普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（四川卷）（解析版）.doc

绝密启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数 学(理工类)参考公式：如果事件a、b互斥，那么 球的表面积公式 p(a+b) =p(a)+p(b) 如果事件a、b相互独立，那么 其中r表示球的半径 p(ab)=p(a)p(b) 球的体积公式如果事件a在一次试验中发生的概率是p，那么 在n次独立重复试验中事件a恰好发生k次的概率 其中r表示球的半径第一部分（选择题 共60分）注意事项：1.选择题必须使用2b铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上。2.本部分共12小题，每小题5分，共60分。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：11.5，15.5) 2 15.5,19.5) 4 19.5，235) 9 23.5,27.5) 18 27.5，31.5) 1l 31.5，35.5) 12 35.539.5) 7 39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在31.5，43.5)的概率约是 (a) (b) (c) （d）答案：b解析：落在31.5，43.5) 频数共有12+7+3=22个,所以。2.复数=(a) （b） （c）0 （d）答案：a解析：3.，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 (a)， （b）， (c) ，共面 （d），共点，共面答案：b解析：若，则,有三种位置关系，可能平行、相交或异面，故a不对.虽然，或，共点，但是，可能共面，也可能不共面，故c、d也不正确.4.如图，正六边形abcdef中，=(a) (b) (c) (d) 答案：d解析：5.函数在点处有定义是在点处连续的 (a)充分而不必要的条件 (b)必要而不充分的条件 (c)充要条件 (d)既不充分也不必要的条件答案：b解析：在点处有定义但在点处不一定连续, 在点处连续一定有定义,故函数在点处有定义是在点处连续的必要而不充分的条件.6. 在abc中，则a的取值范围是 （a）（b） （c）（d）答案：c解析：由题意得：,.7已知是r上的奇函数，且当时，则的反函数的图像大致是答案：a解析：由反函数的性质原函数的值域是反函数的定义域, 原函数的定义域是反函数的值域. 当时，则,故选a.8.数列的首项为，为等差数列且。若则，则（a）0 （b）3 （c）8 （d）11答案：b解析：由 为等差数列, 且，得，则,由叠加法得(-)+(-)+(-)=0.则=3.9.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车。某天需运往地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次。派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元。该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润（a）4650元 （b）4700元 （c）4900元 （d）5000元答案：c解析：由题意设当天派辆甲型卡车，辆乙型卡车，则利润，约束条件为,画出可行域知：由确定的交点为最优解。把代入目标函数得.10.在抛物线上取横坐标为，的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为（a） （b） （c） （d）答案：a解析：设抛物线上横坐标为、的点为、，则，由，故切点为，切线方程为，又因为该直线又和圆相切，所以，解得或（舍去），故抛物线方程为，顶点坐标为，选a11.已知定义在上的函数满足，当时，.设在上的最大值为，且的前项和为，则（a）3 （b） （c）2 （d）答案：d解析：由题意,在上，所以12.在集合中任取一个偶数和一个奇数构成以原点为起点的向量.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为，其中面积不超过的平行四边形的个数为，则（a） （b） （c） （d）答案：d解析：基本事件：从中选取两个知.其中面积为2的平行四边形有：；其中面积为4的平行四边形有：；故m=3+2=5，故. 第二部分（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.计算 。答案：解析：14.双曲线上一点p到双曲线右焦点的距离是4，那么点p到左准线的距离是 。答案：解析：易知，点显然在双曲线右支上，点到左焦点的距离为14，所以 15.如图，半径为r的球o中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 。答案：解析：时，取最大值时，则.16.函数的定义域为a，若时总有为单函数.例如，函数是单函数.下列命题： 函数是单函数； 若为单函数， 若为单函数，则对于任意bb，它至多有一个原象； 函数在某区间上具有单调性，则一定是单函数。其中的真命题是 。（写出所有真命题的编号）答案：解析 ：中有=，但-22,则不正确；与“若时总有”等价的命题是“若时总有”，故正确；函数在某区间上具有单调性，但在整个定义域不一定是单函数，则不正确。三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题共l2分） 已知函数（）求的最小正周期和最小值；（）已知，求证：。解析：(i)6分（ii）两式相加得：12分18、(本小题共12分)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时。（）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；（）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望；解析：（）所付费用相同即为元。付0元的概率为，付2元的概率为，付4元的概率为则所付费用相同的概率为 4分（）设甲，乙两个所付的费用之和为，可能取的值有甲、乙两人所付的租车费用之和的分布列为：所以随机变量的期望12分19(本小题共l2分) 如图，在直三棱柱abc-a1b1c1中bac=90，ab=ac=aa1=1d是棱cc1上的一点，p是ad的延长线与a1c1的延长线的交点，且pb1平面bda。(i) 求证：cd=c1d；(ii) 求二面角a-a1d-b的平面角的余弦值；() 求点c到平面b1dp的距离。本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决问题的能力解法一：（）连结ab1与ba1交于点o，连结od， pb1平面bda1，pb1面ab1p，平面ab1p平面bda1=od，odpb1又ao=b1o，ad=pd又acc1p，cd=c1d4分（）过a作aeda1于点e，连结bebaca，baaa1，且aa1ac=a，ba平面aa1c1c由三垂线定理可知beda1bea为二面角aa1db的平面角在rta1c1d中，又， 在rtbae中，故二面角aa1db的平面角的余弦值为8分（）由题意知，点c到平面b1dp的距离是点c到平面db1a的距离，设此距离为h，由已知可得，在等腰三角形ab1p中，又，故点c到平面b1dp的距离为12分解法二：如图，以a1为原点，a1b1，a1c1，a1a所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系a1b1c1a，则，（）设c1dx，acpc1，由此可得，设平面ba1d的一个法向量为，则令，则pb1平面ba1d，由此可得，故cd=c1d4分（）由（）知，平面ba1d的一个法向量又为平面aa1d的一个法向量故二面角aa1db的平面角的余弦值为8分（），设平面b1dp的一个法向量，则 令，可得又，点c到平面b1dp的距离12分20(本小题共12分) 设为非零实数，.(i)写出并判断是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；(ii)设，求数列的前n项和。解析：本小题考查等比数列和组合数的基础知识以及基本的运算能力，分析问题、解决问题的能力和化归与转化等数学思想（）由已知可得，当，时，因此由此可见，当时，故是以为首项，为公比的等比数列；当时，（），不是等比数列7分（）由（）可知，从而， 当时，当时，两边同乘以得 ，式相减可得：化简即得综上，12分21(本小题共l2分) 椭圆有两顶点a(-1，0)、b(1，0)，过其焦点f(0，1)的直线l与椭圆交于c、d两点，并与x轴交于点p直线ac与直线bd交于点q。 (i)当|cd | = 时，求直线l的方程； (ii)当点p异于a、b两点时，求证： 为定值。解析：本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力（）因椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为，由已知得，所以，则椭圆方程为直线垂直于x轴时与题意不符设直线的方程为，联立得，设，则，由已知得，解得，所以直线的方程为或6分（）直线垂直于x轴时与题意不符设直线的方程为（且），所以p点的坐标为设，由（）知，直线ac的方程为：，直线bd的方程为：，方法一：联立方程设，解得，不妨设，则因此q点的坐标为，又，故为定值12分方法二：联立方程消去y得，因为，所以与异号又，与异号，与同号，解得因此q点的坐标为，又，故为定值12分22(本小题共l4分) 已知函数。(i)设函数，求的单调区间与极值；()设，解关于的方程 ()试比较与的大小。解析：本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基本知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、特殊与一般等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力解：（）由（）知，