第五章 特征值与特征向量.doc

第五章 特征值与特征向量2007.49矩阵A=的非零特征值为（）A4 B3 C2 D116设向量=（1，2，3），=（3，2，1），则向量，的内积（，）=_.25设矩阵A=，求正交矩阵P，使P-1AP为对角矩阵.26利用施密特正交化方法，将下列向量组化为正交的单位向量组：1=， 2=. 2007.78设3阶实对称矩阵A的特征值为1=2=0，3=2，则秩（A）=（）A0 B1 C2 D39设A为n阶正交矩阵，则行列式|A2|=（）A-2 B-1 C1 D218已知3维向量=（1，3，-1）T，=（-1，2，4）T，则内积（，）=_.19已知矩阵A=的一个特征值为0，则x=_.26设矩阵A=，求可逆矩阵P及对角矩阵D，使得P-1AP=D.2007.108设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为2，2，3. 则|B-1|=（）A B C7 D129设A为3阶矩阵，且已知|3A+2E|=0，则A必有一个特征值为（）A B C D15设向量=（1，1，1），则它的单位化向量为_.18设A为n阶可逆矩阵，已知A有一个特征值为2，则（2A）-1必有一个特征值为_.22设向量=（1，2，3，4），=（1，-1，2，0），求（1）矩阵T； （2）向量与的内积（，）26求矩阵A=的全部特征值及对应的全部特征向量.2008.18.设A与B是两个相似n阶矩阵，则下列说法错误的是（）A.B.秩（A）=秩（B）C.存在可逆阵P，使P-1AP=BD.E-A=E-B9.与矩阵A=相似的是（）A. B. C. D.15.已知A有一个特征值-2,则B=A+2E必有一个特征值_.18.矩阵A=的全部特征向量是_.19.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似,则=_.26. 设A=,求P使为对角矩阵.2008.48设3阶方阵A的特征值为1，-1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（）AE-A B-E-A C2E-A D-2E-A9设=2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵（A2）-1必有一个特征值等于（）A B C2 D416.已知向量=（2，1，0，3）T，=（1，-2，1，k）T，与的内积为2，则数k=_.17.设向量=（b,）T为单位向量，则数b=_.18.已知=0为矩阵A=的2重特征值，则A的另一特征值为_.26.设矩阵A=，（1）求矩阵A的特征值与对应的全部特征向量.（2）判定A是否可以与对角矩阵相似，若可以，求可逆矩阵P和对角矩阵，使得P-1AP=.2008.77.若A与B相似，则（）A. A，B都和同一对角矩阵相似 B.A，B有相同的特征向量C. D.|A|=|B|9.下列向量中与=（1，1，-1）正交的向量是（）A. =（1，1，1） B. =（-1，1，1） C. =（1，-1，1） D. =（0，1，1）18.设三阶方阵A的三个特征值为1，2，3. 则|A+E|=_.19. 设与的内积（，）=2，=2，则内积（2+，-）=_.25已知A=，求其特征值与特征向量.26.设A=，求.2008.108已知矩阵A与对角矩阵D=相似，则=（）AA BD CE D-E9设矩阵A=，则A的特征值为（）A1，1，0 B-1，1，1 C1，1，1 D1，-1，-110设A为n(n2)阶矩阵，且=E，则必有（）AA的行列式等于1 BA的逆矩阵等于ECA的秩等于n DA的特征值均为117已知3阶矩阵A的3个特征值为1，2，3，则|A*|= _.18设3阶实对称矩阵A的特征值为，则r(A)= _.26已知矩阵A=，求正交矩阵P和对角矩阵，使=.2009.18设矩阵A=，则A的线性无关的特征向量的个数是（）A1 B2 C3 D49设向量=（4，-1，2，-2），则下列向量是单位向量的是（）A B C D17已知3阶方阵A的特征值为1，-3，9，则_.18已知向量=（1，2，-1）与向量=（0，1，y）正交，则y=_.26设矩阵A=，求可逆矩阵P，使为对角矩阵.2009.48若2阶矩阵A相似于矩阵B=，E为2阶单位矩阵，则与矩阵E-A相似的矩阵是（ ）A B C D18.设2阶实对称矩阵A的特征值为1，2，它们对应的特征向量分别为=(1，1)T,=(1，k)T，则数k=_.19.已知3阶矩阵A的特征值为0，-2，3，且矩阵B与A相似，则|B+E|=_.25.设矩阵B=， （1）判定B是否可与对角矩阵相似，说明理由；（2）若B可与对角矩阵相似，求对角矩阵和可逆矩阵P，使P-1BP=27.已知A是n阶矩阵，且满足方程A2+2A=0,证明A的特征值只能是0或-2.2009.78.下列矩阵是正交矩阵的是( )A. B. C. D.18.向量。19.若矩阵A=与矩阵B=相似，则x=_。25.设矩阵A=，求矩阵A的全部特征值和特征向量。2009.107已知3阶矩阵的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（）A B. C D18已知3阶矩阵的特征值分别为1，2，3，则|E+A|=_.19已知向量与正交，则数_.25设矩阵，存在，使得；存在使得.