高中数学 第二章 平面解析几何 2.3.3 直线与圆的位置关系课件 新人教B版必修2.pptVIP

2 3 3直线与圆的位置关系 一 二 三 一 直线与圆的位置关系 问题思考 1 若直线与圆的方程联立后 消y得到的方程为x2 2x 3 0 则直线与圆有几个公共点 提示 由方程x2 2x 3 0的判别式 16 0 可知直线与圆有两个公共点 一 二 三 2 填写下表 直线l ax by c 0 a2 b2 0 圆c x a 2 y b 2 r2 r 0 设圆心 a b 到直线的距离是d d 则有 一 二 三 3 做一做 直线x y 5和圆o x2 y2 4y 0的位置关系是 a 相离b 相切c 相交但直线不过圆心d 相交且直线过圆心解析 圆o的标准方程为x2 y 2 2 4 圆心o 0 2 半径r 2 圆心o到直线x y 5的距离d 2 故直线与圆相离 答案 a 一 二 三 二 圆的切线方程 问题思考 1 过圆上一点有几条切线 过圆外一点有几条切线 提示 过圆上一点一定有1条切线 过圆外一点一定有2条切线 2 填空 当点 x0 y0 在圆x2 y2 r2上时 过点 x0 y0 的圆的切线方程为x0 x y0y r2 3 做一做 已知圆的方程为 x 1 2 y 2 2 10 则该圆过点 0 1 的切线方程为 答案 x 3y 3 0 一 二 三 三 弦长问题 问题思考 1 填空 求弦长的方法有以下2种 1 几何法 由圆的性质知 过圆心o作l的垂线 垂足c为线段ab的中点 如图所示 在rt ocb中 bc 2 r2 d2 则弦长 ab 2 bc 即 2 代数法 将直线方程与圆的方程联立 运用根与系数的关系可知 弦长 一 二 三 2 过圆c内一点p 不同于圆心 的所有弦中 何时最长 何时最短 提示 过圆内一点p的所有弦中 当弦经过圆心c时弦最长 等于直径的长 当弦与过点p的直径垂直时弦长最短 3 做一做 圆x2 y2 4x 4y 6 0截直线x y 5 0所得弦长等于 解析 因为圆的方程为 x 2 2 y 2 2 2 所以圆心为 2 2 故选a 答案 a 一 二 三 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 过圆外一点可以作圆的两条切线且切线长相等 2 直线ax y 1与圆x2 y 1 2 1的位置关系与a有关 3 过圆c内一点m作一直线l 要使直线与圆相交所得弦长最短 则须满足cm l 4 若一条直线被一个圆截得弦长最大 则该直线过圆心 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 直线与圆的位置关系 例1 已知动直线l y kx 5和圆c x 1 2 y2 1 则当k为何值时 直线l与圆c相离 相切 相交 解 方法一 代数法 得 k2 1 x2 10k 2 x 25 0 则 10k 2 2 4 k2 1 25 40k 96 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 方法二 几何法 圆c x 1 2 y2 1的圆心为c 1 0 半径r 1 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 反思感悟直线与圆的位置关系的判断方法 1 几何法 由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断 2 代数法 根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断 3 直线系法 若直线恒过定点 可通过判断点与圆的位置关系判断 但有一定的局限性 必须是过定点的直线系 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 变式训练1已知圆c x2 y2 4x 0 l是过点p 3 0 的直线 则 a l与c相交b l与c相切c l与c相离d 以上三个选项均有可能解析 方法一 圆c的方程是 x 2 2 y2 4 所以点p到圆心c 2 0 的距离是d 1 2 所以点p在圆c内部 所以直线l与圆c相交 方法二 将点p的坐标代入圆的方程 得32 02 4 3 9 12 3 0 所以点p 3 0 在圆内 所以过点p的直线l与圆c相交 答案 a 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 弦长问题 例2 已知一个圆c与y轴相切 圆心c在直线l1 x 3y 0上 且在直线l2 x y 0上截得的弦长为2 求圆c的方程 思路分析 先设出圆心 3t t 再利用弦心距 半径和弦长的一半建立一个勾股关系 从而求出参数t 解 圆心c在直线l1 x 3y 0上 可设圆心为c 3t t 又 圆c与y轴相切 圆的半径为r 3t 由弦心距 半径 弦长的一半组成的直角三角形可得 圆心为 3 1 或 3 1 半径为3 故所求圆的方程为 x 3 2 y 1 2 9或 x 3 2 y 1 2 9 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 反思感悟1 直线被圆所截得的弦长问题多利用半弦 半径 圆心到直线的距离构成的直角三角形来处理 2 若用代数法求弦长 请参考课前篇 自主预习中的 三 弦长问题 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 变式训练2求直线y x被圆 x 2 2 y 4 2 10所截得的弦长 解法一由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离 解法二联立方程y x与 x 2 2 y 4 2 10 得x2 6x 5 0 设两个交点为a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2是方程 的两个根 于是由根与系数的关系 得x1 x2 6 x1x2 5 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 圆的切线问题 例3 过点m 2 4 向圆 x 