高中数学 第三章 概率模块复习课课件 新人教B版必修3.ppt

第3课时概率 知识网络 要点梳理 思考辨析 概率 知识网络 要点梳理 思考辨析 1 事件的分类 事件包括 必然事件 不可能事件和随机事件 2 在n次重复进行的试验中 事件a发生的次数为m 则事件a发生的频率为3 随机事件a发生的概率的范围为0 p a 1 特别地 当a是必然事件时 p a 1 当a是不可能事件时 p a 0 4 若事件a b互斥 则p a b p a p b 5 若事件a与b是对立事件 则p a p b 1 6 古典概型的概率公式是 7 几何概型的概率公式是 知识网络 要点梳理 思考辨析 判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 随机事件和随机试验是一回事 2 事件发生的频率与概率是相同的 3 若a b为互斥事件 则p a p b 1 4 掷一枚质地均匀的硬币两次 出现 两个正面 一正一反 两个反面 这三种结果是等可能事件 5 随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率 6 相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的 答案 1 2 3 4 5 6 知识网络 要点梳理 思考辨析 7 与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关 8 在一次试验中 其基本事件的发生一定是等可能的 9 两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生 10 在古典概型中 如果事件a中基本事件构成集合a 所有的基本事件构成集合i 那么事件a的概率为 答案 7 8 9 10 专题归纳 高考体验 专题一互斥事件 对立事件及其概率的求法 例1 某县城有两种报纸甲 乙供居民订阅 记事件a为 只订甲报 事件b为 至少订一种报 事件c为 至多订一种报 事件d为 不订甲报 事件e为 一种报也不订 判断下列每对事件是不是互斥事件 如果是 再判断它们是不是对立事件 1 a与c 2 b与e 3 b与d 4 b与c 5 c与e 思路分析 利用互斥事件 对立事件的定义并结合具体情况 要先弄清楚基本事件空间中所有可能的结果为只订甲 只订乙 订甲 乙两种 甲 乙都不订 专题归纳 高考体验 解 1 由于事件c 至多订一种报 中有可能只订甲报 即事件a与事件c有可能同时发生 故a与c不是互斥事件 2 事件b 至少订一种报 与事件e 一种报也不订 是不可能同时发生的 故b与e是互斥事件 由于事件b发生可导致事件e一定不发生 且事件e发生会导致事件b一定不发生 故b与e还是对立事件 3 事件b 至少订一种报 中有可能只订乙报 即有可能不订甲报 即事件b发生时 事件d也可能发生 故b与d不是互斥事件 4 事件b 至少订一种报 中有这些可能 只订甲报 只订乙报 订甲 乙两种报 事件c 至多订一种报 中有这些可能 什么也不订 只订甲报 只订乙报 由于这两个事件可能同时发生 故b与c不是互斥事件 5 由 4 的分析知 事件e 一种报也不订 只是事件c的一种可能 事件c与事件e有可能同时发生 故c与e不互斥 专题归纳 高考体验 反思感悟1 互斥事件与对立事件的联系与区别 1 不可能同时发生的两个事件称为互斥事件 2 对立事件则要同时满足两个条件 一是不可能同时发生 二是必有一个发生 3 在一次试验中 两个互斥事件有可能都不发生 也可能只有一个发生 而两个对立事件则必有一个发生且不可能同时发生 4 对立事件一定是互斥事件 而互斥事件不一定是对立事件 2 互斥事件与对立事件的概率计算 1 若事件a1 a2 an彼此互斥 则p a1 a2 an p a1 p a2 p an 专题归纳 高考体验 3 求复杂事件的概率通常有两种方法 1 将所求事件转化成彼此互斥的事件的和 2 先求其对立事件的概率 然后再应用公式p a 1 求解 专题归纳 高考体验 变式训练1从四双不同的鞋中任意摸出4只 事件 4只全部成对 的对立事件是 a 至多有两只不成对b 恰有两只不成对c 4只全部不成对d 至少有两只不成对解析 从四双不同的鞋中任意摸出4只 可能的结果为 恰有2只成对 4只全部成对 4只都不成对 事件 4只全部成对 的对立事件是 恰有2只成对 4只都不成对 至少有两只不成对 故选d 答案 d 专题归纳 高考体验 例2 现有8名数理化成绩优秀者 其中a1 a2 a3数学成绩优秀 b1 b2 b3物理成绩优秀 c1 c2化学成绩优秀 从中选出数学 物理 