全国中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编 专题9 由运动产生的线段和差问题.doc

2012年全国中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编专题9：由运动产生的线段和差问题一、选择题1. （2012湖北黄石3分）如图所示，已知a，b为反比例函数图像上的两点，动点p在x正半轴上运动，当线段ap与线段bp之差达到最大时，点p的坐标是【 】a. b. c. d. 【答案】d。【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形三边关系。【分析】把a，b分别代入反比例函数 得：y1=2，y2= ，a（ ，2），b（2， ）。在abp中，由三角形的三边关系定理得：|apbp|ab，延长ab交x轴于p，当p在p点时，papb=ab，即此时线段ap与线段bp之差达到最大。设直线ab的解析式是y=kx+b，把a、b的坐标代入得： ，解得：。直线ab的解析式是。当y=0时，x= ，即p（ ，0）。故选d。二、填空题三、解答题1.（2012北京市8分）在平面直角坐标系xoy中，对于任意两点p1（x1,y1）与p2（x2,y2）的“非常距离”，给出如下定义： 若x1x2y1y2，则点p1与点p2的“非常距离”为x1x2； 若x1x2y1y2，则点p1与点p2的“非常距离”为y1y2. 例如：点p1（1,2），点p2（3,5），因为1325，所以点p1与点p2的“非常距离”为25=3，也就是图1中线段p1q与线段p2q长度的较大值（点q为垂直于y轴的直线p1q与垂直于x轴的直线p2q的交点）。 （1）已知点，b为y轴上的一个动点， 若点a与点b的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点b的坐标； 直接写出点a与点b的“非常距离”的最小值； （2）已知c是直线上的一个动点， 如图2，点d的坐标是（0，1），求点c与点d的“非常距离”的最小值及相应的点c的坐标； 如图3，e是以原点o为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点c与点e的“非常距离”的最小值及相应的点e和点c的坐标。 【答案】解：（1）（0，2）或（0，2）。（2）设c坐标为，如图，过点c作cpx轴于点p，作cqy轴于点q。 由“非常距离”的定义知，当op=dq时，点c与点d的“非常距离”最小，。两边平方并整理，得，解得，或（大于，舍去）。点c与点d的“非常距离”的最小值距离为，此时。设直线与x轴和y轴交于点a，b，过点o作直线的垂线交直线于点c，交圆于点e，过点c作cpx轴于点p，作cqy轴于点q，过点e作emx轴于点m，作eny轴于点n。易得，oa=4，ob=3，ab=5。由oabmem，oe=1，得om=，on=。设c坐标为由“非常距离”的定义知，当mp=nq时，点c与点e的“非常距离”最小，。两边平方并整理，得，解得，或（大于，舍去）。点c与点e的“非常距离”的最小值距离为1，此时，。【考点】新定义，直线上点的坐标与方程的关系，直线和圆的性质，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的和性质。【分析】（1）根据“非常距离”的定义可直接求出。 （2）解题关键是，过c点向x、y轴作垂线，当cp和cq长度相等的时候“非常距离”最短，理由是，如果向下（如左图）或向上（如右图）移动c点到达c点，其与点d的“非常距离”都会增大。故而c、d为正方形相对的两个顶点时有最小的非常距离。 同，同时理解当oc垂直于直线时，点c与点e的“非常距离”最小。2. （2012广西南宁10分）已知点a（3，4），点b为直线x=-1上的动点，设b（1，y）（1）如图1，若点c（x，0）且1x3，bcac，求y与x之间的函数关系式；（2）在（1）的条件下，y是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由；（3）如图2，当点b的坐标为（1，1）时，在x轴上另取两点e，f，且ef=1线段ef在x轴上平移，线段ef平移至何处时，四边形abef的周长最小？求出此时点e的坐标【答案】解：（1）如图1，过点a作aex轴于点e在bcd与cae中，bcd=cae=90ace，bdc=cea=90，bcdcae，。a（3，4），b（1，y），c（x，0）且1x3，。y与x之间的函数关系式为（1x3）。（2）y没有最大值。理由如下：，又1x3，y没有最大值。（3）如图2，过点a作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段aa，使aa=1，作点b关于x轴的对称点b，连接ab，交x轴于点e，在x轴上截取线段ef=1，则此时四边形abef的周长最小。a（3，4），a（2，4）。b（1，1），b（1，1）。设直线ab的解析式为y=kx+b，则，解得。直线ab的解析式为。当y=0时，解得。线段ef平移至如图2所示位置时，四边形abef的周长最小，此时点e的坐标为（，0）。【考点】一次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，轴对称的性质，三角形三边关系。【分析】（1）过点a作aex轴于点e，先证明bcdcae，再根据相似三角形对应边成比例即可求出y与x之间的函数关系式。（2）先运用配方法将写成顶点式，再根据自变量x的取值范围即可求解。