江西省赣州市赣县中学北校区高二数学上学期1月月考试卷 理（含解析）.doc

江西省赣州市赣县中学北校区2014-2015学年高二上学期1月月考数学试卷（理科） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1（5分）设向量=（2，x1），=（x+1，4），则“x=3”是“”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件2（5分）下列四种说法中，错误的个数是（）a=0，1的子集有3个；“若am2bm2，则ab”的逆命题为真；“命题pq为真”是“命题pq为真”的必要不充分条件；命题“xr，均有x23x20”的否定是：“xr，使得x23x20”a0个b1个c2个d3个3（5分）如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（）a64b63c62d614（5分）在区间上随机取一个x，sinx的值介于与之间的概率为（）abcd5（5分）已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（）abcd6（5分）已知直线3x+4y3=0与直线6x+my+14=0行，则它们之间的距离是（）abc8d27（5分）已知双曲线my2x2=1（mr）与椭圆+x2=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）ay=xby=xcy=xdy=3x8（5分）已知圆c1：（xa）2+（y+2）2=4与圆c2：（x+b）2+（y+2）2=1相外切，则ab的最大值为（）abcd29（5分）设椭圆+=1（ab0）的左、右焦点分别为f1，f2，以f2为圆心，of2（o为椭圆中心）为半径作圆f2，若它与椭圆的一个交点为m，且mf1恰好为圆f2的一条切线，则椭圆的离心率为（）a1b2cd10（5分）如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，点m在棱ab上，且pb，点am=，p是平面abcd上的动点，且动点p到直线a1d1的距离与点p到点m的距离的平方差为1，则动点p的轨迹是（）a圆b抛物线c双曲线d椭圆二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将各小题的结果写在横线上）11（5分）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为12（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a=5，则输出的结果是13（5分）设抛物线x2=12y的焦点为f，经过点p（2，1）的直线l与抛物线相交于a、b两点，若点p恰为线段ab的中点，则|af|+|bf|=14（5分）已知p是双曲线=1上一点，f1，f2是双曲线的两个焦点，若|pf1|=17，则|pf2|的值为15（5分）以下四个关于圆锥曲线的命题中：设a、b为两个定点，k为非零常数，|=k，则动点p的轨迹为双曲线；过定圆c上一定点a作圆的动点弦ab，o为坐标原点，若=（+），则动点p的轨迹为圆；0，则双曲线c1：=1与c2：=1的离心率相同；已知两定点f1（1，0），f2（1，0）和一动点p，若|pf1|pf2|=a2（a0），则点p的轨迹关于原点对称；其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）三、解答题：（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（5分）命题p：“方程+=1表示双曲线”（kr）；命题q：y=log2（kx2+kx+1）定义域为r，若命题pq为真命题，pq为假命题，求实数k的取值范围17（12分）某校50名学生参加2013年全国数学联赛初赛，成绩全部介于90分到140分之间将成绩结果按如下方式分成五组：第一组90，100），第二组100，110），第五组130，140按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示（1）若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求该校参赛学生在这次数学联赛中成绩良好的人数；（2）若从第一、五组中共随机取出两个成绩，求这两个成绩差的绝对值大于30分的概率18平面内动点p（x，y）到定点f（1，0）的距离比它到y轴的距离大l（1）求动点p的轨迹abcd的方程；（2）已知点a（3，2），求|pa|+|pf|的最小值及此时p点的坐标19如图，将边长为2，有一个锐角为60的菱形abcd，沿着较短的对角线bd对折，使得ac=，o为bd的中点（）求证：ao平面bcd（）求三棱锥abcd的体积；（）求二面角abcd的余弦值20已知圆a：x2+y22x2y2=0（1）若直线l：ax+by4=0平分圆a的周长，求原点o到直线l的距离的最大值； （2）若圆b平分圆a的周长，圆心b在直线y=2x上，求符合条件且半径最小的圆b的方程21已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，且过点（2，）（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形abcd的顶点在椭圆上，且对角线ac、bd过原点o，若kackbd=，（i） 