《离中趋势测量法》PPT课件.ppt

第五章离中趋势测量法 离中趋势是指变量数列中变量值之间的差异程度或离散程度 本章重点 1 平均差2 方差与标准差3 离散系数本章难点 1 方差与标准差2 是非标志的方差 第一节变异指标的概念和作用 一 变异指标的概念 变异指标又称标志变动度 是反映总体各单位标志值之间差异程度的综合指标 二 变异指标的作用 1 是衡量平均指标代表性的尺度 FJ5 1 2 可用来研究现象的稳定性和均衡性3 在抽样调查和相关分析中有着重要作用 第二节变异指标的种类和计算 变异指标如按数量关系来分有以下两类 凡用绝对数来表达的变异指标 统称绝对离势 凡用相对数来表达的变异指标 统称相对离势 主要有极差 平均差 四分位差 标准差等 主要有异众比率 标准差系数 平均差系数和一些常用的偏态系数 常用的变异指标有全距 平均差 标准差和变异系数等几种 一 全距 全距是测量变异度的一种粗略方法 它计算简单 容易理解 但受极端值影响大 不能准确反映全部数据的实际离散程度 全距又称极差 是指一个变量数列中的最大值与最小值之差 一般用R表示 二 四分位差 四分位差就是第三四分位数和第一四分位数之差的二分之一 用Q D表示 即Q D Q3 Q1 2 四分位距就是第三四分位数和第一四分位数之差 用于测定中间50 部分的距离为多少 即IQR Q3 Q1 仍用前一章计算四分位数的例子求四分位差 可得 三 平均差平均差是各个标志值与其算术平均数离差绝对值的算术平均数 平均离差 一般用AD表示 它反映标志值与其算术平均数之间的平均差异 在统计中 把总体中各个标志值与其算术平均数之差 叫做离差 离差总和等于零 即 简单平均差在资料未分组时 平均差采用简单平均法计算 其计算公式为 5 1 例1 有两个参赛篮球队队员身高 单位 cm 如下 甲队 185191195202217乙队 190197199200204以上述资料为例 计算简单平均差 FJ5 2 加权平均差在资料已经分组时 平均差采用加权平均法计算 其计算公式为 5 2 FJ5 3 四 方差与标准差 总体方差 简称方差 就是各个标志值与其算术平均数离差平方的算术平均数 一般用符号表示 其计算公式为 一 方差 5 3 5 4 二 标准差 标准差 又称均方差 是指各变量值与其算术平均数离差平方的算术平均数的正平方根 标准差就是方差的正平方根 记作 标准差的计量单位与数据原来的计量单位相同 这样一来 标准差就很容易与平均数以及其他有相同计量单位的统计指标进行比较 简单标准差 对于未分组资料计算标准差时可采用简单法 其计算公式为 5 5 例3 仍以例1的资料为例说明简单标准差的计算 见表5 3 FJ5 4 加权标准差按照分组资料 变量数列 计算标准差时可采用加权法 由组距数列计算标准差时 还应先求出组中值 开口组的组中值以邻近组的组距确定 再按加权法计算 其计算公式为 5 6 例4 仍以例2的资料为例说明加权标准差的计算 见表5 4 FJ5 5 在实际应用中 标准差和方差的计算可采用下列简单公式计算 在资料未分组时 简单公式为 5 7a 5 7b 5 8a 5 8b 证明 同理可证 依据分组资料计算标准差和方差的简单计算公式为 5 9a 5 9b 5 10a 5 10b 如果用以上5 7a至5 10a计算标准差或方差 可以不必先求出 直接按各个标志值计算 从而避免因计算平均数值四舍五入引起的舍入误差 简捷法的计算公式为 5 11a 5 11b 5 11c 三 方差和标准差的性质 方差和标准差具有以下主要的数学性质 变量数列的方差等于其变量值平方的平均数减去平均数的平方 即 由于离差平方和为最小值 故据此求得的方差小于各变量值对其他任意数的方差 即 C为任意常数 a b为常数 那么 方差的分解定理 加法定理 一个分组数列的总方差等于其各组组内方差的平均数与其组间方差之和 即 例5 某班50名学生考试数学 其中女同学20名 平均成绩82分 