高中数学 第二章 统计 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征课件 新人教A版必修3(1).ppt

2 2 2用样本的数字特征估计总体的数字特征 一 众数 中位数和平均数 问题思考 1 众数是如何定义的 有什么特点 举例加以说明 提示定义 在一组数据中 出现次数最多的数据叫做这组数据的众数 特点 1 众数是这组数据中出现次数最多的数 2 众数可以有一个或多个 如一组数据 2 2 3 4 4 5 5 6 7 8的众数为2 4 5 2 中位数是如何定义的 有什么特点 举例加以说明 提示定义 将一组数据按大小依次排列 把处在最中间位置的一个数据 或最中间两个数据的平均数 叫做这组数据的中位数 特点 1 排序后找中位数 2 中位数只有一个 3 中位数不一定是这组数据中的数 如一组数据 2 2 3 4 4 5 5 6 7 8的中位数为 4 5 4 5 3 平均数是如何定义的 提示定义 如果有n个数x1 x2 x3 xn 那么 x1 x2 xn 叫这n个数的平均数 二 众数 中位数和平均数的几何意义 问题思考 1 如何在样本数据的频率分布直方图中 估计出众数的值 你能利用在上一节中调查的100位居民的月均用水量的频率分布直方图加以说明吗 提示众数大致的值就是样本数据的频率分布直方图中最高矩形的中点的横坐标 从上一节中调查的100位居民的月均用水量的频率分布直方图可以看出 月均用水量的众数估计是2 25t 如图所示 2 如何在样本数据的频率分布直方图中 估计出中位数的值 你能利用在上一节中调查的100位居民的月均用水量的频率分布直方图加以说明吗 提示在样本中 有50 的个体小于或等于中位数 也有50 的个体大于或等于中位数 因此 在频率分布直方图中 中位数左边和右边的直方图的面积应该相等 由此可以估计中位数的值 下图中虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值 此数据值为2 02t 3 如何在样本数据的频率分布直方图中估计出平均数的值 提示平均数是频率分布直方图的 重心 是直方图的平衡点 因此 每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和即为平均数的估计值 4 根据众数 中位数 平均数各自的特点 你能分析它们对反映总体存在的不足之处吗 提示 1 众数体现了样本数据的最大集中点 但它对其他数据信息的忽视使其无法客观地反映总体特征 2 中位数是样本数据所占频率的等分线 它不受少数几个极端值的影响 这在某些情况下是优点 但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点 3 由于平均数与每一个样本的数据有关 所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变 这是众数 中位数都不具有的性质 也正因如此 与众数 中位数比较起来 平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息 但平均数受数据中的极端值的影响较大 使平均数在估计时可靠性降低 5 做一做1 10名工人某天生产同一零件 生产的件数是15 17 14 10 15 17 17 16 14 12 设其平均数为a 中位数为b 众数为c 则有 a a b cb b c ac c a bd c b a解析 将数据从小到大排列为10 12 14 14 15 15 16 17 17 17 则平均数a 10 12 14 2 15 2 16 17 3 14 7 中位数b 15 众数c 17 显然a b c 选d 答案 d6 做一做2 有一组数据 其中10 12 13 15 16出现的频率分别是0 15 0 2 0 3 0 2 0 15 则该组数据的平均数为 解析 该组数据的平均数为10 0 15 12 0 2 13 0 3 15 0 2 16 0 15 13 2 答案 13 2 三 标准差 问题思考 平均数向我们提供了样本数据的重要信息 但是 平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断 因为这个平均数掩盖了一些极端的情况 而这些极端情况显然是不能忽视的 因此 只有平均数还难以概括样本数据的实际状态 如 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次 每次命中的环数如下 甲 78795491074乙 9578768677如果你是教练 你应当如何对这次射击作出评价 1 甲 乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环 他们的平均成绩一样吗 2 难道这两个人的水平就没有什么差异了吗 你能作出这两人成绩的频率分布条形图来说明其水平差异在哪里吗 提示频率分布条形图如下 从图上可以直观地看出 他们的水平还是有差异的 甲成绩比较分散 乙成绩相对集中 3 对于甲 乙的射击成绩除了画出频率分布条形图比较外 还有没有其他方法来说明两组数据的分散程度 提示还经常用甲 