全国各地中考数学试题分类解析汇编 几何综合.docVIP

(精编版)2012全国各地中考数学试题分类解析汇编几何综合1. （2012宁夏区10分）在矩形abcd中，ab=2，ad=3,p是bc上的任意一点（p与b、c不重合），过点p作appe，垂足为p，pe交cd于点e.(1)连接ae，当ape与ade全等时，求bp的长；(2)若设bp为x，ce为y，试确定y与x的函数关系式。当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？(3)若pebd，试求出此时bp的长.【答案】解：（1）apeade，ap=ad=3。在rtabp中，ab=2，bp=。（2）appe，rtabprtpce。 ，即。 当时，y的值最大，最大值是。（2）设bp=x, 由（2）得。pebd，cpecbd。， 即，化简得。解得或（不合题意，舍去）。当bp= 时， pebd。【考点】矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，平行的性质，解一元二次方程。【分析】（1）由apeade可得ap=ad=3，在rtabp中，应用勾股定理即可求得bp的长。（2）由appe，得rtabprtpce，根据相似三角形的对应边成比例可列式得y与x的函数关系式。化为顶点式即可求得当时，y的值最大，最大值是。（3）由pebd，得cpecbd，根据相似三角形的对应边成比例可列式可求得bp的长。2. （2012山西省12分）问题情境：将一副直角三角板（rtabc和rtdef）按图1所示的方式摆放，其中acb=90，ca=cb，fde=90，o是ab的中点，点d与点o重合，dfac于点m，debc于点n，试判断线段om与on的数量关系，并说明理由探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：解：om=on，证明如下：连接co，则co是ab边上中线，ca=cb，co是acb的角平分线（依据1）omac，onbc，om=on（依据2）反思交流：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1： 依据2： （2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程拓展延伸：（3）将图1中的rtdef沿着射线ba的方向平移至如图2所示的位置，使点d落在ba的延长线上，fd的延长线与ca的延长线垂直相交于点m，bc的延长线与de垂直相交于点n，连接om、on，试判断线段om、on的数量关系与位置关系，并写出证明过程【答案】（1）解：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）；角平分线上的点到角的两边距离相等。（2）证明：ca=cb，a=b。o是ab的中点，oa=ob。dfac，debc，amo=bno=90。在oma和onb中，a=b，oa=ob，amo=bno，omaonb（aas）。om=on。（3）解：om=on，omon。理由如下：连接co，则co是ab边上的中线。acb=90，oc=ab=ob。又ca=cb，cab=b=45，1=2=45，aoc=boc=90。2=b。bnde，bnd=90。又b=45，3=45。3=b。dn=nb。acb=90，ncm=90。又bnde，dnc=90。四边形dmcn是矩形。dn=mc。mc=nb。mocnob（sas）。om=on，moc=nob。moccon=nobcon，即mon=boc=90。omon。【考点】等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质。【分析】（1）根据等腰三角形和角平分线的性质直接作答。（2）利用aas证明omaonb即可。（3）利用sas证明mocnob即可得到om=on，moc=nob。通过角的等量代换即可得mon=boc=90，而得到omon。3. （2012福建厦门10分）已知abcd，对角线ac与bd相交于点o，点p在边ad上，过点p分别作peac、pfbd，垂足分别为e、f，pepf（1）如图，若pe，eo1，求epf的度数；（2）若点p是ad的中点，点f是do的中点，bf bc34，求bc的长【答案】解：（1）连接po , pepf，popo，peac、pfbd， rtpeortpfo（hl）。epofpo。在rtpeo中， tanepo， epo30。 epf60。（2）点p是ad的中点， apdp。又 pepf， rtpeartpfd（hl）。oadoda。 oaod。 ac2oa2odbd。abcd是矩形。 点p是ad的中点，点f是do的中点， aopf。 pfbd， acbd。abcd是菱形。abcd是正方形。 bdbc。 bfbd，bc34bc，解得，bc4。【考点】平行四边形的性质，角平分线的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）连接po，利用解直角三角形求出epo=30，再利用“hl”证明peo和pfo全等，根据全等三角形对应角相等可得fpo=epo，从而得解。