标准差为12 4分 男同学30名 平均成绩78 8分 标准差15 6分 试确定全班同学的总平均成绩 方差和标准差 四 标准分标准分是离差与标准差的比值 即 5 12 标准分有三个特性 Z是和X一一对应的变量值 Z分数没有单位 是一个不受原资料单位影响的相对数 因而可以用于不同单位资料的比较 Z分数实际表达了变量值距总体均值有几个标准差 标准分可以为正 负或零值 它的含义是以平均数为标准 以标准差为单位表示一个数据在团体中的相对位置 Z分数的数学性质 Z分数之和等于零 因为 Z分数的算术平均数等于零 因为 Z分数的标准差等于1 Z分数的方差也等于1 因为 Z分数的方差 1 5 15b 五 是非标志与成数 成数就是总体中具有某种属性的单位数占全部单位数的比重 一般用英文字母p或q表示 是非标志是指能将统计总体的全部单位划分为具有某种属性和不具有某种属性的两组的分组标志 设全部总体单位数为N 其中具有某种属性的单位数为N1 成数 比重 用p表示 不具有某种属性的单位数为N0 成数 比重 用q表示 那么 一般地 具有某种属性的标志表现用 1 表示 不具有某种属性的标志表现用 0 表示 那么 数量化后的是非标志的次数分布如表5 5所示 表5 5数量化后的是非标志的次数分布表 根据平均数和方差的定义 则有 由此可见 成数的平均数就是该成数本身 是一种特殊的平均数 成数的方差等于总体中具有某种属性特征的成数与不具有某种属性特征的成数的乘积 成数的标准差等于总体中具有某种属性特征的成数与不具有某种属性特征的成数乘积的算术平方根 例6 某种产品2000件中有100件不合格 则合格率为95 也就是平均合格率为95 平均不合格率为5 那么合格率 或不合格率 的方差 标准差分别为 由于成数p总是大于0小于1 从成数方差的计算公式可知 成数方差的最小值为0 即p 0或p 1时 最大值为0 25 即p 0 5时 此时成数的标准差是0 5 五 相对离势 一 变异系数 变异系数又称离散系数 是各种变异指标 全距 平均差 标准差 与其算术平均数的比率 一般用符号V表示 它是反映总体中标志值相对差异程度的指标 是一个无名数 常用的变异系数有三种 即全距系数 平均差系数和标准差系数 而其中以标准差系数的应用最为普遍 相应的计算公式为 例7 甲 乙两班学生的学科考试成绩情况为 百分制 五分制 试比较甲 乙两班考试平均成绩的代表性 由标准差系数计算的结果可以判定 甲班学生考试平均成绩的代表性高于乙班 二 偏度与峰度1 偏度偏度又称偏态 是指变量数列中次数分布的非对称程度 如果次数分布是完全对称的 称为对称分布 如果不是完全对称的 则称偏态分布 一般来说有以下几种情形 当 Me Mo时 右偏分布 当 Me Mo时 左偏分布 次数分布偏态的测定方法主要有两种 算术平均数与众数比较法这种方法是利用算术平均数 中位数 众数之间的关系测定偏态的一种方法 动差法 动差具体可以分为原点动差和中心动差两大类 在统计中 动差是表示数列中各变量值 x 对特定值 a 的k k 1 2 3 4 次方的算术平均数 称为变量x关于a的k阶动差 其定义公式为 当a 0时 即变量以原点为中心 上式则转变为原点k阶动差 将a 0 k 1 2 3 4代入上式 则可得到 很明显 一阶原点动差就是x的算术平均数 当a 时 即变量以算术平均数为中心 上式则转变为中心k阶动差 公式为 将k 1 2 3 4代入中心动差公式 则可得到一阶中心动差为0 二阶中心动差为方差 三阶中心动差和四阶中心动差分别为 在中心k阶动差中 任何离差经过偶次方 皆为正值 汇总时不会抵消 因而 在对称分布中 任何离差经过奇次方后 都可以互相抵消 因此 利用这种关系可以测定次数分布的非对称程度 2 峰度峰度又称峰态 是次数分布曲线顶端的尖峭程度 峰度通常有三种 正态峰度 又称常态峰 尖顶峰度 又称高狭峰 平顶峰度 又称低阔峰 峰度的测定 通常用四阶中心动差M4除以 根据经验 有下列判断准则