求的最值（ii） 求证：四边形abcd的面积为定值江西省赣州市赣县中学北校区2014-2015学年高二上学期1月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1（5分）设向量=（2，x1），=（x+1，4），则“x=3”是“”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量共线（平行）的坐标表示 专题：平面向量及应用分析：由向量共线可得x的值，再由集合的包含关系可得答案解答：解：当时，有24（x1）（x+1）=0，解得x=3；因为集合3是集合3，3的真子集，故“x=3”是“”的充分不必要条件故选a点评：本题考查充要条件的判断，涉及平面向量共线的坐标表示，属基础题2（5分）下列四种说法中，错误的个数是（）a=0，1的子集有3个；“若am2bm2，则ab”的逆命题为真；“命题pq为真”是“命题pq为真”的必要不充分条件；命题“xr，均有x23x20”的否定是：“xr，使得x23x20”a0个b1个c2个d3个考点：命题的真假判断与应用 专题：计算题分析：根据非空集合子集个数的计算公式进行判断；先写出其逆命题，然后再判断是否正确；已知命题pq为真，则p和q都得为真，利用这点进行判断；根据命题否定的规则进行判断，注意任意的否定为存在；解答：解：a=0，1的子集个数为：22=4，故错误；“若am2bm2，则ab”的逆命题为：若ab，则am2bm2，若m=0，则a=b，故错误；命题pq为真，则p和q都得为真，pq为真，则p和q至少有一个为真，命题pq为真命题pq为真，反之则不能，故正确；命题“xr，均有x23x20”的否定是：“xr，使得x23x20”，故错误；故选d点评：此题主要考查集合子集个数的计算公式和逆命题、否命题的定义，是一道基础题，若一个集合的元素个数为n，则其子集的个数为2n；3（5分）如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（）a64b63c62d61考点：茎叶图 专题：概率与统计分析：利用茎叶图的性质和中位数定义求解解答：解：由茎叶图知：甲在这几场比赛得分的中位数为28分，乙在这几场比赛得分的中位数为33分，甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是61故选：d点评：本题考查两组数据的中位数之和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图的合理运用4（5分）在区间上随机取一个x，sinx的值介于与之间的概率为（）abcd考点：几何概型 分析：解出关于三角函数的不等式，使得sinx的值介于到 之间，在所给的范围中，求出符合条件的角的范围，根据几何概型公式用角度之比求解概率解答：解：sinx ，当x，时，x（，）在区间 上随机取一个数x，sinx的值介于到 之间的概率p=，故选a点评：本题是一个几何概型，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，在解题过程中不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到5（5分）已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（）abcd考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高是1的直角三角形，则两条直角边是，斜边是2与底面垂直的侧面是一个边长为2的正三角形，求出面积解答：解：由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高是1的直角三角形，则两条直角边是，斜边是2，底面的面积是=1，与底面垂直的侧面是一个边长为2的正三角形，三棱锥的高是，三棱锥的体积是故选b点评：本题考查由三视图还原几何体，本题解题的关键是求出几何体中各个部分的长度，特别注意本题所给的长度1，这是底面三角形斜边的高度6（5分）已知直线3x+4y3=0与直线6x+my+14=0行，则它们之间的距离是（）abc8d2考点：两条平行直线间的距离；直线的一般式方程与直线的平行关系 