化学成绩优秀者各1名 组成一个小组代表学校参加竞赛 求 1 c1被选中的概率 2 a1和b1不全被选中的概率 解 1 从8人中选出数学 物理 化学成绩优秀者各1名 其一切可能的结果组成的基本事件空间 a1 b1 c1 a1 b1 c2 a1 b2 c1 a1 b2 c2 a1 b3 c1 a1 b3 c2 a2 b1 c1 a2 b1 c2 a2 b2 c1 a2 b2 c2 a2 b3 c1 a2 b3 c2 a3 b1 c1 a3 b1 c2 a3 b2 c1 a3 b2 c2 a3 b3 c1 a3 b3 c2 由18个基本事件组成 由于每一个基本事件被抽取的机会均等 因此这些基本事件的发生是等可能的 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 专题二古典概型 例3 如果有两组牌 它们的牌面数字分别为1 2 3 那么从每组牌中摸出一张牌 两张牌的牌面数字和等于4的概率是多少呢 两张牌的牌面数字和为多少时概率最大 思路分析 解古典概型问题的关键在于选择正确的基本事件 并能正确地数出基本事件的个数 数事件的个数可以通过列表 树形图 建坐标系等使问题变得形象直观 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 反思感悟古典概型的解题方法主要有以下两种 1 采取适当的方法 按照一定的顺序 把试验的所有结果一一列举出来 正确理解基本事件与事件a的关系 应用公式计算概率 2 若所求概率的事件比较复杂 可把它分解成若干个互斥的事件 利用概率的加法公式求解 或利用求其对立事件 利用对立事件的概率求解 专题归纳 高考体验 变式训练2有a b c d四位贵宾 应分别坐在a b c d四个席位上 现在这四人均未留意 在四个席位上随便坐下时求 1 这四人恰好都坐在自己的席位上的概率 2 这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率 3 这四人恰有1位坐在自己的席位上的概率 专题归纳 高考体验 解 将a b c d四位贵宾就座情况用下图的图形表示出来 座位依次是a b c d 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 专题三几何概型 例4 如图所示 在圆心角为直角的扇形oab中 分别以oa ob为直径作两个半圆 在扇形oab内随机取一点 则此点取自阴影部分的概率是 专题归纳 高考体验 解析 如图所示 不妨设扇形的半径为2a 记两块白色区域的面积分别为s1 s2 两块阴影部分的面积分别为s3 s4 答案 a 专题归纳 高考体验 例5 某人从甲地去乙地共走了500m 途经一条宽为xm的河流 该人不小心把一件物品丢在途中 若物品掉在河里就找不到 若物品不掉在河里 则能找到 已知该物品能被找到的概率为 则河宽为m 答案 100 专题归纳 高考体验 反思感悟几何概型的解题方法主要有以下两种 1 解决几何概型问题的关键是借助相关的公式计算出相关长度 面积 体积的值 2 解几何概型问题时 常常需要寻找不等关系 要找不等关系 需先找等量关系 再借助图形分析寻找不等关系 最后利用公式计算 专题归纳 高考体验 答案 a 专题归纳 高考体验 专题四概率在现实中的应用 例6 我们来看一种在国外颇为盛行的赌博 碰运气游戏 它的规则如下 每个参加者每次先付赌金1元 然后将三枚骰子一起掷出 他可以猜某一个点数 譬如赌 1 点 如果三枚骰子中出现一个 1 点 庄家除把赌金1元返还外 再奖1元 如果出现两个 1 点 除返还赌金外 再奖2元 如果全是 1 点 那么除返还赌金外 再奖3元 专题归纳 高考体验 解 我们来计算一下 三枚骰子一起掷 会出现怎样的情况 第一枚有6种可能 而对于它的每一种结果 第二枚又有6种可能 第三枚也是如此 所以一共有216种 在这216种可能结果中 三枚点数各不相同的可能就有120种 三枚点数完全相同的可能只有6种 即都是 1 2 6 余下的有216 120 6 90 种 可能 就是三枚中有两枚点数相同的情况 一个参加者 假设他总是赌 1 点 如果猜了216次 那么他能有几次获奖呢 先来看只有一枚出现 1 点的情况 出现 1 点的骰子可能是第一枚 也可能是第二或第三枚 共有三种可能 而其余两枚不出现 1 点的可能性有25种 所以共有75种可能 这75种可能出现时 他可获2元 那么总共可获75 2 150 元 再来看出现两枚 1 点的可能性 可以出现在第一和第二枚 也可以是第一和第三枚 还可以是第二和第三枚 也是三种可能 而另一枚骰子不出现 1 