高中数学 第一章 立体几何初步 4.2 空间图形的公理(二) 课件 北师大版必修2.ppt

4 2空间图形的公理 二 第一章 4空间图形的基本关系与公理 学习目标1 掌握公理4及等角定理 2 掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念 能求出一些较特殊的异面直线所成的角 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一平行公理 公理4 思考在平面内 直线a b c 若a b b c 则a c 该结论在空间中是否成立 答案成立 梳理平行公理 1 文字表述 平行于同一条直线的两条直线平行 知识点二空间两直线的位置关系 思考在同一平面内 两条直线有几种位置关系 观察下面两个图形 你能找出既不平行又不相交的两条直线吗 答案平行与相交 教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线 六角螺母中直线ab与cd 梳理异面直线的概念 1 定义 不同在平面内的两条直线 2 异面直线的画法 衬托平面法 如图 1 2 所示 为了表示异面直线不共面的特点 作图时 通常用一个或两个平面来衬托 任何一个 3 判断两直线为异面直线的方法 定义法 两直线既不平行也不相交 4 空间两条直线的三种位置关系 从是否有公共点的角度来分 平行 异面 相交 从是否共面的角度来分 在同一平面内不同在任何一个平面内 平行 相交 异面 知识点三等角定理 思考观察图 在平行六面体abcd a b c d 中 adc与 a d c adc与 d a b 的两边分别对应平行 这两组角的大小关系如何 答案从图中可以看出 adc a d c adc d a b 180 梳理等角定理空间中 如果两个角的两条边分别对应 则这两个角或 相等 平行 互补 知识点四异面直线所成的角 思考在平行六面体a1b1c1d1 abcd中 bc1 ad1 则 直线bc1与直线bc所成的角 与 直线ad1与直线bc所成的角 是否相等 答案相等 梳理异面直线所成角的定义 锐角 或直角 0 90 90 a b 思考辨析判断正误 1 分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 2 两直线若不是异面直线 则必相交或平行 3 若ab a b ac a c 则 bac b a c 题型探究 例1在正方体abcd a b c d 中 e f e f 分别是ab bc a b b c 的中点 求证 ee ff 证明因为e e 分别是ab a b 的中点 所以be b e 且be b e 所以四边形ebb e 是平行四边形 所以ee bb 同理可证ff bb 所以ee ff 类型一公理4及等角定理的应用 证明 反思与感悟 1 空间两条直线平行的证明 定义法 即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点 利用公理4找到一条直线 使所证的直线都与这条直线平行 2 等角 定理的结论是相等或互补 在实际应用时 一般是借助于图形判断是相等 还是互补 还是两种情况都有可能 跟踪训练1如图 已知在棱长为a的正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是棱cd ad的中点 求证 1 四边形mna1c1是梯形 证明 证明如图 连接ac 在 acd中 m n分别是cd ad的中点 mn是 acd的中位线 由正方体的性质得ac a1c1 ac a1c1 即mn a1c1 四边形mna1c1是梯形 2 dnm d1a1c1 证明由 1 可知mn a1c1 又 nd a1d1 dnm与 d1a1c1相等或互补 而 dnm与 d1a1c1均为锐角 dnm d1a1c1 证明 类型二异面直线 命题角度1异面直线的判定例2 1 若a b是异面直线 b c是异面直线 则a c的位置关系是a 异面b 相交或平行c 平行或异面d 相交 平行或异面 答案 解析 解析异面直线不具有传递性 可以以长方体为载体加以说明a b异面 直线c的位置可如图所示 2 如图 已知正方体abcd a b c d 哪些棱所在直线与直线ba 是异面直线 解答 解由异面直线的定义可知 棱ad dc cc dd d c b c 所在直线分别与直线ba 是异面直线 反思与感悟判断两直线是否为异面直线 只需判断它们是否相交 平行 只要既不相交 也不平行 就是异面直线 跟踪训练2 1 在四棱锥p abcd中 各棱所在的直线互相异面的有 对 解析与ab异面的有侧棱pd和pc 同理 与底面的各条边异面的都有两条侧棱 故共有异面直线4 2 8 对 8 答案 解析 2 如图是一个正方体的展开图 如果将它还原成正方体 那么ab cd ef gh这四条线段所在直线是异面直线的有几对 分别是哪几对 解答 