高考数学一轮复习 第三章 导数 3.2 导数的应用课件.ppt

第三章导数 3 2导数的应用 高考数学 浙江专用 考点一导数与单调性1 2017山东文 10 5分 若函数exf x e 2 71828 是自然对数的底数 在f x 的定义域上单调递增 则称函数f x 具有m性质 下列函数中具有m性质的是 a f x 2 xb f x x2c f x 3 xd f x cosx 五年高考 答案a本题考查利用导数研究函数的单调性 当f x 2 x时 ex f x ex 2 x 令y 则y 1 ln2 ex 0 2x 0 ln20 当f x 2 x时 ex f x 在f x 的定义域上单调递增 故具有m性质 易知b c d不具有m性质 故选a 1 求f x 的导数f x 2 2015课标 12 5分 设函数f x 是奇函数f x x r 的导函数 f 1 0 当x 0时 xf x f x 0成立的x的取值范围是 a 1 0 1 b 1 0 1 c 1 1 0 d 0 1 1 答案a令g x 则g x 由题意知 当x 0时 g x 0 从而f x 0 当x 1 时 g x 0 当x 1 0 时 g x 0 从而f x 0 综上 所求x的取值范围是 1 0 1 评析出现xf x f x 0 0 0 时 考虑构造函数g x 3 2014课标 11 5分 已知函数f x ax3 3x2 1 若f x 存在唯一的零点x0 且x0 0 则a的取值范围是 a 2 b 1 c 2 d 1 答案c 1 当a 0时 显然f x 有两个零点 不符合题意 2 当a 0时 f x 3ax2 6x 令f x 0 解得x1 0 x2 当a 0时 0 所以函数f x ax3 3x2 1在 0 与上为增函数 在上为减函数 因为f x 存在唯一零点x0 且x0 0 则f 0 0 则f 0 即a 3 1 0 解得a 2或a 2 又因为a 0 故a的取值范围为 2 选c 4 2017江苏 11 5分 已知函数f x x3 2x ex 其中e是自然对数的底数 若f a 1 f 2a2 0 则实数a的取值范围是 答案 解析本题考查用导数研究函数单调性 函数单调性的应用 易知函数f x 的定义域关于原点对称 f x x3 2x ex f x x 3 2 x e x x3 2x ex f x f x 为奇函数 又f x 3x2 2 ex 3x2 2 2 3x2 0 当且仅当x 0时 取 从而f x 在r上单调递增 f a 1 f 2a2 0 f a 1 f 2a2 2a2 a 1 解得 1 a 方法小结函数不等式的求解思路 1 转化为f x f g x 2 结合单调性转化为 x g x 或 x g x 5 2017课标全国 文 21 12分 已知函数f x ex ex a a2x 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 0 求a的取值范围 解析本题考查了利用导数研究函数的单调性 最值 1 函数f x 的定义域为 f x 2e2x aex a2 2ex a ex a 若a 0 则f x e2x 在 单调递增 若a 0 则由f x 0得x lna 当x lna 时 f x 0 故f x 在 lna 单调递减 在 lna 单调递增 若a0 故f x 在单调递减 在单调递增 2 若a 0 则f x e2x 所以f x 0 若a 0 则由 1 得 当x lna时 f x 取得最小值 最小值为f lna a2lna 从而当且仅当 a2lna 0 即a 1时 f x 0 若a 0 则由 1 得 当x ln时 f x 取得最小值 最小值为f a2 从而当且仅当a2 0 即a 2时 f x 0 综上 a的取值范围是 2 1 6 2017课标全国 文 21 12分 设函数f x 1 x2 ex 1 讨论f x 的单调性 2 当x 0时 f x ax 1 求a的取值范围 解析本题考查函数的单调性 恒成立问题 1 f x 1 2x x2 ex 令f x 0 得x 1 或x 1 当x 1 时 f x 0 当x 1 时 f x 0 因此h x 在 0 单调递减 而h 0 1 故h x 1 所以f x x 1 h x x 1 ax 1 当00 x 0 所以g x 在 0 单调递增 而g 0 0 故ex x 1 当0 1 x 1 x 2 1 x 1 x 2 ax 1 x 1 a x x2 取x0 则x0 0 1 1 x0 1 x0 2 ax0 1 0 故f x0 ax0 1 当a 0时 取x0 