点只有5种可能 所以共有15种可能 这时 每次他可获3元 共45元 最后 三枚都出现 1 点的只有一种可能 这时 他可获4元 专题归纳 高考体验 这样 216次 他共获150 45 4 199 元 但每次先付1元 他共付了216元 所以 一般来说 他会输216 199 17 元 我们再来看看庄家的情况 假设有6人参加赌博 每人分别赌 1 2 6 点 并且假定进行了216次 庄家每次收进了6元赌金 216次共收了6 216 1296 元 那么他会付出多少元呢 从前面的分析中我们已经知道 在216次中有120次结果是三枚骰子点数各不相同的 譬如 出现了 1 2 3 于是赌 4 5 6 点的三位参加者就输了 庄家要付给赢的三家每人2元 共6元 120次 共计6 120 720 元 另外有90次是有两枚骰子点数相同的 譬如 1 1 2 那么 赌 3 4 5 6 点的就输了 赌 2 点的可得2元 赌 1 点的可得3元 庄家每次付出5元 90次共计5 90 450 元 最后 还有6次是三枚骰子点数完全相同的 譬如都是 1 这时 只有赌 1 点的赢 可得4元 共24元 所以 庄家一共付出720 450 24 1194 元 于是庄家净赚1296 1194 102 元 约占总金额的7 9 专题归纳 高考体验 反思感悟所谓 机会型 赌博 一般认为胜败完全靠运气 它容易引诱青少年上当 因为表面上看起来机会是均等的 甚至有利于参加者 事实上 几乎所有的 机会型 赌博 机会不是均等的 总是利于庄家的 因此 赌博是没有好处的 千万不要参加赌博 专题归纳 高考体验 考点一古典概型1 2017全国2 文11 从分别写有1 2 3 4 5的5张卡片中随机抽取1张 放回后再随机抽取1张 则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 专题归纳 高考体验 解析 由题意可得抽取两张卡片上的数的所有情况如下表所示 表中点的横坐标表示第一次取到的数 纵坐标表示第二次取到的数 答案 d 专题归纳 高考体验 2 2016全国1 文3 为美化环境 从红 黄 白 紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中 余下的2种花种在另一个花坛中 则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 解析 总的基本事件是 红黄 白紫 红白 黄紫 红紫 黄白 共3种 满足条件的基本事件是 红黄 白紫 红白 黄紫 共2种 故所求事件的概率为答案 c 专题归纳 高考体验 3 2016全国3 文5 小敏打开计算机时 忘记了开机密码的前两位 只记得第一位是m i n中的一个字母 第二位是1 2 3 4 5中的一个数字 则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 解析 密码的前两位共有15种可能 其中只有1种是正确的密码 因此所求概率为 故选c 答案 c 专题归纳 高考体验 4 2015全国1 文4 如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长 则称这3个数为一组勾股数 从1 2 3 4 5中任取3个不同的数 则这3个数构成一组勾股数的概率为 解析 从1 2 3 4 5中任取3个数共有10种不同的取法 其中的勾股数只有3 4 5 因此3个数构成一组勾股数的取法只有一种 故所求概率为答案 c 专题归纳 高考体验 5 2016四川 文13 从2 3 8 9中任取两个不同的数字 分别记为a b 则logab为整数的概率是 解析 从2 3 8 9中任取两个数记为a b 作为对数的底数与真数 共有3 4 12个不同的基本事件 其中为整数的只有log28 log39两个基本事件 所以其概率 专题归纳 高考体验 6 2016江苏 7 将一颗质地均匀的骰子 一种各个面上分别标有1 2 3 4 5 6个点的正方体玩具 先后抛掷2次 则出现向上的点数之和小于10的概率是 专题归纳 高考体验 考点二几何概型7 2017全国1 理2 如图 正方形abcd内的图形来自中国古代的太极图 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 在正方形内随机取一点 则此点取自黑色部分的概率是 答案 b 专题归纳 高考体验 8 2016全国2 文8 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现 红灯持续时间为40秒 若一名行人来到该路口遇到红灯 