（3）欲使四边形abef的周长最小，由于线段ab与ef是定长，所以只需be+af最小为此，先确定点e、f的位置：过点a作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段aa，使aa=1，作点b关于x轴的对称点b，连接ab，交x轴于点e，在x轴上截取线段ef=1，则点e、f的位置确定再根据待定系数法求出直线ab的解析式，然后令y=0，即可求出点e的横坐标，从而得出点e的坐标。3. （2012山东滨州10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过a（2，4），o（0，0），b（2，0）三点（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（2）若点m是该抛物线对称轴上的一点，求am+om的最小值【答案】解：（1）把a（2，4），o（0，0），b（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得，解这个方程组，得。抛物线的解析式为y=x2+x。（2）由y=x2+x=（x1）2+，可得抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段ob。om=bm。om+am=bm+am。连接ab交直线x=1于m点，则此时om+am最小。过点a作anx轴于点n，在rtabn中，因此om+am最小值为。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程组，二次函数的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，勾股定理。【分析】（1）已知抛物线上不同的三点坐标，利用待定系数法可求出该抛物线的解析。（2）根据o、b点的坐标发现：抛物线上，o、b两点正好关于抛物线的对称轴对称，那么只需连接a、b，直线ab和抛物线对称轴的交点即为符合要求的m点，而am+om的最小值正好是ab的长。对x=1上其它任一点m，根据三角形两边之和大于第三边的性质，总有：o m+a m= b m+a mab=om+am，即om+am为最小值。4. （2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与一直线相交于a（1，0），c（2，3）两点，与y轴交于点n其顶点为d（1）抛物线及直线ac的函数关系式；（2）设点m（3，m），求使mn+md的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线ac相交于点b，e为直线ac上的任意一点，过点e作efbd交抛物线于点f，以b，d，e，f为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点e的坐标；若不能，请说明理由；（4）若p是抛物线上位于直线ac上方的一个动点，求apc的面积的最大值【答案】解：（1）由抛物线y=x2+bx+c过点a（1，0）及c（2，3）得，解得。抛物线的函数关系式为。设直线ac的函数关系式为y=kx+n，由直线ac过点a（1，0）及c（2，3）得，解得。直线ac的函数关系式为y=x+1。（2）作n点关于直线x=3的对称点n， 令x=0，得y=3，即n（0，3）。n（6，3）由得d（1，4）。设直线dn的函数关系式为y=sx+t，则，解得。故直线dn的函数关系式为。根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当m（3，m）在直线dn上时，mn+md的值最小，。使mn+md的值最小时m的值为。（3）由（1）、（2）得d（1，4），b（1，2）， 当bd为平行四边形对角线时，由b、c、d、n的坐标知，四边形bcdn是平行四边形，此时，点e与点c重合，即e（2，3）。 当bd为平行四边形边时，点e在直线ac上，设e（x，x+1），则f（x，）。又bd=2若四边形bdef或bdfe是平行四边形时，bd=ef。，即。若，解得，x=0或x=1（舍去），e（0，1）。若，解得，e或e。综上，满足条件的点e为（2，3）、（0，1）、。（4）如图，过点p作pqx轴交ac于点q；过点c作cgx轴于点g， 设q（x，x+1），则p（x，x2+2x+3）。 。 ，当时，apc的面积取得最大值，最大值为。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，轴对称的性质，三角形三边关系，平行四边形的判定和性质，二次函数的最值。【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式。（2）根据轴对称的性质和三角形三边关系作n点关于直线x=3的对称点n，当m（3，m）在直线dn上时，mn+md的值最小。（3）分bd为平行四边形对角线和bd为平行四边形边两种情况讨论。（4）如图，过点p作pqx轴交ac于点q；过点c作cgx轴于点g，设q（x，x+1），则p（x，x2+2x+3），求得线段pq=x2+x+2。由图示以及三角形的面积公式知，由二次函数的最值的求法可知apc的面积的最大值。5. （2012湖北黄冈14分）如图，已知抛物线的方程c1:与x 轴相交于点b、c，与y 轴相交于点e，且点b 在点c 的左侧.(1)若抛物线c1过点m(2，2)，求实数m 的值(2)在(1)的条件下，求bce的面积(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点h，使bh+eh最小，并求出点h的坐标(4)在第四象限内，抛物线c1上是否存在点f，使得以点b、c、f为顶点的三角形与bce相似?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）抛物线c1过点m(2，2)，解得m=4。（2）由（1）得。 令x=0，得。e（0，2），oe=2。 