专题：计算题分析：根据两平行直线的斜率相等，在纵轴上的截距不相等，求出 m，利用两平行直线间的距离公式求出两平行直线间的距离解答：解：直线3x+4y3=0与直线6x+my+14=0平行，=，m=8，故直线6x+my+14=0 即3x+4y+7=0，故两平行直线间的距离为 =2，故选 d点评：本题考查两直线平行的性质，两平行直线间的距离公式的应用7（5分）已知双曲线my2x2=1（mr）与椭圆+x2=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）ay=xby=xcy=xdy=3x考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：确定椭圆、双曲线的焦点坐标，求出m的值，即可求出双曲线的渐近线方程解答：解：椭圆+x2=1的焦点坐标为（0，2）双曲线my2x2=1（mr）的焦点坐标为（0，），双曲线my2x2=1（mr）与椭圆+x2=1有相同的焦点，=2，m=，双曲线的渐近线方程为y=x故选：a点评：本题考查椭圆、双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础8（5分）已知圆c1：（xa）2+（y+2）2=4与圆c2：（x+b）2+（y+2）2=1相外切，则ab的最大值为（）abcd2考点：圆与圆的位置关系及其判定 专题：直线与圆分析：根据圆与圆之间的位置关系，两圆外切则圆心距等于半径之和，得到a+b=3利用基本不等式即可求出ab的最大值解答：解：由已知，圆c1：（xa）2+（y+2）2=4的圆心为c1（a，2），半径r1=2圆c2：（x+b）2+（y+2）2=1的圆心为c2（b，2），半径r2=1圆c1：（xa）2+（y+2）2=4与圆c2：（x+b）2+（y+2）2=1相外切，|c1c2|=r1+r2即a+b=3由基本不等式，得ab=故选：c点评：本题考查圆与圆之间的位置关系，基本不等式等知识，属于中档题9（5分）设椭圆+=1（ab0）的左、右焦点分别为f1，f2，以f2为圆心，of2（o为椭圆中心）为半径作圆f2，若它与椭圆的一个交点为m，且mf1恰好为圆f2的一条切线，则椭圆的离心率为（）a1b2cd考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用圆的切线的性质可得f1mf2m再利用直角三角形的边角关系可得：|f1m|=c利用椭圆的定义可得：c+c=2a，即可解出解答：解：以f2为圆心，of2（o为椭圆中心）为半径作圆f2，若它与椭圆的一个交点为m，且mf1恰好为圆f2的一条切线，f1mf2m，|f1m|=cc+c=2a，椭圆的离心率为1故选：a点评：本题考查了圆的切线的性质、直角三角形的边角关系、椭圆的定义及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10（5分）如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，点m在棱ab上，且pb，点am=，p是平面abcd上的动点，且动点p到直线a1d1的距离与点p到点m的距离的平方差为1，则动点p的轨迹是（）a圆b抛物线c双曲线d椭圆考点：轨迹方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；空间位置关系与距离分析：建立空间右手系，得到m的坐标，设出p的坐标，由题意列式求得p的轨迹解答：解：建立如图所示的坐标系，m（1，0），设p（x，y，0），由动点p到直线a1d1的距离与点p到点m的距离的平方差为1，得，整理得：动点p的轨迹是抛物线故选：b点评：本题考查了轨迹方程的求法，关键是掌握利用空间直角坐标系求解空间中曲线的轨迹方程，是中档题二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将各小题的结果写在横线上）11（5分）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为24考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积 