试求可逆矩阵，使得.2010.18.设矩阵A=，则以下向量中是A的特征向量的是( )A.（1，1，1）T B.（1，1，3）T C.（1，1，0）T D.（1，0，-3）T9.设矩阵A=的三个特征值分别为1，2，3，则1+2+3 = ( )A.4 B.5 C.6 D.718.设n阶矩阵A有一个特征值3，则|-3E+A|=_19.设向量=（1，2，-2），=（2，a，3），且与正交，则a=_23.设向量，求.26.设矩阵A=，求可逆方阵P，使P-1AP为对角矩阵.2010.49.设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（ ）A. B. C. D.17.设n阶可逆矩阵A的一个特征值是-3，则矩阵必有一个特征值为_18.设矩阵A的特征值为4，1，-2，则数x=_19.已知A是正交矩阵，则a+b=_26.设矩阵A=的三个特征值分别为1，2，5，求正的常数a的值及可逆矩阵P，使=。27.设A，B，A+B均为n阶正交矩阵，证明。2010.77.设A为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A+2E |=( )A.0 B.2 C.3 D.249.若向量=（1，-2,1）与=(2，3，t)正交，则t=( )A.-2 B.0 C.2 D.414.设=（-1，2，2），则与反方向的单位向量是_.16.设A为3阶方阵，特征值分别为-2，1，则| 5A-1 |=_.20.设=，则A=T的非零特征值是_.25.已知A=的一个特征向量=（1,1，-1）T，求a，b及所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量.2010.1017.已知P是3阶正交矩,向量_.18.设2是矩阵A的一个特征值,则矩阵3A必有一个特征值为_.19.与矩阵A=相似的对角矩阵为_.25.已知3阶矩阵A的特征值为-1,1,2,设B=A2+2A-E,求(1)矩阵A的行列式及A的秩.(2)矩阵B的特征值及与B相似的对角矩阵.四、证明题(本题6分)27.设n阶矩阵A满足A2=E,证明A的特征值只能是.2011.18.设，为矩阵A=的三个特征值，则=（ ）A.20 B.24 C.28 D.309.设P为正交矩阵，向量的内积为（）=2，则（）=（ ）A. B.1 C. D.218.设方阵A有一个特征值为0，则|A3|=_.19.设向量（-1，1，-3），（2，-1，）正交，则=_.26.求矩阵的特征值和特征向量.2011.48设=3是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵14A-1有一个特征值等于（ ）A-43 B-34 C34 D439设矩阵A=-100212312，则A的对应于特征值=0的特征向量为（ ）A（0，0，0）TB（0，2，-1）TC（1，0，-1）TD（0，1，1）T17设向量=（1，2，3，4），则的单位化向量为_.19设3阶矩阵A与B相似，若A的特征值为，则行列式|B-1|=_.25已知2阶矩阵A的特征值为1=1，2=9，对应的特征向量依次为1=（-1，1）T，2=（7，1）T，求矩阵A.26已知矩阵A相似于对角矩阵=-1002，求行列式|A-E|的值.2011.79设A=，则下列矩阵中与A相似的是（）A B C D16已知A相似于，则|A-E|=_.17矩阵的特征值是_.18与矩阵相似的对角矩阵是_.19设A相似于，则A4_.25已知1,1,-1是三阶实对称矩阵A的三个特征值，向量、是A的对应于的特征向量，求A的属于的特征向量.2011.107.设向量=（1，-2，3）与=（2，k，6）正交，则数k为（ ）A.-10B.-4C.3D.109.设3阶方阵A的特征多项式为则( )A.-18B.-6C.6D.1810.若3阶实对称矩阵是正定矩阵，则A的3个特征值可能为（ ）A.-1，-2，-3B.-1，-2，3C.-1，2，3D.1，2，318.设3阶方阵A的秩为2，且则A的全部特征值为_.19.设矩阵有一个特征值对应的特征向量为则数a=_.25.已知2阶方阵A的特征值为及方阵（1）求B的特征值；（2）求B的行列式.2012.18设三阶方阵A的特征值分别为，则A-1的特征值为（ ）A B C D2,4,39设矩阵A=，则与矩阵A相似的矩阵是（ ）A B C D18设方阵A有一个特征值为8，则det（-8E+A）=_19设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则|Px|=_24设三阶矩阵A=，求矩阵A的特征值和特征向量2012.48.设A是n阶方阵，且|5A+3E|=0，则A必有一个特征值为( )A.B.C.D.9.若矩阵A与对角矩阵D=相似，则A3=( )A.EB.DC.AD.-E17.设A为3阶矩阵，若A的三个特征值分别为1，2，3，则|A|=_.18.设A为3阶矩阵，且|A|=6，若A的一个特征值为2，则A*必有一个特征值为_.26.已知向量(1,1,1)