则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 解析 因为红灯持续时间为40秒 所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 故选b 答案 b 专题归纳 高考体验 9 2016全国1 理4 某公司的班车在7 30 8 00 8 30发车 小明在7 50至8 30之间到达发车站乘坐班车 且到达发车站的时刻是随机的 则他等车时间不超过10分钟的概率是 答案 b 专题归纳 高考体验 10 2016全国2 理10 从区间 0 1 随机抽取2n个数x1 x2 xn y1 y2 yn 构成n个数对 x1 y1 x2 y2 xn yn 其中两数的平方和小于1的数对共有m个 则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为 答案 c 专题归纳 高考体验 答案 b 解析 设点p的坐标为 x y 由题意x y 0 1 所以点p在正方形oabc内 s正方形oabc 1 1 1 专题归纳 高考体验 12 2016山东 理14 在 1 1 上随机地取一个数k 则事件 直线y kx与圆 x 5 2 y2 9相交 发生的概率为 专题归纳 高考体验 13 2015重庆 文15 在区间 0 5 上随机地选择一个数p 则方程x2 2px 3p 2 0有两个负根的概率为 解析 当方程x2 2px 3p 2 0有两个负根x1和x2时 专题归纳 高考体验 考点三频率和概率 概率加法公式的应用14 2016全国甲 文18 某险种的基本保费为a 单位 元 继续购买该险种的投保人称为续保人 续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况 得到如下统计表 专题归纳 高考体验 1 记a为事件 一续保人本年度的保费不高于基本保费 求p a 的估计值 2 记b为事件 一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160 求p b 的估计值 3 求续保人本年度平均保费的估计值 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 15 2015北京 文17 某超市随机选取1000位顾客 记录了他们购买甲 乙 丙 丁四种商品的情况 整理成如下统计表 其中 表示购买 表示未购买 1 估计顾客同时购买乙和丙的概率 2 估计顾客在甲 乙 丙 丁中同时购买3种商品的概率 3 如果顾客购买了甲 则该顾客同时购买乙 丙 丁中哪种商品的可能性最大 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 16 2014四川 文16 一个盒子里装有三张卡片 分别标记有数字1 2 3 这三张卡片除标记的数字外完全相同 随机有放回地抽取3次 每次抽取1张 将抽取的卡片上的数字依次记为a b c 1 求 抽取的卡片上的数字满足a b c 的概率 2 求 抽取的卡片上的数字a b c不完全相同 的概率 专题归纳 高考体验 解 1 由题意 a b c 所有的可能为 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 3 1 1 3 2 1 3 3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 1 2 3 2 2 3 3 3 1 1 3 1 2 3 1 3 3 2 1 3 2 2 3 2 3 3 3 1 3 3 2 3 3 3 共27种 设 抽取的卡片上的数字满足a b c 为事件a 则事件a包括 1 1 2 1 2 3 2 1 3 共3种 专题归纳 高考体验 考点四概率 统计 抽样调查问题17 2017全国3 文18 某超市计划按月订购一种酸奶 每天进货量相同 进货成本每瓶4元 售价每瓶6元 未售出的酸奶降价处理 以每瓶2元的价格当天全部处理完 根据往年销售经验 每天需求量与当天最高气温 单位 有关 如果最高气温不低于25 需求量为500瓶 如果最高气温位于区间 20 25 需求量为300瓶 如果最高气温低于20 需求量为200瓶 为了确定六月份的订购计划 统计了前三年六月份各天的最高气温数据 得下面的频数分布表 专题归纳 高考体验 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率 1 估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率 