（2）根据条件证出 abcd是正方形。根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解。4. （2012甘肃白银10分）如图，点a，b，c，d在o上，ab=ac，ad与bc相交于点e，延长db到点f，使，连接af（1）证明：bdefda；（2）试判断直线af与o的位置关系，并给出证明【答案】解:（1）证明：在bde和fda中，fbbd，aeed，。又bdefda，bdefda。（2）直线af与o相切。证明如下：连接oa，ob，oc，abac，boco，oaoa，oaboac（sss）。oaboac。ao是等腰三角形abc顶角bac的平分线。aobc。bdefda，得ebdafd，befa。aobe，aofa。直线af与o相切。【考点】相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行的判定和性质，切线的判定。【分析】（1）因为bde公共，夹此角的两边bd：df=ed：ad=2：3，由相似三角形的判定，可知bdefda。（2）连接oa、ob、oc，证明oaboac，得出aobc再由bdefda，得出ebd=afd，则befa，从而aofa，得出直线af与o相切。5. （2012广东广州14分）如图，在平行四边形abcd中，ab=5，bc=10，f为ad的中点，ceab于e，设abc=（6090）（1）当=60时，求ce的长；（2）当6090时，是否存在正整数k，使得efd=kaef？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由连接cf，当ce2cf2取最大值时，求tandcf的值【答案】解：（1）=60，bc=10，sin=，即sin60=，解得ce=。（2）存在k=3，使得efd=kaef。理由如下：连接cf并延长交ba的延长线于点g，f为ad的中点，af=fd。在平行四边形abcd中，abcd，g=dcf。在afg和cfd中，g=dcf， g=dcf，af=fd，afgcfd（aas）。cf=gf，ag=cd。ceab，ef=gf。aef=g。ab=5，bc=10，点f是ad的中点，ag=5，af=ad=bc=5。ag=af。afg=g。在afg中，efc=aef+g=2aef，又cfd=afg，cfd=aef。efd=efc+cfd=2aef+aef=3aef，因此，存在正整数k=3，使得efd=3aef。设be=x，ag=cd=ab=5，eg=ae+ag=5x+5=10x，在rtbce中，ce2=bc2be2=100x2。在rtceg中，cg2=eg2+ce2=（10x）2+100x2=20020x。cf=gf（中已证），cf2=（cg）2=cg2=（20020x）=505x。ce2cf2=100x250+5x=x2+5x+50=（x）2+50+。当x=，即点e是ab的中点时，ce2cf2取最大值。此时，eg=10x=10，ce=，。【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行四边形的性质，对顶角的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，勾股定理。【分析】（1）利用60角的正弦值列式计算即可得解。（2）连接cf并延长交ba的延长线于点g，利用“角边角”证明afg和cfd全等，根据全等三角形对应边相等可得cf=gf，ag=cd，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得ef=gf，再根据ab、bc的长度可得ag=af，然后利用等边对等角的性质可得aef=g=afg，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得efc=2g，然后推出efd=3aef，从而得解。设be=x，在rtbce中，利用勾股定理表示出ce2，表示出eg的长度，在rtceg中，利用勾股定理表示出cg2，从而得到cf2，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答。6. （2012广东肇庆10分）如图，在abc中，ab=ac，以ab为直径的o交ac于点e，交bc于点d，连结be、ad交于点p. 求证：（1）d是bc的中点；（2）bec adc；（3）ab ce=2dpad【答案】证明：（1）ab是o的直径，adb=90，即adbc。ab=ac，d是bc的中点。（2）ab是o的直径，aeb=adb=90，即ceb=cda=90，c是公共角，becadc。（3）becadc，cbe=cad。ab=ac，ad=cd，bad=cad。bad=cbe。adb=bec=90，abdbce。bc=2bd，即。bdp=bec=90，pbd=cbe，bpdbce。，即abce=2dpad。