专题：计算题；综合题分析：由题意球的直径等于正方体的体对角线的长，求出球的半径，再求正方体的棱长，然后求正方体的表面积解答：解：设球的半径为r，由得，所以a=2，表面积为6a2=24故答案为：24点评：本题考查球的内接体，球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题12（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a=5，则输出的结果是62考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：算法的功能是求s=21+22+23+2n的值，当输入的a=5时，确定跳出循环的n值，利用等比数列的前n项和公式求得输出s的值解答：解：由程序框图知：算法的功能是求s=21+22+23+2n的值，当输入的a=5时，跳出循环的n值为5，输出s=21+22+25=262=62故答案为：62点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键13（5分）设抛物线x2=12y的焦点为f，经过点p（2，1）的直线l与抛物线相交于a、b两点，若点p恰为线段ab的中点，则|af|+|bf|=8考点：抛物线的定义 专题：计算题分析：过点a，b，p分别作抛物线准线y=3的垂线，垂足为c，d，q，据抛物线定义，得|af|+|bf|=|ac|+|bd|=2|pq|，答案可得解答：解：过点a，b，p分别作抛物线准线y=3的垂线，垂足为c，d，q，据抛物线定义，得|af|+|bf|=|ac|+|bd|=2|pq|=8故答案为8点评：本题主要考查了抛物线的定义属基础题14（5分）已知p是双曲线=1上一点，f1，f2是双曲线的两个焦点，若|pf1|=17，则|pf2|的值为33考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用双曲线的标准方程及c2=a2+b2即可得到a，b，c再利用等腰即可得出解答：解：由双曲线方程知，a=8，b=6，则c=10p是双曲线上一点，|pf1|pf2|=2a=16，又|pf1|=17，|pf2|=1或|pf2|=33又|pf2|ca=2，|pf2|=33故答案为33点评：熟练掌握双曲线的标准方程及其性质是解题的关键15（5分）以下四个关于圆锥曲线的命题中：设a、b为两个定点，k为非零常数，|=k，则动点p的轨迹为双曲线；过定圆c上一定点a作圆的动点弦ab，o为坐标原点，若=（+），则动点p的轨迹为圆；0，则双曲线c1：=1与c2：=1的离心率相同；已知两定点f1（1，0），f2（1，0）和一动点p，若|pf1|pf2|=a2（a0），则点p的轨迹关于原点对称；其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）考点：轨迹方程 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用双曲线的定义，即可得出结论；由题意，opab，可得动点p的轨迹为以op为直径的圆；求出离心率，即可判断；化简整理，即可分析其正误解答：解：平面内与两个定点f1，f2的距离的差的绝对值等于常数k（k|f1f2|）的点的轨迹叫做双曲线，中当0k|ab|时是双曲线的一支，当k=|ab|时，表示射线，不正确；由题意，opab，动点p的轨迹为以op为直径的圆，正确；0，则双曲线c1：=1与c2：=1的离心率相同，都为，正确；设p（x，y）为曲线|pf1|pf2|=a2（a0）上任意一点，则p（x，y）关于原点（0，0）的对称点为p（x，y），=a2（a0），即p（x，y）也在曲线=a2（a0）上，点p的轨迹曲线=a2（a0）关于原点对称，即正确；综上所述，正确的是故答案为：点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查圆锥曲线的概念及应用，考查转化思想与运算能力，属于中档题三、解答题：（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（5分）命题p：“方程+=1表示双曲线”（kr）；命题q：y=log2（kx2+kx+1）定义域为r，若命题pq为真命题，pq为假命题，求实数k的取值范围考点：复合命题的真假 专题：计算题；简易逻辑分析：先对命题p，q 化简，再由命题pq为真命题，pq为假命题知命题p，q一个为真，一个为假从而解出实数k的取值范围解答：解：p：由（k3）（k+3）0得：3k3；q：令t=kx2+kx+1，由t0对xr恒成立（1）当k=0时，10，k=0符合题意（2）当k0时，由=k24k10得k（k4）0，解得：0k4；综上得：q：0k4因为pq为真命题，pq为假命题，所以命题p，q一个为真，一个为假或；3k0或3k4点评：本题考查了命题的化简及复合命题真假性的判断，注意分类讨论的标准17（12分）某校50名学生参加2013年全国数学联赛初赛，成绩全部介于90分到140分之间将成绩结果按如下方式分成五组：第一组90，100），第二组100，110），第五组130，140按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示（1）若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求该校参赛学生在这次数学联赛中成绩良好的人数；（2）若从第一、五组中共随机取出两个成绩，求这两个成绩差的绝对值大于30分的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 