高三数学复习--立体几何(含答案).doc

苏州市高三数学 立体几何一、填空题1已知直线l平面，直线m平面，则下列四个命题：lm；lm；lm；lm，其中正确命题的序号是_【答案】考点：线面、面面垂直与平行的判定。【解析】直线l平面，直线m平面，当有lm，故正确；当有lm或l与m异面或相交，故不正确；当lm有，故正确；当lm有或，故不正确综上可知正确2.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)【答案】DMPC(或BMPC，答案不唯一) 考点：面面垂直的判定。【解析】四边形ABCD是菱形，ACBD，又PA平面ABCD，PABD，又ACPAA，BD平面PAC，BDPC.当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.3.已知是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：如果，那么.来如果，那么.如果，那么.若则.其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）【答案】考点： 空间中的线、面位置关系的判定和性质.试题分析：对于，则的位置关系无法确定，故错误；对于,因为，所以过直线作平面与平面相交于直线，则，因为，故正确；对于，由两个平面平行的性质可知正确；对于，由线面平行的定义可知其错误，故正确的有.4. 如图，在长方体中，则三棱锥的体积为 【答案】3考点：考查长方体的性质及棱锥的体积计算公式.【解析】因为,又因为,所以三棱锥的体积为3图15.如图，平行四边形中，沿BD将折起，使面ABD面BCD，连结AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面有 对.【答案】3. 【考点】考查折叠过程中平面和平面的垂直判定定理和性质定理.【解析】因为面ABD面BCD，且面面,面，,所以AB面BCD，又因为面,所以面ABC面BCD，同理可证面ABD面ACD，所以在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面有3对.6一个长方体共一个顶点的三个面的面积分别是，这个长方体的八个顶点都在同一个球面上，则球的表面积是 .【答案】6考点：球的表面积.【解析】本题考查了空间想象能力，此球的直径即为长方体的体对角线，不难求出此长方体的三条边长为，所以此球的直径为表面积为6.7.一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_【答案】12.考点：侧面积【解析】由题意知该六棱锥为正六棱锥，设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h.由题意，得62h2，h1，斜高h2，S侧62212.8.设甲、乙两个圆柱的底面分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，且，则的值是 .【答案】考点：圆柱体的体积.【解析】由条件.9.圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为的扇形，则圆锥的体积是 .【答案】考点：圆锥的体积.【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知，且2rl2，解得l2，r，所以圆锥高h1，则体积Vr2h10在三棱锥中，、两两垂直，且，若四点在同一个球面上，则球的体积为 【答案】 考点：考查长方体的外接球的知识、球的体积计算及空间想象力【解析】因为三棱锥中，、两两垂直，且四点在同一个球面上，该球就是三棱锥的外接球，又因为、两两垂直，所以以、为棱的长方体的外接球就是三棱锥的外接球，所以球的直径为，半径为，所以球的体积为11. 已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为_【答案】.考点：内接问题.【解析】如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AMBC，OMAA16，所以球O的半径ROA.12如图，、为圆柱的母线，是底面圆的直径，、分别是、的中点，面，则四棱锥与圆柱的体积比为 【答案】. 考点：考查圆柱的性质及圆柱、棱锥的体积的计算.【解析】设圆柱的母线长为，底面半径为，连接,易证且，所以,三角形为等腰直角三角形，且平面，又因为，=，即，所以.13（本题源于必修2课本第72页本章测试第6题）一个封闭的正三棱柱容器，高为，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态）.将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点为,分别为所在棱的中点，则图甲中水面高度为 【答案】：考点：考查正三棱柱的性质、体积的计算及空间想象力【解析】设正三棱柱的底面积为,装入水的体积为,图甲中水面高度为，因为正三棱柱的高为，由图甲可得；在图乙中，因为水面与各棱交点为,分别为所在棱的中点，所以,，所以，所以14如图，在直四棱柱中，点分别在上，且，点到的距离之比为3：2，则三棱锥和的体积比= _ _.