2 设六月份一天销售这种酸奶的利润为y 单位 元 当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时 写出y的所有可能值 并估计y大于零的概率 专题归纳 高考体验 解 1 这种酸奶一天的需求量不超过300瓶 当且仅当最高气温低于25 由表格数据知 最高气温低于25的频率为 所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0 6 2 当这种酸奶一天的进货量为450瓶时 若最高气温不低于25 则y 6 450 4 450 900 若最高气温位于区间 20 25 则y 6 300 2 450 300 4 450 300 若最高气温低于20 则y 6 200 2 450 200 4 450 100 所以 y的所有可能值为900 300 100 y大于零当且仅当最高气温不低于20 由表格数据知 最高气温不低于20的频率为 因此y大于零的概率的估计值为0 8 专题归纳 高考体验 18 2015福建 文18 全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标 根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的 省级卫视新闻台 融合指数的数据 对名列前20名的 省级卫视新闻台 的融合指数进行分组统计 结果如表所示 1 现从融合指数在 4 5 和 7 8 内的 省级卫视新闻台 中随机抽取2家进行调研 求至少有1家的融合指数在 7 8 内的概率 2 根据分组统计表求这20家 省级卫视新闻台 的融合指数的平均数 专题归纳 高考体验 解法一 1 融合指数在 7 8 内的 省级卫视新闻台 记为a1 a2 a3 融合指数在 4 5 内的 省级卫视新闻台 记为b1 b2 从融合指数在 4 5 和 7 8 内的 省级卫视新闻台 中随机抽取2家的所有基本事件是 a1 a2 a1 a3 a2 a3 a1 b1 a1 b2 a2 b1 a2 b2 a3 b1 a3 b2 b1 b2 共10个 其中 至少有1家融合指数在 7 8 内的基本事件是 a1 a2 a1 a3 a2 a3 a1 b1 a1 b2 a2 b1 a2 b2 a3 b1 a3 b2 共9个 专题归纳 高考体验 解法二 1 融合指数在 7 8 内的 省级卫视新闻台 记为a1 a2 a3 融合指数在 4 5 内的 省级卫视新闻台 记为b1 b2 从融合指数在 4 5 和 7 8 内的 省级卫视新闻台 中随机抽取2家的所有的基本事件是 a1 a2 a1 a3 a2 a3 a1 b1 a1 b2 a2 b1 a2 b2 a3 b1 a3 b2 b1 b2 共10个 其中 没有1家融合指数在 7 8 内的基本事件是 b1 b2 共1个 2 同解法一 专题归纳 高考体验 19 2015天津 文15 设甲 乙 丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27 9 18 现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛 1 求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数 2 将抽取的6名运动员进行编号 编号分别为a1 a2 a3 a4 a5 a6 现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛 用所给编号列出所有可能的结果 设a为事件 编号为a5和a6的两名运动员中至少有1人被抽到 求事件a发生的概率 专题归纳 高考体验 解 1 应从甲 乙 丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3 1 2 2 从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为 a1 a2 a1 a3 a1 a4 a1 a5 a1 a6 a2 a3 a2 a4 a2 a5 a2 a6 a3 a4 a3 a5 a3 a6 a4 a5 a4 a6 a5 a6 共15种 编号为a5和a6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为 a1 a5 a1 a6 a2 a5 a2 a6 a3 a5 a3 a6 a4 a5 a4 a6 a5 a6 共9种 因此 事件a发生的概率 专题归纳 高考体验 20 20