双曲线的简单几何性质.doc

教学内容：双曲线的简单几何性质【基础知识精讲】1.双曲线 - 1的简单几何性质(1)范围：xa,yR.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c2a2 b2.与椭圆不同.(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y x，或令双曲线标准方程 - 1中的1为零即得渐近线方程.(5)离心率e 1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2a2(a0),它的渐近线方程为yx,离心率e .(7)共轭双曲线：方程 - 1与 - -1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注重方程的表达形式.注重：1.与双曲线 - 1共渐近线的双曲线系方程可表示为 - (0且为待定常数)2.与椭圆 1(ab0)共焦点的曲线系方程可表示为 - 1(a2,其中b2-0时为椭圆， b2a2时为双曲线)2.双曲线的第二定义平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x 的距离之比等于常数e (ca0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ，与椭圆相同.3.焦半径( - 1,F1(-c,0)、F2(c,0)，点p(x0,y0)在双曲线 - 1的右支上时，pF1ex0 a,pF2ex0-a;P在左支上时，则 PF1-(ex1 a),PF2-(ex1-a).本节学习要求：学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于把握.双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识，是高考的主要内容.通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育.【重点难点解析】1.学习双曲线的几何性质，也可以与椭圆的几何性质对比进行，着重指出它们的联系和区别.2.本节重点是双曲线的几何性质，双曲线的第二定义及其应用，难点是双曲线的渐近线方程，第二定义，几何性质的应用.例1 (1)求中心在原点，对称轴是坐标轴，一条渐近线方程是y- x,且经过点Q(8，6 )的双曲线方程.(2)已知双曲线满足：两准线间的距离为 ，渐近线方程为y x，求双曲线方程.分析 (1)据双曲线的渐近线方程，可求出a,b之间的关系，以Q点的坐标代入双曲线方程，即可求a,b的值，亦可据共渐近线的双曲线系方程求出，这样可据焦点所在坐标轴的讨论.即设双曲线方程为 - (0)，将Q点坐标代入求得 4故所求双曲线方程为 - 1.(2)当双曲线的焦点在x轴上时，设其方程为- 1,依题意有解得 故所求双曲线方程为 - 1当双曲线焦点在y轴上时，同理求得其方程为： - 1综上所述，所求双曲线的方程为- 1或 - 1.例2 过双曲线 - 1的右焦点F2，作斜率为2的弦AB，求AB的长.分析 运用焦半径知识较为简便.依题意有a3,c5,e ,F2(5,0)联立方程组 消去y得 5x2-90x 2610.设方程的两根为x1,x2.于是ABe(x1 x2)-2a -624.注：若用弦长AB 解计算量显然大一些，本例中AB为过焦点弦，所以运用焦半径解题就较自然了.例3 已知直线l和双曲线 - =1(a0,b0)及其渐近线依次交于A、B、C、D四点，求证：AB=CD.分析 若直线l和x轴垂直，结论显然成立；若直线l不与x轴垂直，则可设l的方程为y=kx m,代入双曲线方程并整理得：(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2(m2 b2)=0,设A(x1,y1),D(x2,y2),则x1 x2= 再将y=kx m代入双曲线渐近线方程b2x2-a2y2=0 并整理得(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2m2=0.设B(x3,y3),C(x4,y4),则x3 x4= x1 x2=x3 x4表明线段AD的中点和线段BC的中点重合，故问题得到证实.【难题巧解点拨】例1 求与双曲线 - 1有共同渐近线且过点(2，3)的双曲线方程.分析一 只要判定清楚已知点(2，3)与渐近线的位置关系，便可知双曲线方程的表达式，进而可求出方程.