则x0 0 1 f x0 1 x0 1 x0 2 1 ax0 1 综上 a的取值范围是 1 解题思路 1 求f x 令f x 0 求出f x 的单调增区间 令f x ax0 1 从而说明命题不成立 当a 0时 举反例x0 说明不等式不成立 疑难突破 1 求单调区间的一般步骤 求定义域 求f x 令f x 0 求出f x 的增区间 令f x 0 求出f x 的减区间 写出结论 注意单调区间不能用 连接 2 恒成立问题的三种常见解法 分离参数 化为最值问题求解 如a x max或a x min 构造函数 分类讨论 如f x g x 即f x f x g x 求f x min 0 转变主元 选取适当的主元可使问题简化 7 2017课标全国 理 21 12分 已知函数f x x 1 alnx 1 若f x 0 求a的值 2 设m为整数 且对于任意正整数n m 求m的最小值 解析本题考查导数的综合应用 1 f x 的定义域为 0 若a 0 因为f aln20 由f x 1 知 当x 0 a 时 f x 0 所以f x 在 0 a 单调递减 在 a 单调递增 故x a是f x 在 0 的唯一最小值点 由于f 1 0 所以当且仅当a 1时 f x 0 故a 1 2 由 1 知当x 1 时 x 1 lnx 0 令x 1 得ln2 所以m的最小值为3 思路分析 1 对a分类讨论 并利用导数研究f x 的单调性 找出最小值点 从而求出a 2 由 1 得当x 1时 x 1 lnx 0 令x 1 换元后可求出 的范围 一题多解 1 f x 1 x 0 当a 0时 f x 0 而f 1 0 不合题意 a 0 f x 在 0 a 上单调递减 在 a 上单调递增 又f x 0 f a 0 即a 1 alna 0 记h x x 1 xlnx 则h x 1 lnx 1 lnx h x 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 h x h 1 0 即当且仅当x 1时 h x 0 当且仅当a 1时 式成立 a 1 8 2017江苏 20 16分 已知函数f x x3 ax2 bx 1 a 0 b r 有极值 且导函数f x 的极值点是f x 的零点 极值点是指函数取极值时对应的自变量的值 1 求b关于a的函数关系式 并写出定义域 2 证明 b2 3a 3 若f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于 求a的取值范围 解析本小题主要考查利用导数研究初等函数的单调性 极值及零点问题 考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力 1 由f x x3 ax2 bx 1 得f x 3x2 2ax b 3 b 当x 时 f x 有极小值b 因为f x 的极值点是f x 的零点 所以f 1 0 又a 0 故b 因为f x 有极值 故f x 0有实根 从而b 27 a3 0 即a 3 当a 3时 f x 0 x 1 故f x 在r上是增函数 f x 没有极值 当a 3时 f x 0有两个相异的实根x1 x2 列表如下 故f x 的极值点是x1 x2 从而a 3 因此b 定义域为 3 2 证明 由 1 知 设g t 则g t 当t 时 g t 0 从而g t 在上单调递增 因为a 3 所以a 3 故g a g 3 即 因此b2 3a 3 由 1 知 f x 的极值点是x1 x2 且x1 x2 a 从而f x1 f x2 a bx1 1 a bx2 1 3 2ax1 b 3 2ax2 b a b x1 x2 2 2 0 记f x f x 所有极值之和为h a 因为f x 的极值为b a2 所以h a a2 a 3 因为h a a 0 于是h a 在 3 上单调递减 因为h 6 于是h a h 6 故a 6 因此a的取值范围为 3 6 易错警示 1 函数f x 的极值点x0满足f x0 0 函数f x 的零点x0满足f x0 0 而f x 的极值点x0应满足f x0 0 2 求函数的关系式必须确定函数的定义域 9 2015浙江自选 复数与导数 模块 03 2 5分 设函数f x x2 2x 2 ex x r 求f x 的单调递减区间 解析对f x 求导 得f x x2 4x ex 由f x 0 解得 4 x 0 所以f x 的单调递减区间为 4 0 10 2016山东 20 13分 已知f x a x lnx a r 1 讨论f x 