（新课标）高考数学二轮复习 专题5 立体几何 第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积 理.doc

第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积空间几何体的三视图【教师备用】 若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是(b)解析:由题意知,选项a,c中所给的几何体的正视图、俯视图不符合要求,选项d中所给几何体的侧视图不符合要求.故选b.1.(2014福建卷)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是(a)(a)圆柱 (b)圆锥(c)四面体(d)三棱柱解析:圆柱的正视图是矩形或圆,不可能是三角形,则该几何体不可能是圆柱.故选a.2.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为(d)(a)1(b)2(c)3(d)4解析:由题意可知,几何体是三棱锥,其放置在长方体中形状如图中三棱锥abcd,利用长方体模型可知,此三棱锥的四个面,全部是直角三角形.故选d.3. (2014湖北卷)在如图所示的空间直角坐标系oxyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为(d)(a)和(b)和(c)和(d)和解析:在空间直角坐标系oxyz中作出棱长为2的正方体,在该正方体中作出四面体,如图所示,由图可知,该四面体的正视图为,俯视图为.故选d.空间几何体的表面积与体积4.(2015新课标全国卷)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(d)(a)18(b)17(c)16(d)15解析:由三视图可知,该几何体是一个正方体截去了一个三棱锥,即截去了正方体的一个角.设正方体的棱长为1,则正方体的体积为1,截去的三棱锥的体积为v1=1312111=16,故剩余部分的体积为v2=56,所求比值为v1v2=15.5. (2015大庆市二检)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为(a)(a)32+4(b)24+4(c)12+43 (d)24+43解析:该几何体为长方体与球的组合体,其中长方体的棱长分别为2,2,3,球的半径为1,故其表面积为222+234+412=32+4,故选a.6.(2015河北沧州质检)已知一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为8+163,则其俯视图的面积为(b)(a)+2(b)2+4(c)2+6(d)43+4解析:三视图所对应的空间几何体为一半圆锥拼接一三棱锥,因为v=1213a24+12132aa4=23a2(+2)=8+163,所以a2=4,所以俯视图的面积为12a2+122aa=2+4,故选b.多面体与球的切接问题【教师备用】 (2015东北三校联合二模)一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图为等腰直角三角形,正视图和侧视图是全等的等腰三角形,则此三棱锥外接球的表面积为(b)(a)16(b)9(c)4(d)解析:由三视图可知立体图形如图所示.由三视图知顶点a在底面bcd上的射影e为bd中点,ae底面bcd,bccd,bc=cd=2,bd=22,ae=2,设o为外接球球心,ao=r,oe=2-r,则ab=ae2+be2=6,在rtboe中r2=(2-r)2+(2)2,得r=32,因为s=4r2,所以此三棱锥外接球的表面积为9.【教师备用】 (2015甘肃兰州第二次监测)已知长方体abcda1b1c1d1的各个顶点都在球o的球面上,若球o的表面积为16,且abadaa1=312,则球心o到平面abcd的距离为(b)(a)1(b)2(c)3(d)2解析:设外接球o的半径为r,则4r2=16,所以r=2,由题意知长方体的对角线为球的直径,又abadaa1=312,设ad=x,ab=3x,aa1=2x,则x2+(3x)2+(2x)2=42,解得x=2,球心o到平面abcd的距离为12aa1=x=2,选b.7.(2015江西上饶三模)从点p 出发的三条射线pa,pb,pc两两成60角,且分别与球o相切于a,b,c三点,若op=3,则球的体积为(c)(a)3(b)23(c)43(d)83解析: 设op交平面abc于o,由题得abc和pab为正三角形,所以oa=33ab=33ap,因为aopo,oapa,所以opoa=apao,aoab=33,aoap=33,所以oa=opoaap=333=1,即球的半径为1,所以其体积为4313=43.选c.8.(2015东北三校第一次联合模拟)三棱柱abca1b1c1各顶点都在一个球面上,侧棱与底面垂直,acb=120,ca=cb=23,aa1=4,则这个球的表面积为.解析:在abc中,acb=120,ca=cb=23,由余弦定理可得ab=6,由正弦定理可得abc外接圆半径r=23,设此圆圆心为o,球心为o,在rtoao中,球半径r=4+12=4,故球的表面积为s=4r2=64.答案:64一、选择题1.某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是(d)解析:根据几何体的三视图知识求解.由于该几何体的正视图和侧视图相同,且上部是一个矩形,矩形中间无实线和虚线,因此俯视图不可能是选项d.2.(2015河南模拟)如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且其体积为4,则该几何体的俯视图可以是(d)解析:根据正视图与侧视图的形状和几何体的体积是4,知底面积是4,所以底面是一个半径为1的四分之一圆,故选d.3.