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文档简介
2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理(天津卷,含答案)参考公式:。如果事件a,b互相排斥,那么p(aub)=p(a)+p(b)。棱柱的体积公式v=sh。其中s表示棱柱的底面积,h表示棱柱的高一、 选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(1) i是虚数单位,=(a)1+2i (b)-1-2i (c)1-2i (d)-1+2i(2)设变量x,y满足约束条件:.则目标函数z=2x+3y的最小值为(a)6 (b)7 (c)8 (d)23(3)命题“存在r,0”的否定是(a)不存在r, 0 (b)存在r, 0 (c)对任意的r, 0 (d)对任意的r, 0(4)设函数则a在区间内均有零点。b在区间内均无零点。c在区间内有零点,在区间内无零点。d在区间内无零点,在区间内有零点。(5)阅读右图的程序框图,则输出的s= a 26 b 35 c 40 d 57(6)设若的最小值为 a 8 b 4 c 1 d (7)已知函数的最小正周期为,为了得到函数 的图象,只要将的图象 a 向左平移个单位长度 b 向右平移个单位长度 c 向左平移个单位长度 d 向右平移个单位长度(8)已知函数若则实数的取值范围是 a b c d (9)设抛物线=2x的焦点为f,过点m(,0)的直线与抛物线相交于a,b两点,与抛物线的准线相交于c,=2,则bcf与acf的成面积之比=(a) (b) (c) (d)(10).0b1+a,若关于x 的不等式的解集中的整数恰有3个,则(a)-1a0 (b)0a1 (c)1a3 (d)3a6二填空题:(6小题,每题4分,共24分)(11)某学院的a,b,c三个专业共有1200名学生,为了调 查这些学生勤工俭学的情况,拟采用分层抽样的方法抽取 一个容量为120的样本。已知该学院的a专业有380名学生,b专业有420名学生,则在该学院的c专业应抽取_名学生。(12)如图是一个几何体的三视图,若它的体积是,则a=_(13) 设直线的参数方程为(t为参数),直线的方程为y=3x+4则与的距离为_(14)若圆与圆(a0)的公共弦的长为,则a=_(15)在四边形abcd中,=(1,1),则四边形abcd的面积是 (16)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个(用数字作答)三、解答题:本大题共6小题,共76分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。(17)(本小题满分12分)在abc中,bc=,ac=3,sinc=2sina(i) 求ab的值:(ii) 求sin的值(18)(本小题满分12分)在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品。从这10件产品中任取3件,求:(i) 取出的3件产品中一等品件数x的分布列和数学期望;(ii) 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。(19)(本小题满分12分)如图,在五面体abcdef中,fa 平面abcd, ad/bc/fe,abad,m为ec的中点,af=ab=bc=fe=ad(i) 求异面直线bf与de所成的角的大小;(ii) 证明平面amd平面cde;(iii)求二面角a-cd-e的余弦值。(20)(本小题满分12分) 已知函数其中(1) 当时,求曲线处的切线的斜率;(2) 当时,求函数的单调区间与极值。(21)(本小题满分14分) 以知椭圆的两个焦点分别为,过点的直线与椭圆相交与两点,且。(1) 求椭圆的离心率;(2) 求直线ab的斜率; (3) 设点c与点a关于坐标原点对称,直线上有一点在的外接圆上,求的值 (22)(本小题满分14分)已知等差数列的公差为d(d0),等比数列的公比为q(q1)。设=+.+ ,=-+.+(-1 ,n(i) 若= 1,d=2,q=3,求 的值;(ii) 若=1,证明(1-q)-(1+q)=,n;() 若正数n满足2nq,设的两个不同的排列, , 证明。2009年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)参考解答一 选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题5分,满分50分。(1)d (2)b (3)d (4)d (5) c(6)b (7)a (8)c (9)a (10)c二填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题4分,满分24分。(11) 40 (12) (13)(14) 1 (15) (16)324三解答题(17)本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识,考查基本运算能力。满分12分。()解:在abc中,根据正弦定理,于是ab=()解:在abc中,根据余弦定理,得cosa=于是 sina= 从而sin2a=2sinacosa=,cos2a=cos2a-sin2a= 所以 sin(2a-)=sin2acos-cos2asin=(18)本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。()解:由于从10件产品中任取3件的结果为,从10件产品中任取3件,其中恰有k件一等品的结果数为,那么从10件产品中任取3件,其中恰有k件一等品的概率为p(x=k)= ,k=0,1,2,3.所以随机变量x的分布列是x0123px的数学期望ex=()解:设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件a,“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件a1“恰好取出2件一等品“为事件a2,”恰好取出3件一等品”为事件a3由于事件a1,a2,a3彼此互斥,且a=a1a2a3而p(a2)=p(x=2)= ,p(a3)=p(x=3)= ,所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为p(a)=p(a1)+p(a2)+p(a3)= +=(19)本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。满分12分.方法一:()解:由题设知,bf/ce,所以ced(或其补角)为异面直线bf与de所成的角。设p为ad的中点,连结ep,pc。因为feap,所以faep,同理abpc。又fa平面abcd,所以ep平面abcd。而pc,ad都在平面abcd内,故eppc,epad。由abad,可得pcad设fa=a,则ep=pc=pd=a,cd=de=ec=,故ced=60。所以异面直线bf与de所成的角的大小为60(ii)证明:因为(iii)由(i)可得,方法二:如图所示,建立空间直角坐标系,点为坐标原点。设依题意得 (i) 所以异面直线与所成的角的大小为.(ii)证明: ,(iii)又由题设,平面的一个法向量为(20)本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。(i)解:(ii)以下分两种情况讨论。(1),则.当变化时,的变化情况如下表:+00+极大值极小值(2),则,当变化时,的变化情况如下表:+00+极大值极小值(21)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想,考查运算能力和推理能力,满分14分(i) 解:由/且,得,从而 整理,得,故离心率(ii) 解:由(i)得,所以椭圆的方程可写为 设直线ab的方程为,即. 由已知设,则它们的坐标满足方程组消去y整理,得.依题意,而 由题设知,点b为线段ae的中点,所以 联立解得,将代入中,解得.(iii)解法一:由(ii)可知当时,得,由已知得.线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是外接圆的圆心,因此外接圆的方程为.直线的方程为,于是点h(m,n)的坐标满足方程组 , 由解得故当时,同理可得.解法二:由(ii)可知当时,得,由已知得由椭圆的对称性可知b,c三点共线,因为点h(m,n)在的外接圆上,且,所以四边形为等腰梯形. 由直线的方程为,知点h的坐标为.因为,所以,解得m=c(舍),或.则,所以.当时同理可得(22)本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式
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