【答案】 考点：考查直四棱柱的性质、三棱锥的体积及空间想象力【解析】设直四棱柱的侧棱长为，点到的距离分别为和，则，又因为在直四棱柱中，所以，所以15.正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥AB1DC1的体积为_【答案】1.考点：三棱锥的体积，正三棱柱的概念。【解析】在正ABC中，D为BC的中点，则有ADAB，SDB1C12.又平面BB1C1C平面ABC，ADBC，AD平面ABC，AD平面BB1C1C，即AD为三棱锥AB1DC1底面上的高V三棱锥AB1DC1SDB1C1AD1.16.如图：ABC中，AB8，BC10，AC6，DB平面ABC，且AEFCBD，BD3，FC4，AE5.则此几何体的体积为_【答案】96.考点：多面体的体积.【解析】用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AABBCC8，所以V几何体V三棱柱SABCAA24896.17设正四面体的棱长为，是棱上的任意一点(不与点A，B重合)，且到面的距离分别为，则的最小值 . 【答案】考点：正四面体的结构特征及正四面体的边长和高的关系、基本不等式的应用.【解析】因为正四面体的棱长为，所以其侧面面积，高为2，其体积为，又因为平面把正四面体分为两个底面积相等，高分别为的三棱锥，所以，所以有，所以，当且仅当时去等号，所以的最小值为.18.已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为 【答案】考点：考查圆锥的性质及侧面积计算公式、体积计算公式【解析】设圆锥的底面半径为，则其高也是，母线长为，=，所以，过圆锥的两条母线的截面为等边三角形，且边长为，所以，设圆锥底面中心到截面的距离为，运用等体积法可得：，所以19已知三棱锥的所有棱长都相等,现沿,三条侧棱剪开,将其表面展开成一个平面图形,若这个平面图形外接圆的半径为,则三棱锥的体积为 【答案】： 考点：考查正四面体的棱长、斜高、高的关系及有关翻折、体积问题【解析】 因为三棱锥的所有棱长都相等,所以可得该三棱锥为正四面体，设其棱长为，则其高为，斜高为，把三棱锥沿,三条侧棱剪开,将其表面展开成一个平面图形,可得其外接圆的半径为，所以有，解得，所以，高为，所以三棱锥的体积为20.一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的体积与球O的体积的比值为_【答案】.考点：圆锥的体积与球O的体积.【解析】设等边三角形的边长为2a，球O的半径为R，则V圆锥a2aa3.又R2a2(aR)2，所以Ra，故V球(a)3a3，则其体积比为.二、解答题FABCPDE第21题21如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，若、分别为、的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.考点：线面平行和线面垂直的判定及面面垂直的性质与判定.证明：（1）连结，因为正方形中是的中点，则是的中点，又是的中点，在中，且平面，平面，平面.（2）因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，CD平面ABCD，又CDAD，所以CD平面PAD，又PA平面PAD，CDPA ，因为EF/PA， CDEF.又PA=PD=AD，所以PAD是等腰直角三角形，且，即PAPD.又EF/PA,PDEF,而CDPD=D， PA平面PDC，又EFPA，所以EF平面PDC.22.在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EFDB.（I）已知AB=BC，AE=EC.求证：ACFB；（II）已知G，H分别是EC和FB的中点.求证：GH平面ABC. 考点：考查平面的性质及直线和平面的垂直、平行关系的判定.（I）证明：因为EFDB，所以EF和DB确定一个平面，连接，因为AE=EC，为的中点，所以;同理可得，又因为，所以，因为，所以ACFB.（II）设的中点为,连，在中，是的中点，所以/,又/,所以/；在中，是的中点，所以/,又，所以，平面/平面，又因为，所以GH平面ABC. 23.如图，三棱锥中，侧面是等边三角形，是的中心 若，求证； 若上存在点，使/平面，求的值考点：线面垂直和平行的判定与性质【证明】证连并延长交于，连. 因为是等边的中心，所以是的中点， .又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以. 平面，所以平面，因为上存在点，所以平面， 所以平面， 又平面，平面平面，所以，在中，因为，所以 24.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD1，AB，点F是PD的中点，点E是边DC上的任意一点.(1)当点E为DC边的中点时，判断EF与平面PAC的位置关系，并加以证明；(2)证明：无论点E在边DC的何处，都有AFEF；(3)求三棱锥BAFE的体积.(1)解当点E为DC边的中点时，EF与平面PAC平行.