【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由ab是o的直径，可得adbc，又由ab=ac，由三线合一，即可证得d是bc的中点。（2）由ab是o的直径，aeb=adb=90，又由c是公共角，即可证得becadc。（3）易证得abdbce与bpdbce，根据相似三角形的对应边成比例与bc=2bd，即可证得abce=2dpad。7. （2012贵州毕节14分）如图，ab是o的直径，ac为弦，d是的中点，过点d作efac的延长线于e，交ab的延长线于e，交ab的延长线于f。（1）求证：ef是o的切线；（2）若f=，ae=4，求o的半径和ac的长。【答案】（1）证明：连接od，d是的中点，bod=a。odac。efac，e=90。odf=90。ef是o的切线；（2）解：在aef中，e=90，sinf= ，ae=4，。设o的半径为r，则od=oa=ob=r，ab=2r在odf中，odf=90，sinf=，of=3od=3r。of+oa=af，3r+r=12，r=3。连接bc，则acb=90。e=90，bcef。ac：ae=ab：af。ac：4=2r：4r，ac=2。o的半径为3，ac的长为2。【考点】弧、圆周角和圆心角的关系，圆周角定理，平行的判定和性质，切线的判定，锐角三角函数定义，平行线分线段成比例定理。【分析】（1）连接od，根据圆周角定理，可得bod=a，则odac，从而得出odf=90，即ef是o的切线。（2）先解直角aef，由sinf= ，得出af=3ae=12，再在rtodf中，由sinf=，得出of=3od，设o的半径为r，由af=12列出关于r的方程，解方程即可求出o的半径。连接bc，证明bcef，根据平行线分线段成比例定理得出ac：ae=ab：af，即可求出ac的长。8. （2012江苏泰州12分）如图，已知直线l与o相离，oal于点a，oa=5，oa与o相交于点p，ab与o相切于点b，bp的延长线交直线l于点c（1）试判断线段ab与ac的数量关系，并说明理由；（2）若pc=，求o的半径和线段pb的长；（3）若在o上存在点q，使qac是以ac为底边的等腰三角形，求o的半径r的取值范围【答案】解：（1）ab=ac。理由如下：连接ob。ab切o于b，oaac，oba=oac=90。obp+abp=90，acp+cpb=90。op=ob，obp=opb。opb=apc，acp=abc。ab=ac。（2）延长ap交o于d，连接bd，设圆半径为r，则由oa=5得，op=ob=r，pa=5r。又pc=， 。由（1）ab=ac得，解得：r=3。ab=ac=4。pd是直径，pbd=90=pac。dpb=cpa，dpbcpa。，即，解得。 （3）作线段ac的垂直平分线mn，作oemn，则oe=ac=ab=。又圆o要与直线mn交点，oe=r，r。又圆o与直线l相离，r5。o的半径r的取值范围为r5【考点】切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）连接ob，根据切线的性质和垂直得出oba=oac=90，推出obp+abp=90，acp+cpb=90，求出acp=abc，根据等腰三角形的判定推出即可。（2）延长ap交o于d，连接bd，设圆半径为r，则op=ob=r，pa=5r，根据ab=ac推出，求出r，证dpbcpa，得出 ，代入求出pb即可。（3）根据已知得出q在ac的垂直平分线上，作出线段ac的垂直平分线mn，作oemn，求出oer，求出r范围，再根据相离得出r5，即可得出答案。9. （2012江苏南京10分）如图，a、b为o上的两个定点，p是o上的动点（p不与a、b重合），我们称apb为o上关于a、b的滑动角。（1）已知apb是上关于点a、b的滑动角。 若ab为o的直径，则apb= 若o半径为1，ab=，求apb的度数（2）已知为外一点，以为圆心作一个圆与相交于a、b两点，apb为上关于点a、b的滑动角，直线pa、pb分别交于点m、n（点m与点a、点n与点b均不重合），连接an，试探索apb与man、anb之间的数量关系。【答案】解：（1）900。如图，连接ab、oa、ob在aob中，oa=ob=1ab=，oa2+ob2=ab2。aob=90。当点p在优弧 ab 上时（如图1），apb=aob=45；当点p在劣弧 ab 上时（如图2），apb=（360aob）=135。（2）根据点p在o1上的位置分为以下四种情况第一种情况：点p在o2外，且点a在点p与点m之间，点b在点p与点n之间，如图3，man=apb+anb，apb=man-anb。第二种情况：点p在o2外，且点a在点p与点m之间，点n在点p与点b之间，如图4，man=apb+anp=apb+（180anb），apb=man+anb180。第三种情况：点p在o2外，且点m在点p与点a之间，点b在点p与点n之间，如图5，apb+anb+man=180，apb=180mananb。第四种情况：点p在o2内，如图6，apb=man+anb。【考点】圆周角定理，勾股定理逆定理，三角形内角和定理和外角性质。