令y=0，得，解得x1=2，x=4。b（2，0），c（4，0），bc=6。 bce的面积=。（3）由（2）可得的对称轴为x=1。 连接ce，交对称轴于点h，由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，知此时bh+eh最小。 设直线ce的解析式为，则 ，解得。直线ce的解析式为。 当x=1时，。h（1，）。（4）存在。分两种情形讨论： 当becbcf时，如图所示。则，bc2=bebf。由（2）知b（2，0），e（0，2），即ob=oe，ebc=45，cbf=45。作ftx轴于点f，则bt=tf。令f（x，x2）（x0），又点f在抛物线上，x2=，x+20（x0），x=2m，f（2m，2m2）。此时，又bc2=bebf，（m+2）2= ，解得m=2。m0，m=+2。当becfcb时，如图所示。则，bc2=ecbf。同，ebc=cfb，btfcoe，。令f（x，（x+2）（x0），又点f在抛物线上，（x+2）=。x+20（x0），x=m+2。f（m+2，（m+4），bc=m+2。又bc2=ecbf，（m+2）2= .整理得：0=16，显然不成立。综合得，在第四象限内，抛物线上存在点f，使得以点b、c、f为顶点的三角形与bce相似，m=+2。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）将点（2，2）的坐标代入抛物线解析式，即可求得m的值。（2）求出b、c、e点的坐标，从而求得bce的面积。（3）根据轴对称以及两点之间线段最短的性质，可知点b、c关于对称轴x=1对称，连接ec与对称轴的交点即为所求的h点。（4）分两种情况进行讨论：当becbcf时，如图所示，此时可求得+2。当becfcb时，如图所示，此时得到矛盾的等式，故此种情形不存在。6. （2012湖南郴州10分）如图，已知抛物线经过a（4，0），b（2，3），c（0，3）三点（1）求抛物线的解析式及对称轴（2）在抛物线的对称轴上找一点m，使得ma+mb的值最小，并求出点m的坐标（3）在抛物线上是否存在一点p，使得以点a、b、c、p四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点p的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）抛物线经过a（4，0），b（2，3），c（0，3）三点， ，解得。抛物线的解析式为：，其对称轴为：。（2）由b（2，3），c（0，3），且对称轴为x=1，可知点b、c是关于对称轴x=1的对称点。如图1所示，连接ac，交对称轴x=1于点m，连接mb，则mamb=mamc=ac，根据两点之间线段最短可知此时mamb的值最小。设直线ac的解析式为y=kxb，a（4，0），c（0，3）， ，解得。直线ac的解析式为：y=x3。令x=1，得y= 。m点坐标为（1，）。（3）结论：存在。如图2所示，在抛物线上有两个点p满足题意：若bcap1，此时梯形为abcp1。由b（2，3），c（0，3），可知bcx轴，则x轴与抛物线的另一个交点p1即为所求。在中令y=0，解得x1=-2，x2=4。p1（2，0）。p1a=6，bc=2，p1abc。四边形abcp1为梯形。若abcp2，此时梯形为abcp2。设cp2与x轴交于点n，bcx轴，abcp2，四边形abcn为平行四边形。an=bc=2。n（2，0）。设直线cn的解析式为y=k1x+b1，则有： ，解得。直线cn的解析式为：y=x+3。点p2既在直线cn：y=x+3上，又在抛物线：上，x+3=，化简得：x26x=0，解得x1=0（舍去），x2=6。点p2横坐标为6，代入直线cn解析式求得纵坐标为6。p2（6，6）。abcn，ab=cn，而cp2cn，cp2ab。四边形abcp2为梯形。综上所述，在抛物线上存在点p，使得以点a、b、c、p四点为顶点所构成的四边形为梯形，点p的坐标为（2，0）或（6，6）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，线段最短的性质，梯形的判定。【分析】（1）已知抛物线上三点a、b、c的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再由对称轴公式求出对称轴。（2）如图1所示，连接ac，则ac与对称轴的交点即为所求之m点；已知点a、c的坐标，利用待定系数法求出直线ac的解析式，从而求出点m的坐标。（3）根据梯形定义确定点p，如图2所示：若bcap1，确定梯形abcp1此时p1为抛物线与x轴的另一个交点，解一元二次方程即可求得点p1的坐标；若abcp2，确定梯形abcp2此时p2位于第四象限，先确定cp2与x轴交点n的坐标，然后求出直线cn的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点p2的坐标。7. （2012四川自贡14分）如图，抛物线l交x轴于点a（3，0）、b（1，0），交y轴于点c（0，3）将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1（1）求l1的解析式；（2）在l1的对称轴上找出点p，使点p到点a的对称点a1及c两点的距离差最大，并说出理由；（3）平行于x轴的一条直线交抛物线l1于e、f两点，若以ef为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径【答案】解：（1）如图1，设经翻折后，点ab的对应点分别为a1、b1，依题意，由翻折变换的性质可知a1（3，0），b1（1，0），c点坐标不变，抛物线l1经过a1（3，0），b1（1，0），c（0，3）三点，设抛物线l1的解析式为y=ax2+bx+