解法一：双曲线 - 1的渐近线方程为：y x将x2代入方程y x得y 2 3点(2，3)在直线y x的上方，于是设所求的双曲线方程为：- 1 由(1)设a3k,b4k，代入(2)得： - 1k (舍负)a3 b2 所求方程为： - 1即 - 1分析二 与双曲线 - 1有共同渐近线的双曲线方程表示为 - ，待定系数便可求出双曲线方程.解法二：设所求双曲线方程为- ，(1)将点(2，3)代入(1)得：- - 所求方程为： - - 即： - 1为所求说明：(1)由渐近线及一点可以确定双曲线的位置，解法一正是利用此性质先定位再求出a、b，进而求出双曲线方程.(2)方程 - 当0时，表示两条直线： 0和 - 0，正是双曲线的渐近线方程.因此当0时，方程表示以直线 - 0为渐近线的双曲线系.解法二正是利用了此原理，设方程再代入点坐标便可求出双曲线方程比较简捷.例2 在双曲线 - 1的一支上不同的三点A(x1,y1)、B( ,6)、C(x2,y2)与焦点F(0，5)的距离成等差数列.(1)求y1 y2;(2)证实线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求该定点的坐标.分析 (1)从双曲线的焦半径分析往往用第二定义.(2)证实过定点可采取求点坐标的方法.解：(1)a2 ,b ,c5,e .根据双曲线的第二定义，可得：AFe(y1- )ey1-a y1-2 ,CFe(y2- )ey2-a y2-2 ,BFe(6- )6e-a6 -2 =3 .又AF、BF、CF成等差数列，AF CF2BF，即( y1-2 ) ( y2-2 )23 ,y1 y212.(2)证实：设x1 x2t，则线段AC的中点为( ,6). - 1, - 1. - 0, (x1 x2) .线段AC的垂直平分线的斜率k- ，从而其方程为y-6- (x- )，即(y- )t 3x0，显然它过定点(0， ).点评：涉及焦半径问题往往考虑第二定义，一般来讲，双曲线 - 1上一点P(x1,y1)的左、右焦半径长为PF1(ex1 a),PF2(ex1-a)(其中P在右支上取正号，在左支上取负号).【典型热点考题】例1 已知双曲线 - =1(a0,b0)左、右焦点分别为F1和F2，P是它左支上点，P到左准线距离为d.问：是否存在这样的点P，使d,PF1，PF2成等比数列，说明理由.分析 对于存在性问题，先假设存在满足题意的对象，然后结合题设条件进行判定.设存在P(x0,y0)且x0-a，使d，PF1，PF2成等比数列，则PF12=dPF2，设d为P点到右准线的距离，由双曲线第二定义得：= =e PF1=ed,(ed)2=ded，ed=d，e(- -x0)=-x0 ,x0= x0-a, -a,e2-2e-10，1- e 1,又e1，1e 1.故当双曲线的离心率e(1, 1)时，存在满足条件的P，而当e( 1, )时，不存在满足条件的点P.注：利用双曲线的第二定义解题是非常有效的方法.本例还可以利用双曲线的两种定义再结合不等式PF1 PF2F1F2求解，请同学们自己完成.例2 如图，已知梯形ABCD中，AB=2CD，点E分有向线段 所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点.当（ )时，求双曲线离心率e的取值范围.分析 如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系，则CDy轴.因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称.依题意，记A(-C，0)，C( ,h),E(x0,y0,)其中c= AB为双曲线的半焦距，h是梯形的高.由定比分点坐标公式得x0= = ，y0= - =1, ( )2-( )2 =1 由式得 = -1 把式代入式，整理得(4-4)=1 2故=1- 由题设 得 1- .解得 e .所以双曲线的离心率的取值范围为 , .注：本例先求出C点纵坐标，用a、b、c表示，然后将E点坐标用表示，并代入双曲线方程，而得到含有e与的等式，由范围求出e的范围.例3 已知双曲线的两个焦点分别为M、N，点M的坐标为(-2，-12)，点S(-7，0)、T(7，0)在双曲线.(1)利用双曲线定义，求点N的轨迹方程；(2)是否存在过P(1，m)的直线与点N的轨迹有且只有两个公共点A、B，且点P(1，m)恰是线段AB的中点?若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.分析 (1)设点N的坐标为(x,y)，它不同于点M(-2，-12).