2012年永春一中自主招生考试数学试卷压轴题.doc

2012年永春一中自主招生考试数学试卷压轴题如图，已知点A的坐标是（-1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作O，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线（1）求点C的坐标及抛物线的解析式；（2）点E是AC延长线上一点，BCE的平分线CD交O于点D，求点D的坐标；并直接写出直线BC、直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得PDB=CBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由 考点：二次函数综合题分析：（1）已知了A、B两点的坐标即可得出OA、OB的长，在直角三角形ACB中由于OCAB，因此可用射影定理求出OC的长，即可得出C点的坐标然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）本题的关键是得出D点的坐标，CD平分BCE，如果连接OD，那么根据圆周角定理即可得出DOB=2BCD=BCE=90由此可得出D的坐标为（4，-5）根据B、D两点的坐标即可用待定系数法求出直线BD的解析式；（3）本题要分两种情况进行讨论：过D作DPBC，交D点右侧的抛物线于P，此时PDB=CBD，可先用待定系数法求出直线BC的解析式，然后根据BC与DP平行，那么直线DP的斜率与直线BC的斜率相同，因此可根据D的坐标求出DP的解析式，然后联立直线DP的解析式和抛物线的解析式即可求出交点坐标，然后将不合题意的舍去即可得出符合条件的P点同的思路类似，先作与CBD相等的角：在OB上取一点N，使BN=BM可通过证NBDMDB，得出NDB=CBD，然后同的方法一样，先求直线DN的解析式，进而可求出其与抛物线的交点即P点的坐标综上所述可求出符合条件的P点的值解：（1）以AB为直径作O，交y轴的负半轴于点C，OCA+OCB=90，又OCB+OBC=90，OCA=OBC，又AOC=COB=90，AOCCOB，又A（-1，0），B（9，0），解得OC=3（负值舍去）C（0，-3），故设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-9），-3=a（0+1）（0-9），解得a= ，二次函数的解析式为y= （x+1）（x-9），即y= x2- x-3（2）AB为O的直径，且A（-1，0），B（9，0），OO=4，O（4，0），点E是AC延长线上一点，BCE的平分线CD交O于点D，BCD= BCE= 90=45，连接OD交BC于点M，则BOD=2BCD=245=90，OO=4，OD= AB=5ODx轴 D（4，-5）设直线BD的解析式为y=kx+b， 解得直线BD的解析式为y=x-9C（0，-3），设直线BC的解析式为：y=ax+b，解得：，直线BC的解析式为：y=- x-3（3）假设在抛物线上存在点P，使得PDB=CBD，解法一：设射线DP交O于点Q，则 = 分两种情况（如图所示）：O（4，0），D（4，-5），B（9，0），C（0，-3）把点C、D绕点O逆时针旋转90，使点D与点B重合，则点C与点Q1重合，因此，点Q1（7，-4）符合 = ，D（4，-5），Q1（7，-4），用待定系数法可求出直线DQ1解析式为y=x-解方程组得 X1= X2= Y1= Y2= 点P1坐标为（ ，），坐标为（ ，）不符合题意，舍去Q1（7，-4），点Q1关于x轴对称的点的坐标为Q2（7，4）也符合= D（4，-5），Q2（7，4）用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=3x-17解方程组 得，即点P2坐标为（14，25），坐标为（3，-8）不符合题意，舍去符合条件的点P有两个：P1（ ，），P2（14，25）解法二：分两种情况（如图所示）：当DP1CB时，能使PDB=CBDB（9，0），C（0，-3）用待定系数法可求出直线BC解析式为y=x-3又DP1CB，设直线DP1的解析式为y=x+n把D（4，-5）代入可求n=-，直线DP1解析式为y=x-解方程组得 X1= X2= Y1= Y2= 点P1坐标为（ ，），坐标为（ ，）不符合题意，舍去点P1坐标为（ ，）或（ ，）（不符合题意舍去）在线段OB上取一点N，使BN=DM时，得NBDMDB（SAS），NDB=CBD由知，直线BC解析式为y= x-3取x=4，得y=- ，M（4，- ），ON=OM= ，N（ ，0），又D（4，-5），直线DN解析式为y=3x-17解方程组 得 ，点P2坐标为（14，25），坐标为（3，-8）不符合题意，舍去符合条件的点P有两个：P1（ ，），P2（14，25）解法三：分两种情况（如图所示）：求点P1坐标同解法二过C点作BD的平行线，交圆O于G，此时，GDB=GCB=CBD由（2）题知直线BD的解析式为y=x-9，又C（0，-3）可求得CG的解析式为y=x-3，设G（m，m-3），作GHx轴交于x轴与H，连接OG，在RtOGH中，利用勾股定理可得，m=7，由D（4，-5）与G（7，4）可得，DG的解析式为y=3x-17，解方程组得 ，即点P2坐标为（14，25），坐标为（3，-8