高中数学 第四章 导数应用 4.2 导数在实际问题中的应用 4.2.2.1 利用导数求函数的最大（小）值课件 北师大版选修11.ppt

4 2 2 1利用导数求函数的最大 小 值 1 理解最大值 最小值的概念 2 会利用导数求函数在闭区间上的最大 小 值 函数的最大值与最小值函数y f x 在 a b 上的最大 小 值点x0指的是 函数在这个区间上所有点的函数值都不超过 不小于 f x0 最大值或者在极大值点取得 或者在区间的端点取得 函数的最大值和最小值统称为最值 做一做1 设f x 是 a b 上的连续函数 且在 a b 内可导 则下面结论中正确的是 a f x 的极值点一定是最值点b f x 的最值点一定是极值点c f x 在区间 a b 上可能没有极值点d f x 在区间 a b 上可能没有最值点答案 c 答案 a 题型一 题型二 题型三 求函数的最值 分析 先对函数求导 再求出极值与区间端点的函数值 从而确定最大值与最小值 题型一 题型二 题型三 反思1 当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求最值时 可考虑用导数的方法求解 2 比较极值与端点函数值大小时 有时需要利用作差或作商 甚至需要分类讨论 由函数的最值求参数值 题型一 题型二 题型三 变式训练1 已知函数f x ax3 c 且f 1 6 函数在 1 2 上的最大值为20 则c的值为 a 1b 4c 1d 0解析 f x ax3 c f x 3ax2 则f 1 3a 6 a 2 f x 2x3 c f x 6x2 0 f x 在 1 2 上是增加的 f x 的最大值为f 2 16 c 20 c 4 答案 b 题型一 题型二 题型三 利用导数求含参的函数的最值 例2 已知函数f x x3 ax2 3x x 3是函数f x 的极值点 求函数f x 在区间 1 5 上的最大值和最小值 解 由f x x3 ax2 3x 得f x 3x2 2ax 3 根据题意 x 3是函数f x 的极值点 得f 3 0 即27 6a 3 0 解得a 5 所以f x x3 5x2 3x 所以f x 3x2 10 x 3 令f x 0 得x 3或 舍去 当10 故当x 3时 函数f x 有极小值f 3 9 题型一 题型二 题型三 这也是函数f x 在区间 1 5 上的最小值 又因为f 1 1 f 5 15 所以函数f x 在区间 1 5 上的最大值为f 5 15 综上所述 函数f x 在区间 1 5 上的最大值为15 最小值为 9 反思函数的最值与极值及单调性密切相关 因此在求解函数的最值的问题时 一般都要判断函数的单调性与极值点 导数是研究函数与极值的有力工具 题型一 题型二 题型三 变式训练2 已知函数f x x3 3x2 9x a 1 求f x 的递减区间 2 若f x 在区间 2 2 上的最大值为20 求它在该区间上的最小值 解 1 f x 3x2 6x 9 3 x 1 x 3 令f x 3 故函数f x 的递减区间为 1 3 题型一 题型二 题型三 2 因为f 2 8 12 18 a 2 a f 2 8 12 18 a 22 a 所以f 2 f 2 因为在 1 3 上f x 0 所以f x 在 1 2 上是增加的 所以f 1 是f x 的极小值 且f 1 a 5 所以f 2 和f 1 分别是f x 在区间 2 2 上的最大值和最小值 于是有22 a 20 解得a 2 所以f 1 2 5 7 即函数f x 在区间 2 2 上的最小值为 7 题型一 题型二 题型三 已知函数最值求参数值 例3 已知函数f x ax3 6ax2 b在 1 2 上有最大值3 最小值 29 求a b的值 解 由题意 知a 0 因为f x 3ax2 12ax 3ax x 4 x 1 2 所以令f x 0 得x 0或x 4 舍去 若a 0 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由上表 知当x 0时 f x 取得最大值 所以f 0 b 3 又因为f 2 16a 3 f 1 7a 3 故f 1 f 2 题型一 题型二 题型三 所以当x 2时 f x 取得最小值 即 16a 3 29 解得a 2 若a 0 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以当x 0时 f x 取得最小值 所以f 0 b 29 又因为f 2 16a 29 f 1 7a 29 故f 2 f 1 所以当x 2时 f x 取得最大值 即 16a 29 3 解得a 2 题型一 题型二 题型三 反思若参数变化影响着函数的单调性变化 要对参数进行分类讨论 题型一 题型二 题型三 答案 c 1 2 3 4 5 6 1 函数y f x 在 a b 上 a 极大值一定比极小值大b 极大值一定是最大值c 最大值一定是极大值d 最大值一定大于极小值答案 d 1 2 3 4 5 6 2 函数f x x3 3x2 9x k在区间 4 4 上的最大值为10 则k的值为 a 5b 5c 15d 15解析 f x 3x2 6x 9 3 x 3 x 1 令f x 0 得x 3或x 1 因为f 4 k 76 f 3 k 27 f 1 k 5 f 4 k 20 由 f x max k 5 10 得k 5 答案 b 1 2 3 4 5 6 3 若函数f x x3 3x a在区间 0 3 上的最大值 最小值分别为m n 则m n的值为 a 2b 4c 18d 20解析 f x 3x2 3 令f x 0得x 1 当0 x0 则f 1 最小 又f 0 a f 3 18 a 又f 3 f 0 最大值为f 3 即m f 3 n f 1 m n f 3 f 1 18 a 2 a 20 答案 d 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 6 求函数f x x3 3x2 6x 5在区间 1 1 上的最值 解 f x 3x