普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（山东卷解析版）.doc

2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（山东卷，解析版）题号考点题号考点1集合的运算12有关平面向量的信息题2复数的运算13程序框图3空间中的点、线、面关系14不等式恒成立问题4函数的性质15三角恒等变换与解三角形5正态分布16直线与圆6平均数与方差17三角恒等变换与图象、性质7定积分求面积18数列求和8排列组合应用题19立体几何9等比数列与逻辑用语20概率、分布列与期望10线性规划21圆锥曲线的方程11函数的图象24导数的运算【试卷评析】【重期望布列于本，考查算法的思想和读图的能力，本套试卷围绕课程标准中内容主线、核心能力、改革理念命题，考虑了a、b两种不同版本的教材的差别。试题注重基础知识、基本技能和基本方法的考查，注意对算法框图、正态分布、幂函数等新增内容进行了考查。对传统内容的考查也适度创新，如改变了传统的向量的考试模式，通过定义新运算，既新颖又体现数学应用的价值。多数试题都是注重通性通法，有利于考生发挥真实水平，很好的体现了课程标准的理念。重视对常规思想方法的考查，如第5、7、10题，考查数形结合的数学思想，第22题是函数和导数的综合问题，突出考查函数的思想和分类与整合的数学思想，对推动数学教学改革起到良好的导向作用。注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2b铅笔将答题卡上试卷类型b后的方框涂黑。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。咎在试题卷、草稿纸上无效。 3填空题和解答题用0 5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。 4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.（1） 已知全集u=r，集合m=x|x-1|2,则=（a）x|-1x3 (b)x|-1x3 (c)x|x3 (d)x|x-1或x3【答案】c【解析】因为集合,全集，所以,故选c. 【技巧点拨】首先由绝对值不等式求出集合m，然后利用补集的运算求解即可。 (2) 已知（a,br），其中i为虚数单位，则a+b=(a)-1 (b)1 (c)2 (d)3 (3)在空间，下列命题正确的是（a）平行直线的平行投影重合（b）平行于同一直线的两个平面平行（c）垂直于同一平面的两个平面平行（d）垂直于同一平面的两条直线平行【答案】d【解析】两平行直线的投影不一定重合，故a错，由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可知b、c显然是错误的，故选d。【技巧点拨】本题可以采用举反例的方法予以排除。（4）设f(x)为定义在r上的奇函数，当x0时，f(x)=+2x+b(b为常数)，则f(-1)=(a) 3 (b) 1 (c)-1 (d)-3 (5)已知随机变量z服从正态分布n（0，）,若p(z2)=0.023,则p(-2z2)=(a)0.477 (b)0.625 (c)0.954 (d)0.977【答案】c【解析】因为随机变量服从正态分布,所以正态曲线关于直线对称,又,所以,所以0.954,故选c.【误区警示】本题在解答时极易忽视了正态曲线的对称性而导致解题错误，采用数形结合的掌握好正态分布的对称性是解答本题的关键。(6)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3,若该样本的平均值为1，则样本方差为(a) (b) (c) (d)2【答案】 d【解析】由题意知,解得,所以样本方差为=2,故选d.(7)由曲线y=,y=围成的封闭图形面积为（a）(b) (c) (d) 【答案】a【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为,故选a。【规律总结】画出两曲线所围成的图形是解决问题的关键。（8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（a）36种（b）42种(c)48种（d）54种（9）设an是等比数列，则“a1a2a3”是数列an是递增数列的（a）充分而不必要条件(b)必要而不充分条件、（c）充分必要条件 （d）既不充分也不必要条件【答案】c【解析】若已知，则设数列的公比为，因为，所以有，解得且，所以数列是递增数列；反之，若数列是递增数列，则公比且，所以，即，所以是数列是递增数列的充分必要条件。【思维拓展】对充分必要条件的判断，就是看由条件是否推出结论，由结论是否推出条件，在解答此类问题时一定要注意，本题极易误选b。（10）设变量x、y满足约束条件,则目标函数z=3x4y的最大值和最小值分别为（a）3，11（b) 3, 11(c)11, 3 (d)11,3 (11)函数y=2x -的图像大致是 (12)定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，令，下面说法错误的是（a）若a与b共线，则ab0（b）ab=ba(c)对任意的r，有（a）b=（ab）(d) （ab）2+(ab)2=【答案】b【解析】若与共线，则有，故a正确；因为，而，所以有，故选项b错误，故选b。【技巧点拨】对于此类信息题，抓住题目中所反映的信息是解题的关键。