的单调性 2 当a 1时 证明f x f x 对于任意的x 1 2 成立 解析 1 f x 的定义域为 0 f x a 当a 0时 x 0 1 时 f x 0 f x 单调递增 x 1 时 f x 0时 f x 01 当x 0 1 或x 时 f x 0 f x 单调递增 当x 时 f x 2时 00 f x 单调递增 当x 时 f x 0 f x 单调递减 综上所述 当a 0时 f x 在 0 1 内单调递增 在 1 内单调递减 当02时 f x 在内单调递增 在内单调递减 在 1 内单调递增 2 由 1 知 a 1时 f x f x x lnx x lnx 1 x 1 2 设g x x lnx h x 1 x 1 2 则f x f x g x h x 由g x 0 可得g x g 1 1 当且仅当x 1时取得等号 又h x 设 x 3x2 2x 6 则 x 在x 1 2 内单调递减 因为 1 1 2 10 所以 x0 1 2 使得x 1 x0 时 x 0 x x0 2 时 x g 1 h 2 即f x f x 对于任意的x 1 2 成立 易错警示讨论f x 的符号时 未能正确分解因式 或对参数a未讨论或对a分类讨论不全面 尤其易忽略a 0的情形 评析本题考查了利用导数研究函数的单调性 导数在求最大值 最小值问题中的应用 正确构造函数是求解的关键 11 2015江苏 19 16分 已知函数f x x3 ax2 b a b r 1 试讨论f x 的单调性 2 若b c a 实数c是与a无关的常数 当函数f x 有三个不同的零点时 a的取值范围恰好是 3 求c的值 解析 1 f x 3x2 2ax 令f x 0 解得x1 0 x2 当a 0时 因为f x 3x2 0 x 0 所以函数f x 在 上单调递增 当a 0时 若x 0 则f x 0 若x 则f x 0 若x 则f x 0时 a3 a c 0或当a 0时 a3 a c 0 设g a a3 a c 因为函数f x 有三个零点时 a的取值范围恰好是 3 则在 3 上 g a 0均恒成立 从而g 3 c 1 0 且g c 1 0 因此c 1 此时 f x x3 ax2 1 a x 1 x2 a 1 x 1 a 因函数f x 有三个零点 则x2 a 1 x 1 a 0有两个异于 1的不等实根 所以 a 1 2 4 1 a a2 2a 3 0 且 1 2 a 1 1 a 0 解得a 3 综上 c 1 评析本题在考查函数的零点与方程的根的同时 重点考查利用导数研究函数的单调性及函数的极值问题 12 2015课标 21 12分 设函数f x emx x2 mx 1 证明 f x 在 0 单调递减 在 0 单调递增 2 若对于任意x1 x2 1 1 都有 f x1 f x2 e 1 求m的取值范围 13 2014课标 21 12分 已知函数f x ex e x 2x 1 讨论f x 的单调性 2 设g x f 2x 4bf x 当x 0时 g x 0 求b的最大值 3 已知1 4142 1 4143 估计ln2的近似值 精确到0 001 解析 1 f x ex e x 2 0 等号仅当x 0时成立 所以f x 在 上单调递增 2 g x f 2x 4bf x e2x e 2x 4b ex e x 8b 4 x g x 2 e2x e 2x 2b ex e x 4b 2 2 ex e x 2 ex e x 2b 2 i 当b 2时 g x 0 等号仅当x 0时成立 所以g x 在 上单调递增 而g 0 0 所以对任意x 0 g x 0 ii 当b 2时 若x满足20 ln2 0 6928 当b 1时 ln b 1 ln g ln 2 3 2 ln2 0 ln2 0 6934 所以ln2的近似值为0 693 评析本题考查了导数的应用 同时考查了分类讨论思想和运算能力 14 2016四川 21 14分 设函数f x ax2 a lnx 其中a r 1 讨论f x 的单调性 2 确定a的所有可能取值 使得f x e1 x在区间 1 内恒成立 e 2 718 为自然对数的底数 以下为教师用书专用 解析 1 f x 2ax x 0 当a 0时 f x 0时 由f x 0 有x 此时 当x 时 f x 0 f x 单调递增 2 令g x s x ex 1 x 则s x ex 1 1 而当x 1时 s x 0 所以s x 在区间 1 内单调递增 又由s 1 0 有s x 0 从而当x 1时 g x 0 当a 0 x 1时 f x a x2 1 lnxg