正弦和余弦的相互关系.doc

正弦和余弦的相互关系公式教学目标 1使学生理解正、余弦相互关系的两个公式的推导过程，理解公式成立的条件，并能利用它们及其变形公式解答一些基本问题；2通过公式的推导过程，培养学生从特殊到一般提出猜想和发现问题的能力；3培养学生运用知识结构总结问题的能力。教学重点和难点 公式的推导和应用是重点；而公式的应用又是难点。教学过程设计 一、从学生原有的认知结构提出问题 A （投影）问：直角三角形有什么性质？（图6-13）ca，cb答：（1）边的关系：a+bc， b ca2+b2=c2。 （2）角的关系：A+B=90。 C a B （3）边角关系：sinA=a/c，cosA=b/c， 图 6-13 教师归纳指出：由此可见，在一个直角三角形中，由于三边之间，两个锐角之间和边角之间都有一定的关系，而正弦和余弦又是表示直角边和斜边的比值，因此自然要问：正弦和余弦之间有什么样的相互关系？这就是我们今天所要学习的问题。（板书课题） 二、互为余角的正、余弦相互关系公式的教学过程 1复习特殊角三角函数值。 （边问边按下列格式打出投影片，如图6-14） sin30= ； cos60= ； sin60= ； cos30= ； sin45= ； cos45= 。 问：你能发现什么规律？ 答：sin30=cos60，sin60=cos30，sin45=cos45。 2从特殊到一般提出猜想。 猜想：设A和B互为余角，则：sinA=cosB， 30cosA=sinB。 2 3证明猜想，形成公式。 （采取学生口述，教师板演，在此基础上归纳出互为余的正、余弦相互关系的三种表达形式。） 1 45 互为余角的正、余弦的相互关系： 1 （1）若A+B=90，则sinA=cosB，或cosA=sinB。 （2）sin=cos（90-），或cos=sin（90-）。 图 6-14 1 （3）数学语言叙述：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 练习1（口答） sin37=cos ； cos62=sin ； sin47-cos43= ； = 。 4应用公式，变式练习。 例1 （1）已知sinA=1/2，且B=90-A。求cosB； （2）已知sin35=0.573 6，求cos55； （3）已知cos476=0.680 7,求sin4254。分析：观察每小题两锐角的关系均为互余两角，都可运用上述关系式。三、sin2A+cos2A=1的教学过程1 从学生原有的认知结构讲授“sin2A+cos2A=1”公式（投影）如图6-15，ABC中，C=90。复习：a+bc，a2+b2=c2。引导：1，。发现：sinA+cosA1，sin2A+cos2A=1。由此得到sinA，cosA相互关系的两条性质：（A为锐角）（1）sinA+cosA1，（了解）（2）sin2A+cos2A=1。（重点）对于（1）要求学生了解；（2）要求学生理解和掌握。所以下面讲公式（2）的变形和应用。2理解公式sin2A+cos2A=1和几种变形。 sin2A+cos2A=1， sin2A=1-cos2A=（1+cosA）（1-cosA）， sinA=， cos2A=1-sin2A=（1+sinA）（1-sinA），cosA=。3 解公式成立的条件。4 应用举例，变式练习。练习2（口答）下列等式是否成立？（1）sin230+cos245=1； （2）sin237+sin253=1；（3）cos256+sin256=1； （4）sin246+cos246=1；（5）sin2+sin2（90-）=1。例2 已知A为锐角，且cosA=。求sinA的值。解：因为sin2A+cos2A=1，且A为锐角，所以 sinA=。教师指出：解题时，根据sin2A+cos2A=1，当A为锐角时，已知cosA可求sinA，同样已知sinA也可以求cosA，利用上面的公式，还可以将式子化简。例3 化简：sin4A+sin2Acos2A+cos2A。（A为锐角）分析：由于原式中的指数为2和4，且底数为sinA和cosA，于是从结构上联想到“sin2A+cos2A=1”这个公式。解：sin4A+sin2Acos2A+cos2A = sin2A（sin2A+cos2A）+cos2A = sin2A+cos2A =1例4 已知：ABC中，C=90，AC=2，BC=4，如图6-16。求sinA，cosA，sinB，cosB。解：AB=6，所以 sinA=，cosA=， A sinB=sin（90-A）=cosA=， 2 cosB=cos（90-A）=sina=。 B 4 C这里求cosA，也可用cosA=来求。 图6-16四、小结（投影）1先提出以下问题：（1）这节课学习了哪两个公式？它们是根据什么知识推导出来的？（2）应用这两个公式时应注意什么问题？2在学生回答的基础上教师总结指出：至今为止，我们学习了四条性质：（1）（投影下述知识结构）（2）注意：公式成立的条件均为锐角，在第三个公式中，还要注意两个角是互余关系；在第四个公式中同角的条件，还要善于灵活变形应用。五、作业（投影）1 把一列各角的正弦（余弦）改写成它的余角的余弦（正弦）： （1）sin32； （2）cos75； （3）sin5419； （4）sin4153。 2填空：（1）已知：sin6718=0.922 5，则cos2242= 。（2）已知：cos424=0。997 1，则sin8536= 。 3在ABC中，C=90，A，B，C所对的边分别为a，b，c，先根据下列条件求出A的正弦值和余弦值，然后说出B的正弦值和余弦值： （1）a=2，b=1； （2）a=3，c=4； （3）b=2,c=； （4）a=4，b=8。 4设A 为锐角，且sinA=，求cosA。 选作：已知：A和B（AB）是一个直角三角形的两个锐角，并且sinA，sinB是方程4x2-2kx+k-1=0的两个实根。 求：（1）k的值；（2）A和B的度数。略解：因为A与B互余，所以sinB=cosA，由根与系数关系：sinA+cosA=，sinAcosA=。由sin2A+cos2A=（sinA+cosA）2-2sinAcosA=1得：k2-2k-2=0，即k=1-（舍），k=1+，由AB，所以A=60，B=30。板书设计（略）课堂教学设计说明这份教案为1课时，讲授两个公式。互为余角的正弦、余弦的相互关系，是运用“归纳发现法”讲授的，而“sin2A+cos2A=1”则是运用“演绎发现法”讲授的。因为数学的发现不都是归纳发现，而演绎发现是大量存在的，特别是高年级更是如此。这样讲授，对培养学生从不同角度发现问题是有好处的。 显然“sin2A+cos2A=1”