二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分（13）执行右图所示的程序框图，若输入，则输出的值为 当x=4时，y=1， ，此时x=1；当x=1时，y= ，此时x=；当x=时，y=，；故此时输出y=【技巧点拨】对于这类循环结构的问题，我们可以将所有的x、y的值一一代入，进行循环验证。（14）若对任意，恒成立，则的取值范围是 【答案】【解析】因为，所以 ，所以，所以a的取值范围为【技巧点拨】本题是一个分式不等式恒成立问题，可利用基本不等式将其转化为，问题转化为只要a大于等于的最大值即可，（15）在中，角所对的边分别为a，b，c，若，则角的大小为 （16）已知圆c过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线：被圆c所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为 三、解答题：本大题共6小题，共74分（17）（本小题满分12分）已知函数，其图象过点（,）（）求的值；（）将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在0, 上的最大值和最小值【答案】解（）因为所以 = = =又 函数图像过点所以 即 又 【解题指导】：本题考查了三角函数的恒等变换、诱导公式、三角函数图象的平移变换以及三角函数在闭区间上的最值问题，考查了同学们综合运用三角函数知识的解题能力。（1）首先将三角函数式进行化简，然后利用过定点求值；（2）利用图象的平移变换求出的解析式，然后再求闭区间上的最值问题。【思维拓展】三角函数的定义和性质有着十分鲜明的特征和规律性，它和代数、几何有着密切的联系，是研究其它部分知识的工具，在实际问题中也有着广泛的应用，因而是高考对基础知识和基本技能考查的重要内容之一。有关三角函数的试题，其解题特点往往是先通过三角公式进行三角恒等变形，再利用三角函数的图象和性质解题，是高考的热点。（18）（本小题满分12分）已知等差数列满足：，的前n项和为（）求及；（）令bn=(nn*)，求数列的前n项和 因此=（） 故 = =（） = =所以数列的前n项和=【解题指导】：本题考查了等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式，考查了同学们灵活运用所学知识解决问题的能力。（1）首先利用等差数列的性质求出，则等数数列的首项与公差可求，问题可解；（2）裂项法求和。【思维拓展】： 求解有关数列的综合题，首先要善于从宏观上整体把握问题，能透过给定信息的表象，揭示问题的本质，然后在微观上要明确解题方向，化难为易，化繁为简，注意解题的严谨性。数列问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳、猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出。而解答题更是考查能力的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们足够的重视，因此，在平时要加强对能力的培养（19）（本小题满分12分）如图，在五棱锥pabcde中，pa平面abcde，abcd，aced，aebc， abc=45，ab=2，bc=2ae=4，三角形pab是等腰三角形（）求证：平面pcd平面pac；（）求直线pb与平面pcd所成角的大小；（）求四棱锥pacde的体积（）解法一： 因为 pab是等腰三角形， 所以 pa=ab=， 因此 ,所以 解法二：由（）知ab,ac,ap两两相互垂直，分别以ab、ac、ap为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于pab是等腰三角形，所以 pa=ab=,又ac=,因此 a（0,0,0），b（，0,0）， c（0，0），p（0,0，），因为 aced，cdac，所以 四边形acde是直角梯形，因为 ae=2, abc=45，aebc，所以 bae=135，因此 cae=45，故 cd=aesin45=2=，所以 d（-，2，0），-因此 设m=（x,y,z）是平面pcd的一个法向量，故 cd=aesin45=2=，所以 又 pa平面abcde，所以 【解题指导】：本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的体积计算等问题，考查了同学们的空间想象能力以及空间思维能力。（1）在中，由余弦定理得到ac 的长，由勾股定理得到线线垂直、线面垂直，最后证面面垂直；（2）首先做出线面角然后求解；（3）利用四棱锥的体积公式直接求解。 【方法总结】空间几何问题通常包括点、线、面的位置关系的判断与证明以及点、线、面之间的角度或长度求解等问题，一般可以通过辅助线的构造，结合点、线、面的相应概念、性质、定理判断与求解。（20）（本小题满分12分）某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有四个问题，规则如下： 每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分； 每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局； 每位参加者按问题顺序作答，直至答题结束.假设甲同学对问题回答正确的概率依次为，且各题回答正确与否相互之间没有影响.()求甲同学能进入下一轮的概率；（）用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求的分布列和数学的.