专题：概率与统计分析：（1）由频率分布直方图，根据频率、频数与样本容量的关系，求出成绩在100，120）内的人数即可；（2）由频率分布直方图，求出各分数段对应的人数，利用列举法求出基本事件数，计算概率即可解答：解：（1）由频率分布直方图知，成绩在100，120）内的人数为：500.16+500.38=27（人），该班成绩良好的人数为27人； （5分）（2）由频率分布直方图知，成绩在90，100）的人数为500.06=3人，设为x、y；成绩在130，140的人数为500.08=4人，设为a、b、c、d；若m，n90，100）时，有xy，xz，yz 3种情况；若m，n130，140时，有ab，ac，ad，bc，bd，cd 6种情况；若m，n分别在90，100）和130，140内时，有xa，xb，xc，xd，ya，yb，yc，yd，za，zb，zc，zd 12种情况；基本事件总数为21种，事件“|mn|30”所包含的基本事件个数有12种；概率为p（|mn|30）= （12分）点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是综合题目18平面内动点p（x，y）到定点f（1，0）的距离比它到y轴的距离大l（1）求动点p的轨迹abcd的方程；（2）已知点a（3，2），求|pa|+|pf|的最小值及此时p点的坐标考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由题意，动点p（x，y）到定点f（1，0）的距等于它到x=1的距离，当动点不在直线上时，由抛物线的定义知p的轨迹为抛物线，动点在直线上时，其轨迹为y=0（x0），求出即可，（2）设点p在准线上的射影为d，记抛物线y2=2x的焦点为f（1，0），准线l是x=1，由抛物线的定义可得|pf|=|pd|，当d，p，m三点共线时pa+pd最小，即可得出解答：解：（1）由题意，动点p（x，y）到定点f（1，0）的距等于它到x=1的距离，当动点不在直线上时，由抛物线的定义知p的轨迹为抛物线，设抛物线方程为：y2=2px（p0）则p=2，所求的轨迹方程为y2=4x当动点在直线上时，其轨迹为y=0（x0）（2）设点p在准线上的射影为d，记抛物线y2=2x的焦点为f（1，0），准线l是x=1，由抛物线的定义可得：|pf|=|pd|，因此pa+pf=pa+pdad=4，即当d，p，m三点共线时pa+pd最小，此时p（1，2）点评：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19如图，将边长为2，有一个锐角为60的菱形abcd，沿着较短的对角线bd对折，使得ac=，o为bd的中点（）求证：ao平面bcd（）求三棱锥abcd的体积；（）求二面角abcd的余弦值考点：与二面角有关的立体几何综合题；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：空间角分析：（）由已知条件推导出aooc，aobd，由此能证明ao平面bcd（）三棱锥abcd的体积vabcd=（）过o作oebc于e，连ae，则aebc，所以aeo是二面角abcd的平面角，由此能求出二面角abcd的余弦值解答：（）证明：在菱形abcd中，a=60，ab=bd=2，o为bd的中点，ao=oc，ob=1，对折后，ac=，ac2=ao2+oc2，aooc，又aobd，ao平面bcd（）解：bcd是边长为2的等边三角形，=，ao=，又ao平面bcd，三棱锥abcd的体积vabcd=1（）解：过o作oebc于e，连ae，则aebc，aeo是二面角abcd的平面角，由题意知ao=2oe，ae=oe，cosaeo=，二面角abcd的余弦值为点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20已知圆a：x2+y22x2y2=0（1）若直线l：ax+by4=0平分圆a的周长，求原点o到直线l的距离的最大值； （2）若圆b平分圆a的周长，圆心b在直线y=2x上，求符合条件且半径最小的圆b的方程考点：直线与圆相交的性质 专题：直线与圆分析：（1）若直线l：ax+by4=0平分圆a的周长，则l经过圆心，即a+b4=0，此时原点o到直线l的距离d=故当a=2时，d取最大值（2）由题意知圆b与圆a的相交弦为圆a的一条直径，设圆b的圆心为b（a，2a），半径为r由垂径定理可得当a=时，r2取得最小值，此时圆b符合条件解答：解：（