高中数学 第四章 导数应用 4.2 导数在实际问题中的应用 4.2.1 实际问题中导数的意义课件 北师大版选修11.ppt

4 2 1实际问题中导数的意义 1 利用实际问题巩固和加强对导数概念的理解 2 理解瞬时速度 边际成本等概念 并能利用导数解决有关实际问题 实际问题中导数的意义在日常生活和科学领域中 有许多需要用导数概念来理解的量 在物理学中 速度是路程关于时间的导数 线密度是质量关于线长的导数 功率是功关于时间的导数 加速度是速度关于时间的导数 在经济学中 边际成本是生产成本y关于产量x的函数y f x 的导函数 做一做 汽车经过启动 加速行驶 匀速行驶 减速行驶之后停车 把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数 其图像可能是 解析 开始启动 从原点开始 加速行驶 则路程的增加较快 匀速行驶 路程的增速是常数 减速行驶 路程的增速慢 故只有选项a合适 答案 a 题型一 题型二 题型三 题型四 导数在物理学中的意义 例1 某质点的运动方程为s s t 2t2 3t 其中s是位移 单位 m t是时间 单位 s 1 求当t从1s变到3s时 位移s关于时间t的平均变化率 并解释它的实际意义 2 求当s 1 s 2 并解释它们的实际意义 分析 1 套用公式即可求出平均变化率 即该质点在该段时间内的平均速度 2 求出导数s t 它表示t时刻该质点的瞬时速度 题型一 题型二 题型三 题型四 解 1 当t从1s变到3s时 它表示从t 1s到t 3s这段时间内 该质点平均每秒的位移是11m 2 由导数公式和导数的运算法则可得s t 4t 3 则s 1 4 3 7 m s s 2 4 2 3 11 m s s 1 表示的是该质点在t 1s时的瞬时速度 也就是该质点在t 1s这个时刻的瞬时速度为7m s s 2 表示的是该质点在t 2s时的瞬时速度 也就是该质点在t 2s这个时刻的瞬时速度为11m s 题型一 题型二 题型三 题型四 反思根据导数的实际意义 在物理学中 除了我们所熟悉的位移 速度与时间的关系 功 功率与时间的关系 还应了解质量关于体积的导数为密度 电荷量关于时间的导数为电流强度等 因此 在解释某点处的导数的物理意义时 应结合这些导数的实际意义进行求解 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 某河流在一段时间xmin内流过的水量为ym3 y是x的函数 1 当x从1变到8时 y关于x的平均变化率是多少 2 求f 27 并解释它的实际意义 题型一 题型二 题型三 题型四 导数在经济生活中的意义 例2 某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件 假设日产品的总成本c 元 与日产量x 件 的函数关系为c x 60 x 2050 求 1 当日产量由10件提高到20件时 总成本的平均改变量 并说明其实际意义 2 当日产量为75件时的边际成本 并说明其实际意义 分析 1 利用函数平均变化率计算 然后结合实际问题解释 2 用瞬时变化率的意义解释 题型一 题型二 题型三 题型四 反思生产成本y关于产量x的函数y f x 中 f x0 指的是当产量为x0时 生产成本的增加速度 也就是产量为x0时 每增加一个单位的产量 需增加f x0 个单位的成本 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 建造一幢长度为x米的桥梁需成本y万元 函数关系为y f x x2 x 3 x 0 1 当x从100变到200时 平均每米的成本为 2 f 100 其实际意义为 答案 1 30 1万元 2 20 1万元 米当长度为100米时 成本增加的速度为20 1万元 米 题型一 题型二 题型三 题型四 导数在日常生活中的意义 例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的 随着水纯净度的提高 所需净化费用也不断增加 已知将1吨水净化到纯净度为x 时所需费用 单位 元 为 80 x 100 1 求c x 2 求c 90 c 98 并解释它们的实际意义 分析 1 利用导数的求导法则求出c x 2 分别将x 90 98代入 即可求出c 90 c 98 又c x 是净化费用的瞬时变化率 从而可知c 90 c 98 的实际意义 题型一 题型二 题型三 题型四 因为函数的导数是净化费用的瞬时变化率 所以 纯净度为90 时 费用的瞬时变化率是52 84元 吨 同样 纯净度为98 时 费用的瞬时变化率是1321元 吨 题型一 题型二 题型三 题型四 反思函数f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢 由上述计算可知 c 98 25c 90 它表示纯净度为98 左右时净化费用的变化率大约是纯净度为90 左右时净化费用变化率的25倍 这说明 水的纯净度越高 需要的净化费用就越多 而且净化费用增加的速度也越快 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 将一杯80 的热红茶置于20 的房间里 它的温度会逐渐下降 温度t 单位 与时间 单位 min 之间的关系由函数t f t 给出 请问 1 f t 的符号是什么 为什么 2 f 3 4的实际意义是什么 解 1 由题意可知f t 0 因为红茶温度在下降 2 f 3 4的实际意义是当t 3min时 温度的瞬时变化率 即3min附近时 红茶约以4 min的速度下降 题型一 题型二 题型三 题型四 易错辨析易错点忽略实际意义而致误 例4 在高台跳水运动中 ts时运动员相对于水面的高度是h t 4 9t2 6 5t 10 单位 m 求高台跳水运动中运动员在t 1s时的瞬时速度 并解释此时的运动状况 错解 h t 9 8t 6 5 h 1 9 8 6 5 3 3 运动员在t 1s时的瞬时速度是3 3m s 此时的运动状况是以每秒3 3米的速率运动 错因分析 瞬时速度既有大小也有方向 这里应是负值 不能回答为正值 且运动状况是指运动速度的大小和方向 在处理实际问题时 一定要注意导数的实际意义 题型一 题型二 题型三 题型四 正解 h t 9 8t 6 5 h 1 3 3 故运动员在t 1s时的瞬时速度是 3 3m s 此时运动员向下以3 3米 秒的速率运动 1 2 3 4 1 一物体运动的路程s与时间t之间的关系为s t 则 a 物体做匀速运动b 物体做匀加速运动c 物体做匀减速运动d 物体处于静止状态解析 s 1 物体做匀速运动 答案 a 1 2 3 4 2 如果物体做直线运动的方程为s t 3 2 t 2 则其在t 3s时的瞬时速度为 a 6b 6c 4d 4解析 s t 3 2 t 2 3t2 12t 12 s t 6t 12 s 3 6 3 12 6 答案 a 1 2 3 4 3 某物体的运动速度与时间的关系为v t