则由于每题答题结果相互独立，因此 （）由题意，随机变量的可能取值为：.由于每题答题结果相互独立，所以.因此 随机变量的分布列为 所以 .【命题意图】本题考查了相互独立事件同时发生的概率、考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望的知识，考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力。（1）利用相互独立事件的概率公式与对立事件的公式求解。（2）列出随机变量所有可能的取值，然后求其概率，列出分布列，求其期望。【方法总结】求离散型随机变量分布列和期望时要注意两个问题:一是求出随机变量所有可能的值;二是求出取每一个值时的概率。求随机数列的分布列，关键是概率类型的确定与转化。（21）（本小题满分12分）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.（）求椭圆和双曲线的标准方程；（）设直线、的斜率分别为、，证明；（）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.由题意设等轴双曲线的标准方程为，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点。所以m=2，由韦达定理得.所以 ，同理可得.则 ，又 ，所以 .故 因此 存在，使恒成立.【命题意图】：本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力， （1）利用椭圆定义与离心率公式求出a、b的值，椭圆与双曲线方程即可求出；（2）设出p 点的坐标，写出直线的斜率、的乘积，与双曲线方程联立可证；（3） 设出直线ab的方程，与椭圆方程联立，借助于韦达定理求出有关线段的长度，即可求出的值。【方法提炼】解决此类问题时既要利用圆锥曲线的概念、性质，又要结合图形，利用平面几何的性质。对于直线与圆锥曲线的相交问题，一般考虑把直线方程与圆锥曲线方程联立组成方程组，通过消去一个未知数，得到一元二次方程，利用韦达定理、纵坐标的关系式、并结合中点坐标公式、斜率公式、弦长公式以及已知条件等解决问题。 (22)(本小题满分14分)已知函数.()当时，讨论的单调性；（）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.所以 当时，此时，函数单调递减； 当时，此时，函数单调递增. (2) 当时，由， 即 ，解得 当时，恒成立，此时，函数 在上单调递减； 当， 时，此时，函数单调递减； 时，此时，函数 单调递增； 时，此时，函数单调递减； 当时，由于， ，,此时，函数 单调递减； 时，此时，函数单调递增.（）因为a=，由（）知，=1，=3，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以在（0，2）上的最小值为。由于“对任意，存在，使”等价于“在上的最小值不大于在（0,2）上的最小值”（*）又=，所以当时，因为，此时与（*）矛盾当时，因为，同样与（*）矛盾当时，因为，解不等式8-4b，可得综上，b的取值范围是。【命题意图】：本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。（1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出在闭区间1,2上的最大值，然后解不等式求参数。【方法提炼】利用导数的工具研究函数的性质，不仅体现教材改革的一种理念，也是初等数学和高等数学一个很好的衔接点，该题解法中应用到函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与化归的思想都是考试说明要求较高的思想方法，达到了知识内容考查和思想方法考查相结合的目的。以函数为背景，以导数为工具，在函数、不等式及解析几何等知识网络交汇点命题，已成为高考的热点问题。 =又 函数图像过点所以 即 又 所以 （）由（）知，将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，可知因为 ，所以 ，（）因为 =2n+1, 所以 -1=4n(n+1) 因此=（） 故 = =（） = =所以数列的前n项和=（19）本小题主要考察空间中的基本关系，考察线面垂直、面面垂直的判定以及线面角和集合体体积的计算，考查识图能力、空间想象力和逻辑推理能力，满分12分（）证明：在abc中，因为abc=45，bc=4，ab=，所以ac2=ab+bc2-2abbccos45=8因此 ac=，故bc2=ac2+ab2,所以bac=90-又pa平面abcde，abcd，所以cdpa,cdac,又 pa,ac 平面pac,且paac=a，所以 cdpac,又 cd平面pcd，所以 平面pcd平面pac-（）解法一： 因为 pab是等腰三角形， 所以 pa=ab=， 因此 , 又 abcd， 所以点b到平面pcd的距离等于点a到平面pcd的距离。 由于cd平面pac，在rtpac中，pa=,ac=, 所以pc=4， 故 pc边上的高为2，此即为点a到平面pcd的距离， 所以b到平面pcd的距离为h=2设直线pb与平面pcd所成的角为，则,又 ，所以 解法二：由（）知ab,ac,ap两两相互垂直，分别以ab、ac、ap为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于pab是等腰三角形，所以 pa=ab=,又