证明如下：在PDC中，E，F分别为DC，PD的中点，EFPC，又EF平面PAC，而PC平面PAC，EF平面PAC.(2)证明PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD.四边形ABCD是矩形，CDAD.ADAPA，CD平面PAD.又AF平面PAD，AFCD.PAAD，点F是PD的中点，AFPD.又CDPDD，AF平面PCD.EF平面PCD，AFEF.即无论点E在边DC的何处，都有AFEF.(3)解作FGPA交AD于G，则FG平面ABCD，且FG，又SABE，VBAEFVFAEBSABEFG.三棱锥BAFE的体积为.25.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别为AB，B1C1的中点（1）求证：MN平面AA1C1C；（2）若CC1CB1，CACB，平面CC1B1B平面ABC，求证：AB平面CMN考点：线面垂直和平行的判定证明 （1）取A1C1的中点P，连接AP，NP因为C1NNB1，C1PPA1，所以NPA1B1，NPA1B1在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1AB，A1B1AB故NPAB，且NPAB 因为M为AB的中点，所以AMAB所以NPAM，且NPAM所以四边形AMNP为平行四边形所以MNAP因为AP平面AA1C1C，MN平面AA1C1C，所以MN平面AA1C1C DOMABC（2）因为CACB，M为AB的中点，所以CMAB,因为CC1CB1，N为B1C1的中点，所以CNB1C1，在三棱柱ABCA1B1C1中，BCB1C1，所以CNBC因为平面CC1B1B平面ABC，平面CC1B1B平面ABCBCCN平面CC1B1B，所以CN平面ABC 因为AB平面ABC，所以CNAB，因为CM平面CMN，CN平面CMN，CMCNC，所以AB平面CMN26.（理科加试）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，, 底面, ,为的中点.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求平面与平面所成的二面角的余弦值.考点：空间角度的计算【解答】作于点P,如图,分别以AB，AP，AO所在直线为轴建立空间直角坐标系，则,.（）设与所成的角为.， .与所成角的大小为. （），设平面OCD的法向量为,则，即 取,解得 易知 平面OAB的一个法向量为 由图形知，平面与平面所成的二面角的余弦值为.补充题：1.如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2，作如图(2)折叠，折痕EFDC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后，点P叠在线段AD上的点记为M，并且MFCF.(1)证明：CF平面MDF；(2)求三棱锥MCDE的体积.考点：线面垂直，体积(1)证明因为PD平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD.又因为ABCD是矩形，CDAD，PD与CD交于点D，所以AD平面PCD.又CF平面PCD，所以ADCF，即MDCF.又MFCF，MDMFM，所以CF平面MDF.(2)解因为PDDC，PC2，CD1，PCD60，所以PD，由(1)知FDCF，在直角三角形DCF中，CFCD.如图，过点F作FGCD交CD于点G，得FGFCsin 60，所以DEFG，故MEPE，所以MD.SCDEDEDC1.故VMCDEMDSCDE.2.如图，在四棱锥PABCD中，PA底面直角梯形ABCD，DAB为直角，ADCD2，AB1，E，F分别为PC，CD的中点.(1)求证：CD平面BEF；(2)设PAk，且二面角EBDC的平面角大于30，求k的取值范围. 考点：线面垂直，二面角(1)证明如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，F(1,2,0)，从而(2,0,0)，(0,2,0)，所以0，故，即DCBF.设PAb，则P(0,0，b).因为E为PC的中点，所以E(1,1，)，从而(0,1，)，所以0，故，即DCBE.又BEBFB，所以CD平面BEF.(2)解设E在xOy平面上的射影为G，过点G作GHBD，垂足为点H，连结EH，由BD平面EGH，又EH平面EGH，EHBD，从而EHG即为二面角EBDC的平面角.由PAk，得P(0,0，k)，E(1,1，)，G(1,1,0).设H(x，y,0)，则(x1，y1,0)，(1,2,0).由0，得(x1)2(y1)0，即x2y1.又(x1，y,0)，且与的方向相同，故，即2xy2.由解得x，y，从而(，0)，所以|.从而tanEHGk.由k0知EHG是锐角，由EHG30，得tanEHGtan 30，即k.故k的取值范围为k.3.如图所示，平面ABDE平面ABC，ABC是等腰直角三角形，ACBC4，四边形ABDE是直角梯形，BDAE，BDBA，BDAE2，O，M分别为CE，AB的中点.(1)求证：OD平面ABC；(2)求直线CD和平面ODM所成角的正弦值；(3)能否