【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于90即可得apb=900。根据勾股定理的逆定理可得aob=90，再分点p在优弧上；点p在劣弧上两种情况讨论即可。（2）根据点p在o1上的位置分为四种情况得到apb与man、anb之间的数量关系。10. （2012四川宜宾10分）如图，o1、o2相交于p、q两点，其中o1的半径r1=2，o2的半径r2=过点q作cdpq，分别交o1和o2于点cd，连接cp、dp，过点q任作一直线ab交o1和o2于点ab，连接ap、bp、acdb，且ac与db的延长线交于点e（1）求证：（2）若pq=2，试求e度数【答案】（1）证明：o1的半径r1=2，o2的半径r2=，pc=4，pd=2。cdpq，pqc=pqd=90。pcpd分别是o1、o2的直径，在o1中，pab=pcd，在o2中，pba=pdc，pabpcd。，即。（2）解：在rtpcq中，pc=2r1=4，pq=2，coscpq=。cpq=60。在rtpdq中，pd=2r2=2，pq=2，sinpdq=。pdq=45。caq=cpq=60，pbq=pdq=45。又pd是o2的直径，pbd=90。abe=90pbq=45。在eab中，e=180caqabe=75。答：e的度数是75。【考点】相交两圆的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，圆周角定理，三角形内角和定理。【分析】（1）求出pc、pd，证pabpcd，得出，从而。（2）由coscpq=，求出cpq=60，同理求出pdq=45。由圆周角定理，得出caq=cpq=60，pbq=pdq=45，求出pbd=90，求出abe=45根据三角形的内角和定理求出即可。11. （2012四川广安9分）如图，在abc中，abc=acb，以ac为直径的o分别交ab、bc于点m、n，点p在ab的延长线上，且cab=2bcp（1）求证：直线cp是o的切线（2）若bc=2，sinbcp=，求点b到ac的距离（3）在第（2）的条件下，求acp的周长【答案】解：（1）abc=acb且cab=2bcp，在abc中，abc+bac+bca=180，2bcp+2bca=180。bcp+bca=90，即pca=90。又ac是o的直径，直线cp是o的切线。（2）如图，作bdac于点d，pcac，bdpc。pcb=dbc。c=2，sinbcp=，解得：dc=2。由勾股定理得：bd=4。点b到ac的距离为4。（3）如图，连接an，在rtacn中，又cd=2，ad=accd=52=3。bdcp，abdacp。，即。在rtacp中，。acp的周长为。【考点】切线的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）根据abc=ac且cab=2bcp，在abc中abc+bac+bca=180，得到2bcp+2bca=180，从而得到bcp+bca=90，证得直线cp是o的切线。（2）作bdac于点d，得到bdpc，从而利用求得dc=2，再根据勾股定理求得点b到ac的距离为4。（3）先求出ac的长度，然后由bdpc求得abdacp，利用比例线段关系求得cp的长度，再由勾股定理求出ap的长度，从而求得acp的周长。12. （2012四川达州7分）如图，c是以ab为直径的o上一点，过o作oeac于点e，过点a作o的切线交oe的延长线于点f，连结cf并延长交ba的延长线于点p.（1）求证：pc是o的切线.（2）若af=1，oa=，求pc的长. 【答案】解：（1）证明：连结oc， oeac，ae=ce。fa=fc。fac=fca。oa=oc，oac=oca。oac+fac=oca+fca，即fao=fco。fa与o相切，且ab是o的直径，faab。fco=fao=90。又oc是o的半径，pc是o的切线。（2）pc是o的切线，pco=90。而fpa=opc，paf=90，pafpco 。co=oa=，af=1，pc=pa 。设pa=x，则pc=在rtpco中，由勾股定理得， ，解得：。pc。【考点】切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）连接oc，根据垂径定理，利用等角代换可证明fac=fca，然后根据切线的性质得出fao=90，然后即可证明结论。 （2）先证明pafpco，利用相似三角形的性质得出pc与pa的关系，在rtpco中，利用勾股定理可得出x的值，从而也可得出pc得长。13. （2012四川德阳14分） 如图，已知点c是以ab为直径的o上一点，chab于点h，过点b作o 的切线交直线ac于点d，点e为ch的中点，连结并延交bd于点f，直线cf交ab的延长线于g.求证：aefd=afec；求证：fc=fb；若fb=fe=2，求o 的半径r的长.【答案】（1）证明：bd是o的切线，dba=90。chab，chbd。aecafd。aefd=afec。（2）证明：chbd，aecafd，aheabf。