 为MN 中点 所以 xP x 1 x2 2 4 a yP 2ax1 2ax2 2 ax1 ax2 a x1 x2 2x1x2 a 8 2a 2a2 8a FP 2 4 a a 2 a 8 2a 2a2 8a 16 a 1 而由 1 式 4 a 4 2 4 a 2 8a 0及 a 0 得 0 a PF 故不存在 这样的 a 的值 4 融会贯通 培养学生思维的整合性 建构主义强调课堂教学应提供多重信息 来源 丰富的信息资源有助于学生探索和整 合知识形成自己意义下的建构 建构主义强 调学习者应获取多样化的观点 并对这些观 点进行分析 综合以形成一个整合的更为高 级的观点 因此作为教师在课堂教学中首先 应将教学内容进行精心组合配置并设法以最 优的方式呈现给学生 便于不同层次的学生 从不同的程度使用不同的表征模式来学习探 究 从而更好地达到知识建构的目的 图 3 例4 如图3 设直线 y kx m 与双曲线x 2 a2 y 2 b2 1 的两支从左到右分别 交于点 P Q 同时与它的两 条渐近线从左到右分别交 于点 R 和点S 求证 PR SQ 分析 本题可将问题通过射影法转化为 证明 xR xP xQ xS 或利用 QS 1 k2 xQ xS 2 PR 1 k 2 x R xP 2 如果将各个交点都求出就相当麻烦了 可先 将绝对值号去掉 即证 xR xS xP xQ 用 韦达定理可得 证明略 本题的解决对两点间距离公式 直线与 渐近线相交的处理 都采用整体求值的方法 在复习课中这样的教学对于提高学生的知识 和思维的整合有着重要的作用 变式 直线 y kx b 与双曲线 x 2 y 2 1 和圆 x2 y2 1 从左到右顺次交于点 A B C D 当 AB CD 时 试求实数 k 和b 的取值范围 答案 k 0时 1 b 1 且 b 0 b 0 时 1 b 1 且 k 0 反思