(2015河南六市第二次联考)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,其中侧视图是一个边长为2的正三角形,则这个几何体的体积是(b)(a)2 cm3(b)3 cm3 (c)3 cm3(d)3 cm3解析:由三视图可知几何体如图所示,其侧面pcb与底面垂直,且pcb为边长为2的正三角形,底面为直角梯形,上底为1,下底为2,高为2,所以四棱锥的体积为v=1312(1+2)2322=3.【教师备用】 (2015怀化二模)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的x的值是(d)(a)2(b)92(c)32(d)3解析:根据三视图判断几何体为四棱锥,其直观图如图所示.v=131+222x=3x=3.故选d.【教师备用】 (2015太原市高三模拟)已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是扇形,则该几何体的体积为(b)(a)4(b)2(c)43(d)23解析: 由正视图可知该几何体的高为h=3,其俯视图如图,oa=ob=2,ac=3,acob,所以aob=3,弧ab的长为23,所以扇形面积为s=12223=23,所以几何体的体积为v=323=2.选b.【教师备用】 (2015宁夏石嘴山高三联考)一个四棱锥的三视图如图所示,那么这个四棱锥的表面积是(a)(a)9+23+52(b)9+232(c)9+252(d)11+52解析:由三视图可知,其直观图如图,sabc=1212=1,sabe=1222=2,sacd=1211+22=52,可知adde,ad=2+4=6,de=2,sade=1226=3,s梯形bcde=12(1+2)1=32,故其表面积为s=1+2+52+3+32=9+23+52.选a.4. (2015黑龙江高三模拟)一个四面体的顶点都在球面上,它们的正视图、侧视图、俯视图都如图所示.图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形.则这个四面体的外接球的表面积是(b) (a)(b)3(c)4(d)6解析:由三视图可知,该四面体是正方体的一个内接正四面体,且正方体的棱长为1,所以内接正方体的对角线长为3,即球的直径为3,所以球的表面积为s=4(32)2=3,故选b.5.(2015辽宁沈阳高三一模)已知直三棱柱abca1b1c1中,所有棱的长都为3,顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(b)(a)9(b)21(c)33(d)45解析:如图,因为所有棱的长都为3,所以oo1=32,oa即为其外接球的半径r,又ao1=23323=3,所以r2=oo12+ao12=(32)2+(3)2=214,所以s球=4r2=21.选b.6.(2015贵州省适应性考试)一个四面体的顶点在空间直角坐标系oxyz中的坐标分别是(0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),该四面体的体积为(a)(a)13(b)64(c)1(d)23解析:如图所示,正方体棱长为1,依题意知,该四面体为oabc,其体积为v=111-41312111=1-23=13.选a.【教师备用】 (2015郑州第一次质量预测)某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则xy的最大值为(c)(a)32(b)327(c)64(d)647解析:设三棱锥的高为h,则根据三视图可得h2+(27)2=x2,h2+y2=102,所以x2+y2=128,因为x0,y0,所以x2+y22xy,所以xy64,当且仅当x=y=8时取“=”号,故xy的最大值为64.选c.【教师备用】 (2015广西南宁二模)已知如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为(b)(a)24(b)6(c)4(d)2解析:依题意知,该几何体是一个如图所示的三棱锥abcd,其中ab平面bcd,ab=2,bc=cd=2,bd=2,将该三棱锥补成一个正方体,则有(2r)2=(2)2+(2)2+(2)2=6,所以r=62,所以外接球的表面积为s=4r2=4(62)2=6.选b.【教师备用】 (2015唐山市一模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(c)(a)4 (b)21+3(c)33+12(d)332+12解析:根据三视图可知该几何体是正六边形截得的正方体下方的几何体,因为正方体的棱长为2,所以根据分割的正方体的2个几何体的对称性得,s1=12622=12,正六边形的面积为634(2)2=33,所以该几何体的表面积为12+33.选c.二、填空题7.(2015广西南宁二模)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为s1,s2,体积分别为v1,v2,若它们的侧面积相等且v1v2=32,则s1s2的值是.解析:设两个圆柱的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2,则由题意知,v1v2=r12h1r22h2=r12r22h1h2=32,又2r1h1=2r2h2,所以h1h2=r2r1, 把代入可得,r1r2=32,所以s1s2=(r1r2)2=(32)2=94.答案:94【教师备用】 (2015辽宁沈阳高三一模)已知某多面体的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形,则此多面体最长的一条棱长为.解析:由三视图知,该几何体是一个四棱锥,如图所示,其底面是直角梯形,ad=4,ab=4,oa=4,bc=1,则od=42+42=32,cd=32+42=5,ob=42+42=32,oc=ob2+bc2=32+1=33,故多面体最长的一条棱长为33.答案:338.一个