ce=eh（e为ch中点），bf=df。ab为o的直径，acb=dcb=90。cf=df=bf，即cf=bf。（3）解：bf=cf=df（已证），ef=bf=2，ef=fc。fce=fec。ahe=chg=90，fah+aeh=90，g+gch=90。aeh=cef，g=fag。af=fg。fbag，ab=bg。连接oc，bc，bf切o于b，fbc=cab。oc=oa，cf=bf，fcb=fbc，oca=oacfcb=cab。acb=90，aco+bco=90。fcb+bco=90，即occg。cg是o切线。gba是o割线，fb=fe=2，由切割线定理得：（2+fg）2=bgag=2bg2，【注，没学切割线定理的可由agccgb求得】在rtbfg中，由勾股定理得：bg2=fg2bf2，fg24fg12=0。解得：fg=6，fg=2（舍去）。由勾股定理得：ab=bg=。o的半径r是。【考点】切线的判定和性质，等腰三角形判定和的性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理，圆周角定理，切割线定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由bd是o的切线得出dba=90，推出chbd，证aecafd，得出比例式即可。（2）证aecafd，aheabf，推出bf=df，根据直角三角形斜边上中线性质得出cf=df=bf即可。（3）求出ef=fc，求出g=fag，推出af=fg，求出ab=bg，连接oc，bc，求出fcb=cab推出cg是o切线，由切割线定理（或agccgb）得出（2+fg）2=bgag=2bg2，在rtbfg中，由勾股定理得出bg2=fg2bf2，推出fg24fg12=0，求出fg即可，从而由勾股定理求得ab=bg的长，从而得到o的半径r。14. （2012四川资阳9分）如图，在abc中，abac，a30，以ab为直径的o交b于点d，交ac于点，连结de，过点b作bp平行于de，交o于点p，连结ep、cp、op（1）(3分)bddc吗？说明理由；（2）(3分)求bop的度数；（3）(3分)求证：cp是o的切线；如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目在进行小组交流的时候，小明说：“设op交ac于点g，证aogcpg”；小强说：“过点c作chab于点h，证四边形chop是矩形”【答案】解：（1）bd=dc。理由如下：连接ad，ab是直径，adb=90。ab=ac，bd=dc。（2）ad是等腰abc底边上的中线， bad=cad 。bd=de。bd=de=dc。dec=dce。abc中，ab=ac，a=30，dce=abc= (18030)=75。dec=75。edc=1807575=30。bpde，pbc=edc=30。abp=abcpbc=7530=45。ob=op，obp=opb=45。bop=90。（3）设op交ac于点g，则aog=bop =90。在rtaog中，oag=30，。又，。又ago=cgp，aogcpg。gpc=aog=90。cp是的切线。【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定。【分析】（1）连接ad，由圆周角定理可知adb=90，再由ab=ac可知abc是等腰三角形，故bd=dc。（2）由于ad是等腰三角形abc底边上的中线，所以bad=cad，故，从而可得出bd=de，故bd=de=dc，所以dec=dce，abc中由等腰三角形的性质可得出abc=75，故dec=75由三角形内角和定理得出edc的度数，再根据bpde可知pbc=edc=30，进而得出abp的度数，再由ob=op，可知obp=opb，由三角形内角和定理即可得出bop=90。（3）设op交ac于点g，由bop=90可知aog=90在rtaog中，由oag=30，可知，由得， ，由ago=cgp可得出aogcpg，由相似三角形形的性质可知gpc=aog=90，故可得出cp是o的切线。 15. （2012山东滨州12分）如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形abcd的4个顶点a，b，c，d都在这些平行线上过点a作afl3于点f，交l2于点h，过点c作cel2于点e，交l3于点g（1）求证：adfcbe；（2）求正方形abcd的面积；（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3表示正方形abcd的面积s【答案】解：（1）证明：在rtafd和rtceb中，ad=bc，af=ce，rtafdrtceb（hl）。（2）abh+cbe=90，abh+bah=90，cbe=bah。又ab=bc，ahb=ceb=90，abhbce（aas）。同理可得，abhbcecdgdaf。s正方形abcd=4sabh+s正方形hegf=421+1+1=5。