x 在区间 1 内恒成立时 必有a 0 当01 由 1 有f0 所以此时f x g x 在区间 1 内不恒成立 当a 时 令h x f x g x x 1 当x 1时 h x 2ax e1 x x 0 因此 h x 在区间 1 内单调递增 又因为h 1 0 所以当x 1时 h x f x g x 0 即f x g x 恒成立 综上 a 思路分析对 1 先求导 然后分a 0和a 0两种情况判断f x 的符号 从而确定f x 的单调性 对 2 令g x s x ex 1 x 则s x 与g x 在 1 上正负一致 易证x 1时s x 0 从而g x 0 再对a进行分类 a 0 0g x 是否恒成立 最后再总结 评析本题主要考查导数的应用 利用导数判断函数的单调性 并由此确定函数的最值 也考查了分类讨论思想和转化与化归思想 将疑难问题进行转化 化繁为简 15 2015湖北 22 14分 已知数列 an 的各项均为正数 bn an n n e为自然对数的底数 1 求函数f x 1 x ex的单调区间 并比较与e的大小 2 计算 由此推测计算的公式 并给出证明 3 令cn a1a2 an 数列 an cn 的前n项和分别记为sn tn 证明 tn esn 解析 1 f x 的定义域为 f x 1 ex 当f x 0 即x0时 f x 单调递减 故f x 的单调递增区间为 0 单调递减区间为 0 当x 0时 f x f 0 0 即1 x ex 令x 得1 即 e 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 32 32 3 3 1 3 43 由此推测 n 1 n 下面用数学归纳法证明 i 当n 1时 左边 右边 2 成立 ii 假设当n k时 成立 即 k 1 k 当n k 1时 bk 1 k 1 ak 1 由归纳假设可得 k 1 k k 1 k 2 k 1 所以当n k 1时 也成立 根据 i ii 可知 对一切正整数n都成立 3 由cn的定义 算术 几何平均不等式 bn的定义及 得tn c1 c2 c3 cn a1 a1a2 a1a2a3 a1a2 an b1 b2 bn b1 b2 bn a1 a2 an ea1 ea2 ean esn 即tn esn 评析本题考查利用导数求单调性 数学归纳法 不等式 数列求和等基础知识 考查分析问题与解决问题的能力 16 2015四川 21 14分 已知函数f x 2 x a lnx x2 2ax 2a2 a 其中a 0 1 设g x 是f x 的导函数 讨论g x 的单调性 2 证明 存在a 0 1 使得f x 0在区间 1 内恒成立 且f x 0在区间 1 内有唯一解 解析 1 由已知得 函数f x 的定义域为 0 g x f x 2 x a 2lnx 2 所以g x 2 当00 e 2 0 故存在x0 1 e 使得 x0 0 令a0 u x x 1 lnx x 1 由u x 1 0知 函数u x 在区间 1 上单调递增 所以0 f x0 0 当x x0 时 f x 0 从而f x f x0 0 所以 当x 1 时 f x 0 综上所述 存在a 0 1 使得f x 0在区间 1 内恒成立 且f x 0在区间 1 内有唯一解 评析本题主要考查导数的运算 导数在研究函数中的应用 函数的零点等基础知识 考查推理论证能力 运算求解能力 创新意识 考查函数与方程 数形结合 分类与整合 化归与转化等数学思想 17 2015天津 20 14分 已知函数f x nx xn x r 其中n n 且n 2 1 讨论f x 的单调性 2 设曲线y f x 与x轴正半轴的交点为p 曲线在点p处的切线方程为y g x 求证 对于任意的正实数x 都有f x g x 3 若关于x的方程f x a a为实数 有两个正实数根x1 x2 求证 x2 x1 2 解析 1 由f x nx xn 可得f x n nxn 1 n 1 xn 1 其中n n 且n 2 下面分两种情况讨论 i 当n为奇数时 令f x 0 解得x 1 或x 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以 f x 在 1 1 上单调递减 在 1 1 内单调递增 ii 当n为偶数时 当f x 0 即x1时 函数f x 单调递减 所以 f x 在 1 上单调递增 在 1 上单调递减 2 证明 设点p的坐标为 x0 0 则x0 f x0 n n2 曲线y f x 在点p处的切线方程为y f x0 