由双曲线定义知SM-SN=TM-TN0S(-7,0),T(7,0),SM=13,TM=15.1当SM-SN=TM-TN时，有TN-SN=214=ST，点N的轨迹是中心在ST的中点(0，0)，焦点为S、T的双曲线C的左支，除去M(-2，-12)和D(-2，12)两点.双曲线C的方程：x2- =1(x0).点N的轨迹方程为x2- =1(x0,y12).2当SM-SN=-(TM-TN)时，有TN SN=2814=ST，点N的轨迹是中心在ST的中点(0，0)，焦点为S、T的椭圆Q，除去M(-2，-12)和D(-2，12)两点.椭圆Q方程： =1.点N的轨迹方程为 =1(y12).综合1、2，点N的轨迹方程为x2- =1(x0和 =1，其中y12.(2)1当过点P(1，m)的直线的斜率k不存在时，直线l的方程为x=1，可得m=1.2当k存在时，设直线l:y=kx m-k.若l过点M或点D.两点M、D既在双曲线C上，又在椭圆Q上，但不在点N的轨迹上l与点N的轨迹只有一个公共点，不合题意；若l不过M、D两点.当-4 k24 时(双曲线C的渐近线方程为y4 =0)，利用图像知，直线l与点N的轨迹有三个公共点，不合题意.当-k-4 或4 k 时，直线l与点N的轨迹有两个公共点A、B，且点P(1，m)是AB的中点.设A(x1,y1),B(x2,y2),则在3x21 4y21=1249, 3x22 4y22=1249, -，得3(x1 x2)(x1-x2)=-4(y1 y2)(y1-y2) 将x1 x2=2,y1 y2=2m, =k代入，得k=- .当4 k ，即4 - 时，有- m0.【同步达纲练习】A级一、选择题1.已知双曲线kx2-2ky2=4的一条准线是y=1，则实数k的值等于( )A. B.- C.- D. 2.双曲线与其共轭双曲线有相同的( )A.顶点 B.焦点 C.准线 D.渐近线3.过点(2，-2)且与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线的双曲线方程是( )A.- =1 B. - =1C.- =1 D. =14.已知双曲线的半焦距为C，两准线间的距离为d，且c=d,则双曲线的离心率等于( )A. B. C.3 D.25.当8k17时，曲线 =1与 =1有相同的( )A.焦距 B.准线 C.焦点 D.离心率二、填空题6.以y= x为渐近线，且焦点在坐标轴上，焦距为10的双曲线 .7.双曲线 - =1的两准线相距 ，两渐近线所夹的锐角等于 ；8.若双曲线的离心率为2，则其共轭双曲线的离心率为 .三、解答题9.试求以椭圆 =1的右焦点为圆心，且与双曲线 - =1的渐近线相切的圆方程.10.过双曲线 - =1的右焦点F作倾斜角为 的弦AB，求弦AB的长及AB的中点M到右焦点F的距离.AA级一、选择题1.在下列双曲线中，与双曲线 -y2=1的离心率和渐近线都相同的是( )A.3y2-x2=9 B.x2-3y2=9C.3y2-9x2=1 D.3x2-y2=32.双曲线的两条渐近线方程为y= x,则双曲线的离心率为( )A. B.2 C. 或 D. 或 3.过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线 - =1的通径的长是( )A. B. C.9 D.104.已知双曲线 - =1上的一点P到右焦点的距离为14，则P点到左准线的距离为( )A.22 B.24 C.26 D.285.已知双曲线x2-y2=1的左焦点为F，点P为双曲线在第三象限内的任意一点，则斜率kPF的取值范围是( )A.k0或k1 B.k0或k1C.k-1或k1 D.k-1或k1二、填空题6.双曲线16x2-9y2=144上一点P(x0,y0)(x00)到左焦点距离为4，则x0= .7.双曲线 -y2=1的共轭双曲线的准线方程是 .8.双曲线 - =1的准线和渐近线的交点到双曲线的中心的距离等于 .三、解答题9.直线y=kx 1与双曲线x2-y2=1的左支交于A、B两点，直线l过点(-2，0)和AB中点，求直线l在y轴上截距b的取值范围.10.求证：以过双曲线的一个焦点的弦为直径的圆，必与对应的准线相交，且这条准线截得的劣弧的弧度数为定值.【素质优化练习】1.过点A(1，1)且与双曲线x2-y2=2有且只有一个公共点的直线的条数是( )A.1 B.2 C.3 D.42.双曲线的两条准线分焦点间的距离成三等分，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.23.若双曲线的两条渐近线是y= x，焦点F1(- ，0)，F2( ，0)，那么它的两条准线间的距离是( )A. B. C. D. 4.