高中数学 第1章 导数及其应用 1.5.1 曲边梯形的面积课件 苏教版选修22.ppt

1 5 1曲边梯形的面积 第1章1 5定积分 选学 学习目标1 了解 以直代曲 以不变代变 的思想方法 2 会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点曲边梯形的面积 如何计算下列两图形的面积 答案 答案 直接利用梯形面积公式求解 转化为三角形和梯形求解 思考2 如图 为求由抛物线y x2与直线x 1 y 0所围成的平面图形的面积s 图形与我们熟悉的 直边图形 有什么区别 答案 答案已知图形是由直线x 1 y 0及y x2所围成的 可称为曲边梯形 曲边梯形的一条边为曲线段 而 直边图形 的所有边都是直线段 1 曲边梯形 由直线x a x b a b y 0和曲线y f x 所围成的图形称为曲边梯形 如图 所示 梳理 2 求曲边梯形面积的方法将已知区间 a b 等分成n个小区间 当分点非常多 n很大 时 可以认为f x 在小区间上几乎没有变化 或变化非常小 从而可以取小区间内对应的函数值作为小矩形一边的长 于是 可用来近似表示小曲边梯形的面积 这样 和式表示了曲边梯形面积的近似值 如图 所示 3 求曲边梯形面积的步骤 分割 以直代曲 作和 逼近 任意一点xi f xi f xi x f x1 x f x2 x f xn x 题型探究 例1求由直线x 0 x 1 y 0和曲线y x x 1 围成的图形面积 解答 类型一求曲边梯形的面积 解 1 分割 从而得到n个小曲边梯形 它们的面积分别记作 s1 s2 si sn 2 以直代曲 3 作和 4 逼近 求曲边梯形的面积 1 思想 以直代曲 2 步骤 分割 以直代曲 作和 逼近 3 关键 以直代曲 4 结果 分割越细 面积越精确 反思与感悟 5 求和时可用到一些常见的求和公式 如 跟踪训练1求由抛物线y x2与直线y 4所围成的曲边梯形的面积 解答 解 y x2为偶函数 图象关于y轴对称 所求曲边梯形的面积应为抛物线y x2 x 0 与直线x 0 y 4所围图形面积s阴影的2倍 下面求s阴影 如图所示 先求由直线x 0 x 2 y 0和曲线y x2围成的曲边梯形的面积 1 分割将区间 0 2 n等分 2 以直代曲 作和 3 逼近当n 时 例2当汽车以速度v做匀速直线运动时 经过时间t所行驶的路程s vt 如果汽车做变速直线运动 在时刻t的速度为v t t2 2 单位 km h 那么它在1 t 2 单位 h 这段时间行驶的路程是多少 类型二求变速运动的路程 解答 解将区间 1 2 等分成n个小区间 当n 时 引申探究本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高 试求出行驶路程 比较两次求出的结果是否一样 解答 当n 时 所以分别用小区间的两个端点求出的行驶路程是相同的 求变速直线运动路程的问题 方法和步骤类似于求曲边梯形的面积 用 以直代曲 逼近 的思想求解 求解过程为 分割 以直代曲 作和 逼近 应特别注意变速直线运动的时间区间 反思与感悟 跟踪训练2一辆汽车在笔直的公路上变速行驶 设汽车在时刻t的速度为v t t2 5 t的单位 h v的单位 km h 试计算这辆汽车在0 t 2这段时间内汽车行驶的路程s 单位 km 解答 解 分割在时间区间 0 2 上等间隔地插入 n 1 个分点 以直代曲 作和 逼近 当堂训练 1 把区间 1 3 n等分 所得n个小区间的长度均为 答案 2 3 4 5 1 解析区间 1 3 的长度为2 故n等分后 每个小区间的长度均为 解析 2 若1n的力能使弹簧伸长2cm 则使弹簧伸长12cm时 克服弹力所做的功为 答案 2 3 4 5 1 0 36j 3 一物体沿直线运动 其速度v t t 这个物体在t 0到t 1这段时间内所走的路程为 2 3 4 5 1 答案 4 直线y 0 x 1 x 2 曲线y x2围成的曲边梯形的面积为 2 3 4 5 1 答案 5 求由直线x 0 x 1 y 0及曲线f x x2所围成的图形的面积 2 3 4 5 1 解答 解 1 分割 2 3 4 5 1 过各区间端点作x轴的垂线 将曲边梯形分成n个小曲边梯形 它们的面积分别记作 s1 s2 sn 2 以直代曲 2 3 4 5 1 3 作和曲边梯形的面积为 2 3 4 5 1 4 逼近当n 时 2 3 4 5 1 规律与方法 1 求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤 1 分割 n等分区间 a b 2 以直代曲 取点 i