乙的极差与平均数一起比较说明数据的分散程度 甲的环数极差 10 4 6 乙的环数极差 9 5 4 它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度 与平均数一起 可以给我们许多关于样本数据的信息 显然 极差对极端值非常敏感 注意到这一点 我们可以得到一种 去掉一个最高分 去掉一个最低分 的统计策略 4 如何用数字去刻画这种分散程度呢 提示考察样本数据的分散程度的大小 最常用的统计量是标准差 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离 一般用s表示 5 所谓 平均距离 其含义如何理解 四 方差 问题思考 1 人们有时用标准差的平方s2 方差来代替标准差 作为测量样本数据分散程度的工具 你能依据标准差的计算公式写出方差的计算公式吗 2 现实中的总体所包含的个体数往往是很多的 总体的平均数与标准差是不知道的 如何求得总体的平均数和标准差呢 提示通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差 这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的 只要样本的代表性好 这样做就是合理的 也是可以接受的 3 做一做3 在一次歌手大奖赛上 七位评委为歌手打出的分数如下 9 48 49 49 99 69 49 7去掉一个最高分和一个最低分后 所剩数据的平均值和方差分别为 a 9 4 0 484b 9 4 0 016c 9 5 0 04d 9 5 0 016解析 去掉9 9和8 4得一组数 9 4 9 4 9 6 9 4 9 7 答案 d 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 一组数据的众数可以是一个或几个 也可以没有 2 一组数据的中位数一定存在且是唯一的 3 样本容量越小 样本平均数越接近总体平均数 4 标准差 方差越大 数据的离散程度越大 标准差 方差越小 数据的离散程度越小 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思想方法 例1 某公司的33名人员的月工资如下 1 求该公司人员月工资的平均数 中位数 众数 精确到元 2 假设副董事长的工资从20000元提升到30000元 董事长的工资从30000元提升到50000元 那么新的平均数 中位数 众数又是什么 精确到元 3 你认为哪个统计量更能反映这个公司人员的工资水平 结合此问题谈一谈你的看法 分析平均数定义 计算平均数 将数据从小到大排列 得中位数 众数 结论 探究一 探究二 探究三 思想方法 解 1 平均数是 30000 20000 15000 2 10000 8000 5 6000 3 4500 20 33 7212 元 中位数是4500元 众数是4500元 2 平均数是 50000 30000 15000 2 10000 8000 5 6000 3 4500 20 33 8121 元 中位数是4500元 众数是4500元 3 在这个问题中 中位数和众数均能反映该公司人员的工资水平 因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大 这样导致平均数偏差较大 所以平均数不能反映这个公司人员的工资水平 探究一 探究二 探究三 思想方法 反思感悟1 深刻理解和把握平均数 中位数 众数在反映样本数据上的特点 并结合实际情况 灵活应用 2 如果样本平均数大于样本中位数 说明数据中存在许多较大的极端值 反之 说明数据中存在许多较小的极端值 在实际应用中 如果同时知道样本中位数和样本平均数 可以使我们了解样本数据中极端数据的信息 帮助我们作出决策 3 平均数对极端值敏感 而中位数对极端值不敏感 因此两者结合 可较好地分析总体的情况 探究一 探究二 探究三 思想方法 变式训练1某小区广场上有甲 乙两群市民正在进行晨练 两群市民的年龄如下 单位 岁 甲群13 13 14 15 15 15 15 16 17 17 乙群54 3 4 4 5 5 6 6 6 57 1 甲群市民年龄的平均数 中位数和众数各是多少岁 其中哪个统计量能较好反映甲群市民的年龄特征 2 乙群市民年龄的平均数 中位数和众数各是多少岁 其中哪个统计量能较好反映乙群市民的年龄特征 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 例2 甲 乙两机床同时加工直径为100cm的零件 为检验质量 各从中抽取6件测量 数据为 甲 9910098100100103乙 9910010299100100 1 分别计算两组数据的平均数及方差 2 根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定 分析求平均数 求 xi x 2 求方差s2 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 反思感悟1 在实际问题中 仅靠平均数不能完全反映问题 还要研究其偏离平均值的离散程度 即方差或标准差 