解还原的正方体如图所示 异面直线有三对 分别为ab与cd ab与gh ef与gh 命题角度2求异面直线所成的角例3在空间四边形abcd中 ab cd 且ab与cd所成锐角为30 e f分别为bc ad的中点 求ef与ab所成角的大小 解答 解如图所示 取ac的中点g 连接eg fg 由ab cd知eg fg 从而可知 gef为ef与ab所成角 egf或其补角为ab与cd所成角 ab与cd所成角为30 egf 30 或150 由eg fg知 efg为等腰三角形 当 egf 30 时 gef 75 当 egf 150 时 gef 15 故ef与ab所成角的大小为15 或75 反思与感悟 1 异面直线一般依附于某几何体 所以在求异面直线所成的角时 首先将异面直线平移成相交直线 而定义中的点o常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点 2 求异面直线所成的角的一般步骤 作角 平移成相交直线 证明 用定义证明前一步的角为所求 计算 在三角形中求角的大小 但要注意异面直线所成的角的范围 跟踪训练3如图所示 在正方体abcd a b c d 中 e f分别为平面a b c d 与aa d d的中心 则ef与cd所成角的大小是 解析连接b d 则e为b d 的中点 连接ab 则ef ab 又cd ab 所以 b ab为异面直线ef与cd所成的角 即 b ab 45 45 答案 解析 达标检测 答案 1 一条直线与两条异面直线中的一条平行 则它和另一条的位置关系是a 平行或异面b 相交或异面c 异面d 相交 1 2 3 4 5 解析如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 aa1与bc是异面直线 又aa1 bb1 aa1 dd1 显然bb1 bc b dd1与bc是异面直线 故选b 解析 2 若oa o a ob o b 且 aob 130 则 a o b 为a 130 b 50 c 130 或50 d 不能确定 1 2 3 4 5 答案 解析根据定理 a o b 与 aob相等或互补 即 a o b 130 或 a o b 50 解析 2 3 3 下列四个结论中错误的个数是 垂直于同一直线的两条直线互相平行 平行于同一直线的两直线平行 若直线a b c满足a b b c 则a c 若直线l1 l2是异面直线 则与l1 l2都相交的两条直线是异面直线 a 1b 2c 3d 4 4 5 答案 解析 1 2 3 4 5 解析 均为错误结论 可举反例 如a b c三线两两垂直 如图甲所示 c d与异面直线l1 l2交于四个点 此时c d异面 当点a在直线l1上运动 其余三点不动 时 会出现点a与b重合的情形 如图乙所示 此时c d共面相交 1 2 3 4 5 答案 解析 4 如图所示 g h m n分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点 则表示直线gh mn是异面直线的图形有 填序号 1 2 3 4 5 1 解析 中 g m是中点 ag bm ag bm gm ab gm ab hn ab hn ab 四边形ghnm是平行四边形 gh mn 即g h m n四点共面 中 h g n三点共面 且都在平面hgn内 而点m显然不在平面hgn内 h g m n四点不共面 即gh与mn异面 2 3 4 5 1 h g m n四点共面 中 同 g h m n四点不共面 即gh与mn异面 5 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 1 求a1c1与b1c所成角的大小 解答 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 解如图所示 连接ac ab1 由六面体abcd a1b1c1d1是正方体知 四边形aa1c1c为平行四边形 ac a1c1 从而b1c与ac所成的角就是a1c1与b1c所成的角 在 ab1c中 由ab1 ac b1c 可知 b1ca 60 即a1c1与b1c所成的角为60 2 若e f分别为ab ad的中点 求a1c1与ef所成角的大小 解答 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 解如图所示 连接bd 由 1 知ac a1c1 ac与ef所成的角就是a1c1与ef所成的角 ef是 abd的中位线 ef bd 2 3 4 5 1 又 ac bd ac ef ef a1c1 即a1c1与ef所成的角为90 1 判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行 相交 异面的定义 很多情况下 定义就是一种常用的判定方法 2 在研究异面直线所成角的大小时 通常把两条异面