已知双曲线的两个焦点是椭圆16x2 25y2=160的两个顶点，双曲线的两准线分别过椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是( )A. - =1 B. - =1C. - =1 D. - =15.已知E、F分别是离心率为 的双曲线 - =1(a0,b0)的左顶点与右焦点，记M(0，b)，则EMF等于( )A.45 B.60 C.90 D.120二、填空题6.已知双曲线 - =1和点A(6，2)、B(5，0)，M是双曲线上的一个动点，则 MA MB的最小值为 .7.双曲线的离心率是e=3，则两渐近线的夹角是 .8.渐近线为y= x,且和直线5x-6y-8=0有且仅有一个公共点的双曲线方程为 .三、解答题9.已知点A( ，0)和曲线y= (2x2 )上的点P1，P2，Pn，若P1A，P2A,，PnA成等差数列并且公差d( , ),求n的最大值.10.已知双曲线 - =1(a0,b0)离心率e= ，过点A(0，-b)和B(a,0)的直线与原点间距离 .(1)求双曲线方程；(2)直线y=kx m(k0,m0)与双曲线交于不同的两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，求m的取值范围.【生活实际运用】1.运用双曲线的光学性质，设计并制作一台灯或吊灯.2.双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚构旋转所成的曲面，它的最小半径是6米，最小半径处的截口平面到地面距离是5米，底面截口半径是10米，求此双曲线的标准方程.注：这是一个有实际意义的题目.解这类题目时，首先要确认以下两个问题：(1)选择适当的坐标系；(2)将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来.双曲线的标准方程为 - =1.【知识验证实验】1.已知双曲线2x2-y2=2，试问过点N(1，1)能否作一直线与双曲线交于C、D两点，且使N为CD的中点?这样的直线假如存在，求出它的方程，假如不存在，则说明理由.将问题一般化：N(x0,y0)，双曲线方程为 - =1，若过点N的双曲线的中点弦存在，则N点应在什么位置?其方程又为何?2.点P是双曲线 - =1右分支上任意一点，F1，F2分别为左、右焦点，设PF1F2=，PF2F1=，求证：3tan =tan .解：在PF1F2中，利用正弦定理及分比定理得 = = = ， = ，即2sin =sin ,展开并简化，得3sin cos =sin cos ，3tan =tan .【知识探究学习】舰A在舰B的正东6km处，舰C在舰B的北偏西30且与B相距4千米处，它们预备围捕海洋动物.某时刻A发现动物信号，4s后B、C同时发现这种信号，A发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度是1km/s，炮弹的速度是 km/s，其中g为重力加速度.若不计空气阻力与舰高，问舰A发射炮弹的方位角和仰角应是多少?解：取AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立直角坐标系，则A、B、C舰的坐标分别为(3，0)、(-3，0)、(-5，2 ).记动物所在位置为P，则PB=PC，于是P在BC中垂线上，其方程为 x-3y 7 =0.又A、C两舰发现信号的时间差为4秒，有PB-PA=4,于是P在双曲线 - =1的右支上，求得P点坐标是(8，5 )且PA=10.又kPA= ，直线PA的倾斜角为60，于是舰A发射炮弹的方位角是北偏东30，设发射的仰角是，初速度为v0= ,则 = ，sin2= = ,仰角=30参考答案：【同步达纲练习】A级1.B 2.D 3.A 4.B 5.A 6. - =1或 - =-1 7. ,arctan2 8. 9.解：由椭圆 =1的右焦点为(5，0)，圆心为(5，0)，又圆与双曲线 - =1的渐近线相切，即圆心到直线y= x的距离为圆的半径.r= =4 于是圆的方程为(x-5)2 y2=16.10.解：F(5,0),AB:y=x-5，将AB的方程代入双曲方程，得7x2 90x-369=0，设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1 x2=- ,x1x2=- ,AB= = = ，又xm= =- ,MF= xM-5= AA级1.B 2.C 3.B 4.B 5.B 6.- 7.y= 8.a9.解：由 消去y得，(1-k2)x2-2kx-2=0,若令f(x)=(1-k2)x2-2kx-2,则直线与双曲线左支相交于A、B两点，等价于方程f(x)=0有两个不大于-1的不等实根，即： 解得