（3）由（1）知，afdceb，故h1=h3，由（2）知，abhbcecdgdaf，s正方形abcd=4sabh+s正方形hegf=4（h1+h2）h1+h22=2h12+2h1h2+h22【考点】全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，正方形的性质。【分析】（1）直接根据hl定理得出rtafdrtceb。（2）由aas定理得出abhbcecdgdaf，再根据s正方形abcd=4sabh+s正方形hegf即可得出结论。（3）由afdceb可得出h1=h3，再根据（2）中abhbcecdgdaf，可知s正方形abcd=4sabh+s正方形hegf，从而得出结论。16. （2012山东泰安10分）如图，e是矩形abcd的边bc上一点，efae，ef分别交ac，cd于点m，f，bgac，垂足为c，bg交ae于点h（1）求证：abeecf；（2）找出与abh相似的三角形，并证明；（3）若e是bc中点，bc=2ab，ab=2，求em的长【答案】解：（1）证明：四边形abcd是矩形，abe=ecf=90aeef，aeb+fec=90，aeb+bea=90。bae=cef。abeecf。（2）abhecm。证明如下：bgac，abg+bag=90。abh=ecm。由（1）知，bah=cem，abhecm。（3）作mrbc，垂足为r，ab=be=ec=2，ab：bc=mr：rc=2，aeb=45。mer=45，cr=2mr。mr=er=。em=。【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。【分析】（1）由四边形abcd是矩形，可得abe=ecf=90，又由efae，利用同角的余角相等，可得bae=cef，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似，即可证得：abeecf。（2）由bgac，易证得abh=ecm，又由（1）中bah=cem，即可证得abhecm。（3）首先作mrbc，垂足为r，由ab：bc=mr：rc=2，aeb=45，即可求得mr的长，又由em= 即可求得答案。17. （2012山东聊城10分）如图，o是abc的外接圆，ab=ac=10，bc=12，p是上的一个动点，过点p作bc的平行线交ab的延长线于点d（1）当点p在什么位置时，dp是o的切线？请说明理由；（2）当dp为o的切线时，求线段dp的长【答案】解：（1）当点p是的中点时，dp是o的切线。理由如下：连接ap。ab=ac，。又，。pa是o的直径。，1=2。又ab=ac，pabc。又dpbc，dppa。dp是o的切线。（2）连接ob，设pa交bc于点e。由垂径定理，得be=bc=6。在rtabe中，由勾股定理，得：ae=。设o的半径为r，则oe=8r，在rtobe中，由勾股定理，得：r2=62+（8r）2，解得r=。dpbc，abe=d。又1=1，abeadp，即，解得：。【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，切线的判定，勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）根据当点p是的中点时，得出，得出pa是o的直径，再利用dpbc，得出dppa，问题得证。（2）利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出abeadp，即可得出dp的长。18. （2012山东东营10分）（1）如图1，在正方形abcd中，e是ab上一点，f是ad延长线上一点，且dfbe求证：cecf；（2）如图2，在正方形abcd中，e是ab上一点，g是ad上一点，如果gce45，请你利用（1）的结论证明：gebegd（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形abcd中，adbc（bcad），b90，abbc，e是ab上一点，且dce45，be4，de=10, 求直角梯形abcd的面积【答案】解：（1）证明：在正方形abcd中，bccd，bcdf，bedf，cbecdf（sas）。cecf。（2）证明： 如图，延长ad至f，使df=be连接cf。 由（1）知cbecdf，bcedcf。bceecddcfecd，即ecfbcd90。又gce45，gcfgce45。cecf，gcegcf，gcgc，ecgfcg（sas）。gegf，gedfgdbegd。（3）如图，过c作cgad，交ad延长线于g在直角梯形abcd中，adbc，ab90。又cga90，abbc，四边形abcd 为正方形。 agbc。已知dce45，根据（1）（2）可知，edbedg。10=4+dg，即dg=6。设abx，则aex4，adx6，在rtaed中，de2=ad2ae2，即102=（x6）2（x4）2。解这个方程，得：x=12或x=2（舍去）。ab=12。梯形abcd的面积为108。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形。