高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.2 空间向量的运算 2.2.2 空间向量的数量积课件 北师大版选修21.ppt

2 2 2空间向量的数量积 一 二 思考辨析 一 空间向量的数量积 一 二 思考辨析 名师点拨对于空间向量的数量积 我们可以从以下几个方面理解 1 向量a b的数量积记为a b 而不能表示为a b或ab 2 向量的数量积的结果为实数 而不是向量 其符号由夹角 的余弦值的符号决定 当 为锐角时 a b 0 但当a b 0时 不一定是锐角 因为 也可能为0 当 为钝角时 a b 0 但当a b 0时 不一定是钝角 因为 也可能为 一 二 思考辨析 做一做 1 已知两空间向量a b的夹角为30 且 a 3 b 4 则a b 一 二 思考辨析 二 空间向量数量积的运算律与几个结论 特别提醒当a 0时 由a b 0不能推出b一定是零向量 这是因为对于任意一个与a垂直的非零向量b 都有a b 0 一 二 思考辨析 判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 两个向量a b的数量积的结果仍为向量 3 若a b c是空间向量 则 a b c a b c 4 若a b c是空间向量 且a b a c 则b c 探究一 探究二 探究三 空间向量的数量积 例1 如图 已知四面体a bcd的每条棱长都等于a 点e f g分别是ab ad dc的中点 求下列向量的数量积 思维点拨 因为四面体a bcd的每条棱长都等于a 所以 abc 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 解 1 在四面体a bcd中 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 反思感悟求两个向量的数量积时 一般要先保证向量之间的夹角已知或可求 最好是特殊角 再利用定义求解 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 变式训练1已知棱长为a的正方体abcd a1b1c1d1 ac1与bd1交于点o 则有 答案 c 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 利用数量积求距离问题 例2 如图 在平行四边形abcd中 ab ac 1 acd 90 将 acd沿对角线ac折起 使ab与cd成60 求b d间的距离 思维点拨 画出立体图 结合已知条件用长度与夹角均已知的向 角及其模均易知 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 解 如图 acd 90 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 反思感悟求两点间的距离或线段长度的方法 1 将此线段用向量表示 2 用其他已知夹角和模的向量表示该向量 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 变式训练2如图 四棱柱abcd a1b1c1d1的底面abcd是矩形 ab 4 ad 3 aa1 5 baa1 daa1 60 求ac1的长 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 利用数量积求夹角问题 例3 如图 在四面体o abc中 oa 8 ab 6 ac 4 bc 5 oac 45 oab 60 求直线oa与bc夹角的余弦值 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 反思感悟两个非零向量夹角求法的两个途径1 转化求角 把向量夹角转化为平面几何中的对应角 利用解三角形的知识求解 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 变式训练3如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 求异面直线a1b与ac所成角的大小 异面直线a1b与ac成60 角 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 判断或证明垂直 例4 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd为平行四边形 dab 60 ab 2ad pd 底面abcd 证明 pa bd 证明 由底面abcd为平行四边形 dab 60 ab 2ad知 da bd 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 反思感悟利用向量数量积判断或证明线面垂直的思路1 由数量积的性质a b a b 0可知 要证两直线垂直 可构造与两直线分别平行的向量 a b是非零向量 只要证明这两个向量的数量积为0即可 2 用向量法证明线面垂直 离不开线面垂直的判定定理 需将线面垂直转化为线线垂直 然后利用向量法证明线线垂直即可 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 变式训练4如图 已知在四面体a bcd中 ab cd ac bd 求证 ad bc 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 因对两向量夹角的定义理解不透彻而致误 典例 如图 在四面体a bcd中 每条边的长度和两条对角线的长度都等于1 m n分别为ab ad的中点 求 纠错心得向量的夹角定义中 必须把两向量移至共起点 如图所示 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 解析 由勾股定理 知ab bc 答案 25 12345 1 如图 已知四边形abcd为矩形 pa 平面abcd 连接ac bd pb pc pd 则下列各组向量中数量积可能不为零的是 解析 结合图分析可知 选项b c d中两向量的夹角均为90 数量积都为0 答案 a 12345 2 已知向量a b c两两之间的夹角都为60 其模都为1 则 a b 2c 等于 解析 a b 2c 2 a2 b2 4c2 2a b 4a c 4b c 1 1 4 2cos60 5 a b 2c 答案 a 12345 0 则 abc是 a 直角三角形b 等腰三角形c 等腰直角三角形d 等边三角形 答案 b 12345 4 如图 在四面体s abc中 各