x x0 即g x f x0 x x0 令f x f x g x 即f x f x f x0 x x0 则f x f x f x0 由于f x nxn 1 n在 0 上单调递减 故f x 在 0 上单调递减 又因为f x0 0 所以当x 0 x0 时 f x 0 当x x0 时 f x 0 所以f x 在 0 x0 内单调递增 在 x0 上单调递减 所以对于任意的正实数x 都有f x f x0 0 即对于任意的正实数x 都有f x g x 3 证明 不妨设x1 x2 由 2 知g x n n2 x x0 设方程g x a的根为x 2 可得x 2 x0 当n 2时 g x 在 上单调递减 又由 2 知g x2 f x2 a g x 2 可得x2 x 2 类似地 设曲线y f x 在原点处的切线方程为y h x 可得h x nx 当x 0 时 f x h x xn 0 即对于任意的x 0 f x h x 设方程h x a的根为x 1 可得x 1 因为h x nx在 上单调递增 且h x 1 a f x1 h x1 因此x 1 x1 由此可得x2 x1 x 2 x 1 x0 因为n 2 所以2n 1 1 1 n 1 1 1 n 1 n 故2 x0 所以 x2 x1 2 评析本题主要考查导数的运算 导数的几何意义 利用导数研究函数的性质 证明不等式等基础知识和方法 考查分类讨论思想 函数思想和化归思想 考查综合分析问题和解决问题的能力 18 2014山东 20 13分 设函数f x k k为常数 e 2 71828 是自然对数的底数 1 当k 0时 求函数f x 的单调区间 2 若函数f x 在 0 2 内存在两个极值点 求k的取值范围 解析 1 函数y f x 的定义域为 0 f x k 由k 0可得ex kx 0 所以当x 0 2 时 f x 0 函数y f x 单调递增 所以f x 的单调递减区间为 0 2 单调递增区间为 2 2 由 1 知 当k 0时 函数f x 在 0 2 内单调递减 故f x 在 0 2 内不存在极值点 当k 0时 设函数g x ex kx x 0 因为g x ex k ex elnk 当0 k 1时 当x 0 2 时 g x ex k 0 y g x 单调递增 故f x 在 0 2 内不存在两个极值点 当k 1时 得x 0 lnk 时 g x 0 函数y g x 单调递增 所以函数y g x 的最小值为g lnk k 1 lnk 函数f x 在 0 2 内存在两个极值点 当且仅当解得e k 综上所述 函数f x 在 0 2 内存在两个极值点时 k的取值范围为 评析本题考查了导数在研究函数的单调性和极值问题中的应用 考查了分类讨论思想的运用以及学生的逻辑推理能力和运算求解能力 难度较大 在解决问题 2 时极易产生分类讨论不全面或运算求解错误 19 2014江西 18 12分 已知函数f x x2 bx b b r 1 当b 4时 求f x 的极值 2 若f x 在区间上单调递增 求b的取值范围 解析 1 当b 4时 f x 由f x 0得x 2或x 0 当x 2 时 f x 0 f x 单调递增 当x 时 f x 0 f x 单调递减 故f x 在x 2处取极小值f 2 0 在x 0处取极大值f 0 4 2 f x 因为当x 时 0 依题意 当x 时 有5x 3b 2 0 从而 3b 2 0 所以b的取值范围为 20 2014广东 21 14分 设函数f x 其中kf 1 的x的集合 用区间表示 解析 1 由题意得 x2 2x k 2 2 x2 2x k 3 0 x2 2x k 3 x2 2x k 1 0 x2 2x k1 x 1 20 或 x 1 2 2 k 2 k 0 x 1 1 1 函数f x 的定义域d为 1 1 1 1 2 f x 由f x 0得 x2 2x k 1 2x 2 0 即 x 1 x 1 x 1 0 x 1 或 1 x 1 结合定义域知x 1 或 1 x 1 所以函数f x 在区间 1 1 1 上单调递增 同理 f x 在区间 1 1 1 上单调递减 3 由f x f 1 得 x2 2x k 2 2 x2 2x k 3 3 k 2 2 3 k 3 x2 2x k 2 3 k 2 2 x2 2x k 3 k 0 x2 2x 2k 5 x2 2x 3 0 x 1 x 1 x 3 x 1 0 x 1 或x 1 或x 3或x 1 k 1 结合函数f x 的单调性知f x f 1 的解集为 1 1 1 3 1 1 1 1 评析本题考查函数的定义域 