高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念 1.5.3 定积分的概念课件 新人教A版选修22(1).ppt

1 5 3定积分的概念 主题1定积分的概念1 求曲边梯形的面积 变速直线运动的路程的过程有什么相似点 提示 曲边梯形的面积 变速直线运动的路程是2个实际意义完全不同的问题 但是它们的解决过程是相似的 都是通过分割自变量的区间 得到过剩估计值和不足估计值 分割得越细 估计值就越接近精确值 当分割成的小区间的长度趋于0时 过剩估计值和不足估计值都趋于要求的值 2 求曲边梯形面积的步骤有哪些 提示 分四个步骤 分别为分割 近似代替 求和 取极限 3 曲边梯形的面积和变速直线运动的路程问题能否归结为一个特定形式和的极限的形式 提示 能 曲边梯形面积s 变速运动的路程s 结论 1 定积分的定义如果函数f x 在区间 a b 上连续 用分点a x0 x1 x2 xn 1 xn b将区间 a b n个小区间 在每个小区间 xi 1 xi 上 i 1 2 3 n 作和式当n 时 上述和式无限接近某个常数 这个常数叫做函数f x 在区间 a b 上的 等分成 任取一点 i 定积分 2 定积分的特征其中 积分号 积分上限 积分下限 被积函数 微思考 f x dx和f t dt一样吗 提示 一样 定积分的值只与被积函数f x 以及积分区间 a b 有关 与积分变量写成什么字母无关 主题2定积分的几何意义与性质1 如果在区间 a b 上 函数f x 连续且恒有f x 0 则定积分f x dx与由曲线y f x 直线x a x b及x轴所围成的曲边梯形的面积s有什么关系 提示 相等 2 如果在区间 a b 上 f x 连续且恒有函数f x 0 则定积分f x dx与由曲线y f x 直线x a x b及x轴所围成的曲边梯形的面积s有什么关系 提示 互为相反数 结论 1 几何意义 由连续曲线y f x f x 0 直线x a x b及x轴所围成的曲边梯形的面积为 2 物理意义 设物体运动的速度v v t 则此物体在时间区间 a b 内运动的距离s为 v t dt 3 定积分的性质 微思考 定积分的几何意义是曲边梯形的面积 那么积分值和面积值都一样吗 提示 不一定 面积非负而积分的结果可以为负 预习自测 1 下列等式成立的是 解析 选c 由定积分的几何意义 2 如果某质点以初速度v 0 1 加速度a t 6t做直线运动 则质点在t 2s时的瞬时速度为 a 5b 7c 9d 13 解析 选d v 2 v 0 a t dt 6tdt 如图由定积分的几何意义可得6tdt 2 12 12 所以v 2 v 0 12 13 3 直线y 0 x 1 x 2 曲线y 围成的曲边梯形的面积用定积分表示为 解析 由直线y 0 x 1 x 2 曲线y 围成曲边梯形可知 积分区间为 1 2 被积函数为y 所以曲边梯形的面积用定积分表示为答案 4 若f x dx 6 则 解析 由定积分的定义f x dx 可得 答案 6 5 设f x 是连续函数 若f x dx 1 f x dx 1 则f x dx 解析 由定积分性质 f x dx f x dx f x dx 因为f x dx 1 f x dx 1 所以f x dx f x dx f x dx 1 1 2 答案 2 类型一定积分的定义及其应用 典例1 1 下列结论中成立的个数是 a 0b 1c 2d 3 2 利用定积分计算 1 x2 dx的值 解题指南 1 利用定积分的概念判断 2 在求定积分的四个步骤 分割 近似代替 求和 取极限中 关键环节是求和 解析 1 选c 中故 不成立 由定积分的定义知 成立 2 令f x 1 x2 分割 在区间 0 1 上等间隔地插入n 1个分点 将区间 0 1 等分成n个小区间 i 1 2 n 每个小区间的长度为 近似代替 作和取 i i 1 2 n 则 取极限 方法总结 f x dx f x dx f x dx 几何意义的区别由于被积函数f x 的值在区间 a b 上可正可负 也就是说它的图象可以在x轴上方 也可以在x轴下方 还可以在x轴上下两侧 所以 1 f x dx表示x轴 曲线f x 及直线x a x b之间各部分面积的代数和 2 f x dx表示在区间 a b 上以 f x 的图象为曲边的曲边梯形的面积 3 f x dx 则是f x dx的绝对值 拓展 1 线性性质2的推广 