不等式选讲 (2).doc

不等式选讲一、考试说明要求：内 容要 求ABC不等式的基本性质含有绝对值的不等式的求解不等式的证明（比较法、综合法、分析法）算术几何不等式、柯西不等式及排序不等式利用不等式求最大（小）值数学归纳法与不等式二、应知应会知识和方法：1解不等式|x2|x1|5解法一 利用“去绝对值，转化为不等式组”原不等式可化为或或即或或即x3，或x2，所以，原不等式的解集是(，32，)解法二 利用“绝对值的几何意义”因为|x2|x1|5表示数轴上到2，1分别对应的点A，B的距离之和不小于5的点P对应的数，而点A，B之间的任意一点M到A，B的距离之和为|1(2)|35，所以P在A，B之外，若P在A的左侧，则P到A的距离增加1，则P到A，B的距离之和增加2，所以|x2|x1|5的解为x2或x1，即x3或x2，所以原不等式的解集是(，32，)变题1 解不等式|2x2|x1|5变题2 求使不等式|x2|x1|a的解集非空的实数a的取值范围2证明不等式(x2)(y2)9证明 利用柯西不等式得(x2)(y2)(x2)(y2)(xy)2329，当且仅当xy，即x2y22时取等号说明 本题也可以先乘出来，再利用均值不等式求解必须注意，涉及应用柯西不等式，只要求二元3设a，b，c为正实数，求证：证明 因为为正实数，由平均不等式可得， 即 ，所以， 而，所以 4已知2x3y13，求x2y2的最小值解 因为2x3y13，所以利用柯西不等式得(x2y2)(2232)(2x3y)2，即13(x2y2)132，即x2y213，当且仅当即时取等号，即x2y2的最小值为135设x，y为正数，且2x3y10，求的最小值以及取得最小值时x，y的值解法1 因为x，y为正数，且2x3y10，所以利用柯西不等式得(2x3y)()()249，即 ，当且仅当即时，等号成立所以，当x，y时，取得最小值解法2 因为x，y为正数，且2x3y10，所以22，当且仅当即时，所以，当x，y时，取得最小值6函数y的最大值是_.解 因令t，则xt22，t0，且y当t0时，y0当t0时，y，当且仅当2t，即t时取等号故x时，y取到最大值7用数学归纳法证明：当n是不小于5的自然数时，总有2nn2成立证明（1）当n5时，2552,结论成立（2）假设当nk(kN*，k5)时，结论成立，即2kk2，那么当nk1时，左边2k122k2k2(k1)2(k22k1)(k1)2(k1)(k1)(k1)2右边所以也就是说,当nk1时，结论也成立所以由（1）、（2）可知，不等式2nn2对nN*，n5时恒成立8已知f(x)x2xc，设x1，x2(0，1)，且x1x2求证：(1)|f(x2)f(x1)|x1x2|； (2)|f(x1)f(x2)|； (3)|f(x1)f(x2)|解 (1)|f(x2)f(x1)|xx1c(xx2c)|xx(x1x2)|(x1x2)(x1x2)(x1x2)|x1x2|x1x21|因为x1，x2(0，1)，所以x1x21(1，1)，从而|x1x21|1又x1x2，所以|x1x2|0所以 |f(x2)f(x1)|x1x2|(2)因为f(x)x2xc(x)2c，所以，当x(0，1)时，cf(x)c，所以，当x1，x2(0，1)时，cf(x1)c，cf(x2)c，所以 f(x1)f(x2)，从而|f(x1)f(x2)|备选题：9设a、b、c均为实数，求证：+证明a、b、c均为