利用导数研究函数的单调性以及含参数不等式的解法 考查分类讨论思想 逻辑推理能力和运算求解能力 难度较大 考点二导数与极值 最值1 2017课标全国 理 11 5分 若x 2是函数f x x2 ax 1 ex 1的极值点 则f x 的极小值为 a 1b 2e 3c 5e 3d 1 答案a本题主要考查导数的应用 由题意可得f x ex 1 x2 a 2 x a 1 x 2是函数f x x2 ax 1 ex 1的极值点 f 2 0 a 1 f x x2 x 1 ex 1 f x ex 1 x2 x 2 ex 1 x 1 x 2 x 2 1 时 f x 0 f x 单调递增 x 2 1 时 f x 0 f x 单调递减 f x 极小值 f 1 1 故选a 思路分析由x 2是函数f x 的极值点可知f 2 0 从而求出a的值 将a的值代入导函数f x 求出f x 的单调区间 判断极小值点 从而求出函数的极小值 2 2013浙江 8 5分 已知e为自然对数的底数 设函数f x ex 1 x 1 k k 1 2 则 a 当k 1时 f x 在x 1处取到极小值b 当k 1时 f x 在x 1处取到极大值c 当k 2时 f x 在x 1处取到极小值d 当k 2时 f x 在x 1处取到极大值 答案c当k 1时 f x ex 1 x 1 f x xex 1 f 1 0 故a b错 当k 2时 f x ex 1 x 1 2 f x x2 1 ex 2x 2 x 1 x 1 ex 2 故f x 0有一根为x1 1 另一根x2 0 1 当x x2 1 时 f x 0 f x 递增 f x 在x 1处取得极小值 故选c 3 2014辽宁 11 5分 当x 2 1 时 不等式ax3 x2 4x 3 0恒成立 则实数a的取值范围是 a 5 3 b c 6 2 d 4 3 答案c由题意知 x 2 1 都有ax3 x2 4x 3 0 即ax3 x2 4x 3在x 2 1 上恒成立 当x 0时 a r 当0 x 1时 a 令t t 1 g t 3t3 4t2 t 因为g t 9t2 8t 1 0 t 1 所以g t 在 1 上单调递减 g t max g 1 6 t 1 所以a 6 当 2 x 0时 a 同理 g t 在 1 上递减 在上递增 因此g t min g 1 2 所以a 2 综上可知 6 a 2 故选c 4 2013辽宁 12 5分 设函数f x 满足x2 f x 2xf x f 2 则x 0时 f x a 有极大值 无极小值b 有极小值 无极大值c 既有极大值又有极小值d 既无极大值也无极小值 答案d令f x x2 f x 则f x 令h x ex 2f x 则h x ex 当02时 h x 0 h x 在 2 上为增函数 故h x h 2 在x 0 上恒成立 h 2 e2 2 f 2 e2 2 22 f 2 e2 2 0 即h x h 2 0在x 0 上恒成立 则f x 0在x 0 上恒成立 f x 在 0 上是单调递增的 f x 在 0 上无极值 故选d 评析本题考查了导数的求导法则 利用导数来研究函数的性质 能够构造出相应的函数是本题的重点 难度较大 要求较高 5 2015课标 12 5分 设函数f x ex 2x 1 ax a 其中a 1 若存在唯一的整数x0使得f x0 0 则a的取值范围是 a b c d 评析本题主要考查导数的应用及分类讨论思想 分离参变量是解决本题的关键 本题综合性较强 属难题 6 2016北京 14 5分 设函数f x 若a 0 则f x 的最大值为 若f x 无最大值 则实数a的取值范围是 答案 2 1 解析 若a 0 则f x 当x 0时 f x 2x0 f x 是增函数 当 12时 f x max a3 3a 综上 当a 1 时 f x 无最大值 7 2015安徽 15 5分 设x3 ax b 0 其中a b均为实数 下列条件中 使得该三次方程仅有一个实根的是 写出所有正确条件的编号 a 3 b 3 a 3 b 2 a 3 b 2 a 0 b 2 a 1 b 2 答案 解析设f x x3 ax b 当a 3 b 3时 f x x3 3x 3 f x 3x2 3 令f x 0 得x 1或x2时 f x x3 3x b 易知f x 的极大值为f 1 2 b 0 极小值为f 1 b 2 0 x 时 f x 故方程f x 0有且仅有一个实根 故 正确 当a 0 b 2时 f x x3 2 显然方程f x 0有且仅有一个实根 故 正确 当a 1 b 2时 f