高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.2.2.1 抛物线的简单性质课件 北师大版选修21.ppt

3 2 2 1抛物线的简单性质 1 了解抛物线的轴 顶点 离心率 通径的概念 2 掌握抛物线上的点的坐标的取值范围 抛物线的对称性 顶点 离心率等简单性质 3 会用顶点及通径的端点画抛物线的草图 一 抛物线y2 2px p 0 的简单性质1 对称性抛物线y2 2px p 0 关于x轴对称 我们把抛物线的对称轴叫作抛物线的轴 抛物线只有一条对称轴 2 范围抛物线y2 2px p 0 在y轴的右侧 它的开口向右 这条抛物线上的任意一点m的坐标 x y 满足不等式x 0 当x的值增大时 y 也增大 这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸 抛物线是无界曲线 3 顶点抛物线y2 2px p 0 和它的轴的交点叫作抛物线的顶点 抛物线的顶点坐标是 0 0 说明 1 要掌握抛物线的简单几何性质 如范围 对称性 顶点 开口方向等 学习利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法 也就是坐标法 以抛物线y2 2px p 0 为例 因为p 0 所以x 0 即抛物线在y轴右侧 同时x增大时 y 也增大 说明抛物线向右上方和右下方无限延展 以 y代替y 方程不变 故抛物线关于x轴对称 2 顶点即抛物线与坐标轴的交点 抛物线与椭圆比较 它只有一个焦点 一个顶点 一条对称轴 4 离心率抛物线y2 2px p 0 上的点m到焦点的距离和它到准线的距离的比 叫作抛物线的离心率 用e表示 且e 1 做一做1 1 顶点在原点 坐标轴为对称轴的抛物线 过点 16 4 则它的方程是 a x2 y或y2 64xb y2 x或x2 64yc x2 64yd y2 x答案 b 做一做1 2 若抛物线x2 2py p 0 上一点p到准线及对称轴的距离分别为5和4 则p的纵坐标为 p的值为 解析 利用抛物线的定义和点p在抛物线上可解得 答案 4或12或8 二 通径通过抛物线y2 2px p 0 的焦点且垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为 连接这两点的线段叫作抛物线的通径 它的长为2p 这就是抛物线的标准方程中2p的一种几何意义 做一做2 抛物线x2 4y的通径为ab o为坐标原点 则 a 通径ab的长为8 aob的面积为4b 通径ab的长为8 aob的面积为2c 通径ab的长为4 aob的面积为4d 通径ab的长为4 aob的面积为2解析 ab 2p 4 s aob 1 4 2 答案 d 三 抛物线标准方程的四种形式 四 抛物线的焦点弦1 过抛物线焦点的直线与抛物线相交所截得的弦叫作抛物线的焦点弦 设抛物线的焦点为f 焦点弦的两端点是a x1 y1 b x2 y2 则由 ab af bf 及焦半径公式 见上节 可得焦点弦长公式如下表 做一做3 过抛物线y2 2px p 0 的焦点f且倾斜角为45 的直线交抛物线于a b两点 若 ab 8 则p 答案 2 题型一 题型二 题型三 题型四 例1 根据下列条件 求抛物线的标准方程 1 顶点为坐标原点 对称轴为x轴 经过点p 4 2 2 与抛物线y2 16x共顶点 且焦点在直线y 3x 1上 分析 1 对称轴为x轴 过第一象限内的点p的抛物线只有开口向右的一条 2 求出直线与坐标轴的交点 即为抛物线的焦点 从而分类求解 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 例2 正三角形的一个顶点位于坐标原点 另外两个顶点在抛物线y2 2px p 0 上 求这个三角形的边长 分析 由于正三角形与抛物线都是轴对称图形 可以证明a b两点关于x轴对称 进而求出ab的长 题型一 题型二 题型三 题型四 所以 x1 x2 x1 x2 2p 0 因为x1 0 x2 0 2p 0 所以x1 x2 2p 0 所以x1 x2 即a b两点关于x轴对称 所以ab x轴 aox 30 题型一 题型二 题型三 题型四 反思解本题的关键是根据抛物线的对称性和正三角形的性质证明a b两点关于x轴对称 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思本题是一个有关抛物线焦点弦的典型例题 在解决此类问题时 一定要注意斜率不存在的情况 巧妙运用一元二次方程根与系数的关系及抛物线的定义 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 抛物线的顶点在原点 以x轴为对称轴 经过焦点且倾斜角为135 的直线 被抛物线所截得的弦长为8 试求抛物线的标准方程 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 123456 1 抛物线y2 ax a 0 的焦点到其准线的距离是 答案 b 123456 123456 3 已知斜率为2的直线l过抛物线y2 ax a 0 的焦点f 且与y轴相交于点a 若 oaf o为坐标原点 的面积为4 则抛物线的标准方程为 答案 y2 8x 123456 123456 5 已知抛物线的顶点为坐标原点 以x轴为对称轴 过焦点且垂直于x轴的弦ab的长为8 求该抛物线的方程 并指出它的焦点坐标和准线方程 解 当焦点在x轴的正半轴上时 设抛物线的方程为y2 2px p 0 故抛物线的方程为y2 8x 焦点坐标为 2 0 准线方程为x 2 当焦点在x轴的负半轴上时 设抛物线的方程为y2 2