方差大说明取值分散性大 数值不稳定 方差小说明取值分散性小 数值集中 稳定 2 关于统计的有关性质及规律 2 数据x1 x2 xn与数据x1 a x2 a xn a的方差相等 3 若x1 x2 xn的方差为s2 那么ax1 ax2 axn的方差为a2s2 探究一 探究二 探究三 思想方法 变式训练2对划艇运动员甲 乙在相同的条件下进行了6次测试 测得他们每次的最大速度 单位 m s 如下 甲 27 38 30 37 35 31乙 33 29 38 34 28 36根据以上数据 试判断他们谁更优秀 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 例3 某中学举行电脑知识竞赛 现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组 绘制成如图所示的频率分布直方图 已知图中从左到右的第一 二 三 四 五小组的频率分别是0 30 0 40 0 15 0 10 0 05 求 1 高一参赛学生的成绩的众数 中位数 2 高一参赛学生的平均成绩 分析根据样本的数字特征在频率分布直方图中的求法求解 探究一 探究二 探究三 思想方法 解 1 由图可知众数为65 第一个小矩形的面积为0 3 设中位数为60 x 则0 3 x 0 04 0 5 得x 5 中位数为60 5 65 2 依题意得 平均成绩为55 0 3 65 0 4 75 0 15 85 0 1 95 0 05 67 平均成绩约为67分 探究一 探究二 探究三 思想方法 反思感悟1 利用频率分布直方图估计众数 中位数和平均数 1 众数是最高的矩形的上底边的中点的横坐标 2 中位数左右两侧直方图的面积相等 3 平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 2 利用频率分布直方图求得的众数 中位数 平均数均为近似值 往往与实际数据得出的不一致 但它们能粗略估计其众数 中位数和平均数 探究一 探究二 探究三 思想方法 变式训练3为了调查某厂工人生产某种产品的能力 随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量 得到频率分布直方图如图所示 则 1 这20名工人一天生产该产品数量在 55 75 的人数是 2 这20名工人一天生产该产品数量的中位数为 3 这20名工人一天生产该产品数量的平均数为 探究一 探究二 探究三 思想方法 解析 1 0 040 10 0 025 10 20 13 2 设中位数为x 则0 2 x 55 0 04 0 5 解得x 62 5 3 0 2 50 0 4 60 0 25 70 0 1 80 0 05 90 64 答案 1 13 2 62 5 3 64 探究一 探究二 探究三 思想方法 数形结合思想在用样本估计总体中的应用 典例 参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分布的茎叶图1和频率分布直方图2均受到不同程度的破坏 但可见部分信息如下 据此解答如下问题 求参加数学抽测的人数n 抽测成绩的中位数及分数分布在 80 90 90 100 内的人数 探究一 探究二 探究三 思想方法 审题视角 茎叶图和频率分布直方图 分数在 50 60 内的频数与频率 参加数学抽测的人数n 由茎叶图得抽测成绩的中位数 由频率分布直方图得分数在 90 100 内的人数 分数在 80 90 之间的人数解 由茎叶图可以看出 分数在 50 60 内的频数为2 由频率分布直方图可以看出 分数在 50 60 内的频率为0 08 由由茎叶图可知抽测成绩的中位数为73 由频率分布直方图可以看出 分数在 90 100 内的同样有2人 所以分数在 80 90 之间的人数为25 2 7 10 2 4 所以参加数学抽测人数n为25 中位数为73 分数在 80 90 90 100 内的人数分别为4 2 探究一 探究二 探究三 思想方法 方法点睛由茎叶图 频率分布直方图估计样本的数字特征时二者可以相互借用 这对了解样本的信息很重要 探究一 探究二 探究三 思想方法 变式训练从高三年级抽出50名学生参加数学竞赛 统计成绩后得到如图所示的频率分布直方图 由于原数据丢失 试利用频率分布直方图求 1 这50名学生成绩的众数与中位数 2 这50名学生的平均成绩 探究一 探究二 探究三 思想方法 解 1 由众数的概念可知 众数是出现次数最多的数 在直方图中高度最高的矩形的中点的横坐标即为所求 所以众数应为75 由于中位数是所有数据的中间值 故在频率分布直方图中的体现是中位数的左右两边直方图的面积应相等 0 004 10 0 006 10 0 02 10 0 04 0 06 0 2 0 3 前三个小矩形面积的和为0 3 而第四个小矩形面积为0 03 10 0 3 0 3 0 3 0 5 中位数应位于第四个小矩形内 设其底边为x 高为0 03 令0 03x 0 2得x 6 7 故中位数约为70 6 7 76 7 探究一 探究二 探究三 思想方法 2 平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的