1 2 y 3 2 1引切线 求切线的方程 思路分析 先明确点m 2 4 与圆的关系 再利用d r列式来刻画相切这一条件 本题若使用点斜式设切线方程 一定要检验斜率不存在的情况 解 由于 2 1 2 4 3 2 50 1 故点m在圆外 当切线斜率存在时 设切线方程是y 4 k x 2 即kx y 4 2k 0 所以切线方程为24x 7y 20 0 又当切线斜率不存在时 直线x 2与圆相切 综上所述 所求切线方程为24x 7y 20 0或x 2 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 反思感悟求圆的切线方程的三种方法 1 几何法 设出切线方程 利用圆心到直线的距离等于半径 求出未知量 此种方法需要注意斜率不存在的情况 要单独验证 若符合题意 则直接写出切线方程 2 代数法 设出切线方程后与圆的方程联立消元 利用判别式等于零 求出未知量 若消元后的方程为一元一次方程 则说明要求的切线中 有一条切线的斜率不存在 可直接写出切线方程 3 设切点坐标 先利用切线的性质解出切点坐标 再利用直线的两点式写出切线方程 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 1 本例中 若所给点m的坐标是 1 4 圆的方程不变 求切线方程 2 本例条件不变 试求切线的长度 解 1 由于 1 1 2 4 3 2 1 故点 1 4 在圆上 又圆心为 1 3 所以切线斜率为0 所以切线方程为y 4 即y 4 0 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 与圆有关的最值问题 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 由b 2x y 知b表示直线2x y b 0在y轴上的截距 如图 2 所示 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 反思感悟1 与圆有关的最值问题 可借助几何特征及几何法先确定达到最值的位置 再进行计算 有些与圆有关的最值问题涉及是否过圆心 有时注意考虑表达式中字母的几何意义 如两点间距离公式 斜率公式 在y轴上的截距等 2 对于本题而言 解决的关键是理解m和b的几何意义 同时要借助分界线探求参数的取值范围 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 变式训练3直线y x 1上的点与圆x2 y2 4x 2y 4 0上的点的距离的最小值为 答案 c 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 漏掉直线斜率不存在的情形而致误 典例 过点p 4 4 的直线l被圆c x2 y2 2x 4y 20 0截得的弦ab的长度为8 求直线l的方程 错解设ab的中点为m 由圆的几何性质可知圆的半弦长 半径 弦心距构成直角三角形 且圆的方程可化为 x 1 2 y 2 2 52 c 1 2 圆的半径r ca 5 即圆心c到直线l的距离为3 l过点p 4 4 可设直线l的方程为y 4 k x 4 即kx y 4k 4 0 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 即3x 4y 4 0 以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何订正 你怎么防范 提示 本题错解中没有考虑过点 4 4 的斜率不存在的直线x 4 而实际上x 4也恰好满足题意 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 正解 圆的方程可化为 x 1 2 y 2 2 52 圆心c 1 2 半径r 5 由圆的几何性质可知圆的半弦长 半径 弦心距构成直角三角形 圆心到直线l的距离 当直线l x轴时 l过点p 4 4 直线l的方程为x 4 点c 1 2 到直线l的距离d 4 1 3 满足题意 当直线l与x轴不垂直时 设直线l的方程为y 4 k x 4 即kx y 4k 4 0 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 即3x 4y 4 0 综上所述 直线l的方程为x 4或3x 4y 4 0 防范措施1 因为点斜式方程并不能表示斜率不存在的情况 所以在求直线方程时 若设直线的点斜式方程 根据条件求k 还要考虑斜率不存在的情况是否满足题意 2 本题若设直线的方程为 x 4 m y 4 再根据条件求解 就不会丢掉x 4这一条直线 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 变式训练过点p 6 8 与圆c x2 y2 2x 4y 20 0相切的直线方程为 解析 将圆的方程配方 得 x 1 2 y 2 2 25 所以圆心为c 1 2 半径r 5 易知点p 6 8 在圆外 当切线斜率存在时 设切线方程为y 8 k x 6 即kx y 6k 8 0 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 故过点p 6 8 与圆c x2 y2 2x 4y 20 0相切的直线方程为x 6或3x 4y 14 0 答案 x 6或3x 4y 14 0 1 2 3 4 5 6 1 若圆x2 y2 2x 4y m 0与x轴相切 则m的值为 a 1b 7c 3或7d 3或 7 解析 根据题意 得4 16 4m 0 即m 5 消去y 得x2 2x m 0 因为已知圆与x轴相切 所以 4 4m 0 所以m 1 5 故选a 答案 a 1 2 3 4 5 6 2 若圆x2 y2 2x 4y 0被直线x y a 0截得的弦长为3 则a的值为 答案 c 1 2 3 4 5 6 3 已知直线l ax y b 0 圆c x2 y2 2ax 2by 0 则l与c在同一坐标系中的图形只可能是 解析 由圆的方程 易知圆c过原点 所以a c项均不正确 再由圆心坐标 直线的斜率知b项正确 答案 b 1 2 3 4