【分析】（1）由四边形是abcd正方形，易证得cbecdf（sas），即可得ce=cf。（2）延长ad至f，使df=be，连接cf，由（1）知cbecdf，易证得ecf=bcd=90，又由gce=45，可得gcf=gce=45，即可证得ecgfcg，从而可得ge=be+gd。（3）过c作cgad，交ad延长线于g，易证得四边形abcg为正方形，由（1）（2）可知，ed=be+dg，即可求得dg的长，设ab=x，在rtaed中，由勾股定理de2=ad2+ae2，可得方程，解方程即可求得ab的长，从而求得直角梯形abcd的面积。19. （2012广西来宾10分）如图，ab是o的直径，点c是o上一点，bac的平分线ad交o于点d，过点d垂直于ac的直线交ac的延长线于点e（1）求证：de是o的切线；（2）如图ad=5，ae=4，求o的直径【答案】（1）证明：如图，连接od， ad为cab的平分线，cad=bad。又oa=od，bad=oda。cad=oda。acod。e+edo=180。又aeed，即e=90，edo=90。od为圆o的切线。 （2）解：如图，连接bd，ab为圆o的直径，adb=90。在rtaed中，ae=4，ad=5，。又ead=dab，在rtabd中，。，即圆的直径为。【考点】等腰三角形的性质，平行的判定和性质，切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）连接od，由ad为角平分线，得到一对角相等，再由oa=od，得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，根据内错角相等两直线平行可得acod，由两直线平行同旁内角互补，得到e与edo互补，再由e为直角，可得edo为直角，即de为圆o的切线。（2）连接bd，由ab为o的直径，根据直径所对的圆周角为直角的性质，得到adb=90。在rtaed中，由ae和ad的长，根据锐角三角函数定义求出cosead。又在rtabd中，根据锐角三角函数定义得到 ，即可求出直径ab的长。20. （2012广西柳州10分）如图，ab是o的直径，ac是弦（1）请你按下面步骤画图（画图或作辅助线时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑）；第一步，过点a作bac的角平分线，交o于点d；第二步，过点d作ac的垂线，交ac的延长线于点e第三步，连接bd（2）求证：ad2=aeab；（3）连接eo，交ad于点f，若5ac=3ab，求的值【答案】解：（1）如图：（2）证明：ab是o的直径，adb=90。 又deac，aed=90。ad平分cab，cad=dab。rtadertabd。ad：ab=ae：ad，ad2=aeab。（3）如图，连接od、bc，它们交于点g， 5ac=3ab，即ac：ab=3：5，不妨设ac=3x，ab=5x，ab是o的直径，acb=90。ecg=90。又cad=dab，。od垂直平分bc。odae，og=ac=x。四边形ecgd为矩形。ce=dg=odog=xx =x。ae=ac+ce=3x+x=4x。aeod，aefdof。ae：od=ef：of，ef：of=4x：x=8：5。【考点】圆的综合题，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，矩形的判定和性质。【分析】（1）根据基本作图作出bac的角平分线ad交o于点d；点d作ac的垂线，垂足为点e。（2）根据直径所对的圆周角为直角得到adb=90，deac，则aed=90，又由ad平分cab得到cad=dab，根据相似三角形的判定得到rtadertabd，根据相似的性质得到ad：ab=ae：ad，利用比例的性质即可得到ad2=aeab。（3）连接od、bc，它们交于点g，由5ac=3ab，则不妨设ac=3x，ab=5x，根据直径所对的圆周角为直角得到acb=90，由cad=dab得到，根据垂径定理的推论得到od垂直平分bc，则有odae，og=ac=x，并且得到四边形ecgd为矩形，则可求出ce，从而计算出ae，利用aeod可得到aefdof，则ae：od=ef：of，即ef：of=4x：x=8：5，然后根据比例的性质即可得到 的值。21. （2012广西桂林10分）如图，等圆o1和o2相交于a、b两点，o1经过o2的圆心，顺次连接a、o1、b、o2(1)求证：四边形ao1bo2是菱形；(2)过直径ac的端点c作o1的切线ce交ab的延长线于e，连接co2交ae于d，求证：ce2o2d；(3)在(2)的条件下，若ao2d的面积为1，求bo2d的面积【答案】解：（1）证明：o1与o2是等圆，ao1=o1b=bo2=o2a。四边形ao1bo2是菱形。（2）证明：四边形ao1bo2是菱形，o1ab=o2ab。ce是o1的切线，ac是o1的直径，ace=ao2c=90。aceao2d。，即ce=2do2。（3）四边形ao1bo2是菱形，acbo2。acdbo2d。ad=