高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用 1.7.2 定积分在物理中的应用课件 新人教A版选修22.ppt

1 7 2定积分在物理中的应用 类型一求变速直线运动的路程 典例1 1 物体a的运动速度v与时间t之间的关系为v 2t 1 v的单位是m s t的单位是s 物体b的运动速度v与时间t之间的关系为v 1 8t 两个物体在相距为405m的同一直线上同时相向运动 则它们相遇时 a物体的运动路程为 2 2017 漳州高二检测 有一动点p沿x轴运动 在时间t时的速度为v t 8t 2t2 速度的正方向与x轴正方向一致 求 点p从原点出发 当t 6时 点p离开原点的路程和位移 解题指南 1 本题是一个相遇问题 两个物体运动的总路程是知道的 我们只需要对时间t进行积分 相加列方程求解出时间 即可求出a物体的运动路程 解析 1 依题意 2t 1 dt 1 8t dt 405 即 t2 t t 4t2 5t2 405 解得t 9 所以a物体的运动路程为 t2 t 72 m 答案 72m 2 由v t 8t 2t2 0 得0 t 4 即当0 t 4时 p点向x轴正方向运动 当t 4时 p点向x轴负方向运动 故t 6时 点p离开原点的路程为 当t 6时 点p的位移为 延伸探究 1 在本例 2 题设条件不变的情况下 求p从原点出发 经过时间t后又返回原点时的t值 解析 依题意 8t 2t2 dt 0 即4t2 t3 0 解得t 0或t 6 t 0对应于p点刚开始从原点出发的情况 t 6是所求的值 2 若将本例 2 中条件 v t 8t 2t2 改为 v t 4 t2 其他条件不变 结果如何 解析 由v t 4 t2 0 得0 t 2 当0 t 2时 p点向x轴正方向运动 当t 2时 点p向x轴负方向运动 当t 6时 点p离开原点的路程为 当t 6时 点p的位移为 方法总结 变速直线运动的路程或位移的求法步骤 1 确定所求时间段上的速度函数 2 解不等式v t 0 v t 0确定积分区间 3 确定所求的是路程还是位移 4 用定积分表示相应的路程或位移 5 通过定积分的运算得出结论 补偿训练 一辆做变速直线运动的汽车开始以速度v t2 4t 3 m s 运动 求 1 在t 4s时的位置 2 在t 4s时运动的路程 解析 1 在t 4s时该点的位移为即在t 4s时该点距出发点m 2 因为v t t2 4t 3 t 1 t 3 所以在区间 0 1 及 3 4 上 v t 0 在区间 1 3 上 v t 0 所以在t 4s时的路程为 类型二求变力做功 典例2 1 在底面积为s的圆柱形容器中盛有一定量的气体 在等温条件下 由于气体的膨胀 把容器中的一个活塞 面积为s 从点a处推到点b处 计算在移动过程中 气体压力所做的功 2 一物体以速度v t 2t2 m s 做直线运动 媒质的阻力f n 与速度v m s 的关系为f 0 7v2 试求在时刻t 0 s 到t 2 s 这段时间内阻力做的功 解题指南 1 力f对物体所做的功w f s 求出变力表达式 再进行计算 2 先计算媒质的阻力 再利用积分的物理意义求出在时刻t 0 s 到t 2 s 这段时间内阻力做的功 解析 1 由物理学知识易得 压强p与体积v的乘积是常数k 即pv k 因为v xs x指活塞与底的距离 所以所以作用在活塞上的力所以所做的功 2 媒质的阻力为f 0 7v2 2 8t4 取一小段时间 t t t 这一小段时间内阻力做的功为 w fv t 所以在时刻t 0 s 到t 2 s 这段时间内阻力做的功为 答 在时刻t 0 s 到t 2 s 这段时间内阻力做的功为102 4j 方法总结 求变力做功的方法 1 求变力做功 要根据物理学的实际意义 求出变力f的表达式 2 由功的物理意义知 物体在变力f x 的作用下 沿力f x 的方向做直线运动 使物体从x a移动到x b a b 因此求功之前还应求出位移的起始位置与终止位置 巩固训练 一物体按规律x bt2做直线运动 式中x为时间t内通过的距离 媒质的阻力与速度成正比 试求物体由x 0运动到x a时 阻力所做的功的大小 解析 物体的速度v bt2 2bt 媒质阻力fzu kv 2kbt 其中k为比例常数 k 0 当x 0时 t 0 当x a时 t t1 又dx vdt 故阻力所做的功为 补偿训练 在原点o有一个带电量为 q的电荷 它所产生的电场对周围的电荷有作用力 现有一个单位正电荷从距o点a处沿着射线方向移至距o点为b a b 的位置 求电场力做的功 解析 取电荷移动的射线方向为x轴的正方向 那么电场力为f k k为常数 这是一个变力 在 x x x 上 显然 w x 所以 课堂小结 1 知识总结 2 方法总结 1 做变速直线