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2015年全国高中数学联赛模拟试卷（8） 姓名_ 第 一 试一.填空题（每小题8分，共64分）1. 若二次函数，且 满足条件，且.则最小的实数为_.2. 设，关于的方程的四个实根构成以为公比的等比数列.若，则的取值范围是_.3. 函数的值域是_.4. 用六种不同的颜料给正方体的六个面染色，使不同的面染上不同的颜色.若将正方体翻转之后与已经出现的某种染色方案一样，则应认为是同一种染法.那么，不同的染法共有_种.5. 设是整数.则抛物线与直线所包围的整点的个数为_.6. 设数列满足.则的通项公式为_.7. 已知为非负整数，满足.则的最大值为_.8. 设是质数，表示不超过实数的最大整数.则_.二.解答题（共56分）9.（16分）设椭圆，为椭圆上一点.问：是否存在椭圆上的两点，使为等腰直角三角形，且，直线不与轴平行？如果存在，求出一组的坐标；如果不存在，说明理由.10.（20分）求证：.11.（20分）设数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）令，数列的前项和为，求证：当且时， .第 二 试一.（40分）以锐角的边为直径作圆，分别与边交于点，直线与交于点，又分别为外接圆的圆心.求证：.二.（40分）在区间上任意地插入2010个分点，满足.记.（1）证明：存在正常数，使；（2）求最小正数，使得（1）中的不等式对满足题设条件的一切都成立.三.（50分）已知为凸边形.将的条对角线染成绿色，另条对角线染成红色，使得任何两条同色对角线不在内部相交.试求内部红绿对角线交点个数的最大值.四.（50分）求所有的非负整数，使.2015年全国
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