f1 x f2 x fm x dx f1 x dx f2 x dx fm x dx 2 区间的可加性的推广 f x dx f x dx f x dx f x dx 巩固训练 利用定积分定义计算 1 x dx 解析 被积函数f x 1 x在区间 1 2 上连续 故可积 将区间 1 2 分成n等份 每个区间的长度为 x 在 xi 1 xi 上取点 i xi 1 1 i 1 2 n 于是f i f xi 1 从而得到 补偿训练 利用定积分的定义计算 x 1 dx 解析 令f x x 1 分割 将区间 2 3 等分为n个区间 i 1 2 n 每个小区间的长度为 x 近似代替 作和 取 i i 1 2 n 则 取极限 类型二定积分几何意义的应用 典例2 1 2017 衡阳高二检测 计算 2x 4 dx 2 用图象表示下列定积分 log2xdx xdx 解题指南 1 利用定积分的几何意义计算 2 从定积分的几何意义入手 画出函数y log2x与直线x 1 x 2的图象及直线y x x 2 x 6的图象 解析 1 如图 a 0 4 b 6 8 m 2 0 s aom 2 4 4 s mbc 4 8 16 所以 2x 4 dx 16 4 12 答案 12 2 log2xdx表示曲线y log2x 直线x 1 x 2及x轴围成的平面图形的面积 如图中阴影部分所示 xdx表示直线y x x 2 x 6及x轴围成的直角梯形的面积 如图中阴影部分所示 延伸探究 1 本例 1 中 被积函数改为f x 2x 求2xdx 解析 所求定积分的几何意义是直线f x 2x y 0 x 6围成的直角三角形的面积 故2xdx 36 2 在延伸探究1的基础上 积分区间改为 6 6 求2xdx 解析 画出图形可以看出两部分关于原点对称 所以2xdx 0 方法总结 用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤 1 准确画出各曲线围成的平面区域 2 把平面区域分割成容易表示的几部分 同时注意x轴下方有没有区域 3 解曲线组成的方程组确定积分的上 下限 4 根据积分的性质写出结果 补偿训练 利用定积分的几何意义求 解析 1 被积函数的曲线是圆心在原点 半径为2的半圆周 由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积 所以有 2 2 因为被积函数为y 0 x 1 其表示的曲线为以原点为圆心 1为半径的四分之一的圆 由定积分的几何意义可知 所求的定积分即为该四分之一圆的面积 所以 类型三定积分性质的应用 典例3 1 化简下列各式 并用图形表示 x2dx x2dx 1 x dx x 1 dx 2 利用定积分表示下列曲线围成的平面区域的面积 y x 2 x y2 解题指南 1 画出平面图形 根据图形确定积分的上 下限及被积函数 2 用定积分计算平面区域的面积 首先要确定已知曲线所围成的区域 由区域的形状选择积分函数 再确定积分上 下限 解析 1 原式 x2dx 如图 1 1 x dx x 1 dx 1 x dx 如图 2 2 曲线所围成的平面区域如图所示 设此面积为s 则s a1由y y 和x 1围成 a2由y y x 2和x 1围成 所以 dx 所以s 2dx x 2 dx 方法总结 利用定积分的性质求定积分的策略 1 利用性质可把定积分分成几个简单的积分的组合 对于每一个积分都可以利用定积分的几何意义求出 从而得到所求定积分的值 2 求分段函数的定积分 可先把每一段的定积分求出后再相加 特别提醒 要注意合理利用函数的奇偶性 对称性求解 如若y f x 为奇函数 则f x dx 0 巩固训练 若f x dx 1 g x dx 3 则 2f x g x dx a 2b 3c 1d 4 解析 选c 2f x g x dx 2f x dx g x dx 2 1 3 1 补偿训练 是否存在常数a 使得x5dx的值为0 若存在 求出a的值 若不存在 请说明理由 解析 x5dx表示直线x 1 x a y 0和曲线y x5所围成的各部分面积的代数和 且在x轴上方的面积取正号 在x轴下方的面积取负号 因为f x x5为奇函数 所以所以要使x5dx 0成立 则a 1 故存在a 1 使x5dx 0 课堂小结 1 知识总结 2 方法总结 1 数形结合法 利用定积分的几何意义求定积分的值 2 定义法 利用定积分的定义求函数在某一区间上的积分