x x3 x 2 f x 3x2 1 0 则f x 在 上为增函数 易知f x 的值域为r 故f x 0有且仅有一个实根 故 正确 综上 正确条件的编号有 评析本题考查方程的根 函数的零点 利用导数研究函数的单调性和极值 考查推理运算能力 8 2017课标全国 文 21 12分 已知函数f x lnx ax2 2a 1 x 1 讨论f x 的单调性 2 当a 0时 证明f x 2 解析 1 f x 的定义域为 0 f x 2ax 2a 1 若a 0 则当x 0 时 f x 0 故f x 在 0 单调递增 若a0 当x 时 f x 0 当x 1 时 g x 0时 g x 0 从而当a 0时 ln 1 0 即f x 2 9 2017天津文 19 14分 设a b r a 1 已知函数f x x3 6x2 3a a 4 x b g x exf x 1 求f x 的单调区间 2 已知函数y g x 和y ex的图象在公共点 x0 y0 处有相同的切线 i 求证 f x 在x x0处的导数等于0 ii 若关于x的不等式g x ex在区间 x0 1 x0 1 上恒成立 求b的取值范围 解析本小题主要考查导数的运算 导数的几何意义 利用导数研究函数的性质等基础知识和方法 考查用函数思想解决问题的能力 1 由f x x3 6x2 3a a 4 x b 可得f x 3x2 12x 3a a 4 3 x a x 4 a 令f x 0 解得x a 或x 4 a 由 a 1 得a 4 a 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以 f x 的单调递增区间为 a 4 a 单调递减区间为 a 4 a 2 i 证明 因为g x ex f x f x 由题意知所以解得所以 f x 在x x0处的导数等于0 ii 因为g x ex x x0 1 x0 1 由ex 0 可得f x 1 又因为f x0 1 f x0 0 故x0为f x 的极大值点 由 1 知x0 a 另一方面 由于 a 1 故a 1 4 a 由 1 知f x 在 a 1 a 内单调递增 在 a a 1 内单调递减 故当x0 a时 f x f a 1在 a 1 a 1 上恒成立 从而g x ex在 x0 1 x0 1 上恒成立 由f a a3 6a2 3a a 4 a b 1 得b 2a3 6a2 1 1 a 1 令t x 2x3 6x2 1 x 1 1 所以t x 6x2 12x 令t x 0 解得x 2 舍去 或x 0 因为t 1 7 t 1 3 t 0 1 因此 t x 的值域为 7 1 所以 b的取值范围是 7 1 思路分析 1 求出函数f x 的导函数及极值点 通过列表判断函数的单调性 求出单调区间即可 2 i 对函数y g x 和y ex求导 根据已知条件得方程组解方程组可得出f x0 0 ii 不等式g x ex在区间 x0 1 x0 1 上恒成立 由ex 0 可得f x 1 根据 1 可知f x f a 1在 a 1 a 1 上恒成立 由f a 1 得b 2a3 6a2 1 1 a 1 利用导数即可求出b的取值范围 10 2017课标全国 文 21 12分 已知函数f x ex ex a a2x 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 0 求a的取值范围 解析本题考查了利用导数研究函数的单调性 最值 1 函数f x 的定义域为 f x 2e2x aex a2 2ex a ex a 若a 0 则f x e2x 在 单调递增 若a 0 则由f x 0得x lna 当x lna 时 f x 0 故f x 在 lna 单调递减 在 lna 单调递增 若a0 故f x 在单调递减 在单调递增 2 若a 0 则f x e2x 所以f x 0 若a 0 则由 1 得 当x lna时 f x 取得最小值 最小值为f lna a2lna 从而当且仅当 a2lna 0 即a 1时 f x 0 若a 0 则由 1 得 当x ln时 f x 取得最小值 最小值为f a2 从而当且仅当a2 0 即a 2时 f x 0 综上 a的取值范围是 2 1 11 2017课标全国 理 21 12分 已知函数f x ax2 ax xlnx 且f x 0 1 求a 2 证明 f x 存在唯一的极大值点x0 且e 2 f x0 2 2 解析本题考查了导数的综合应用 1 f x 的定义域为 0 设g x ax a lnx 则f x xg x f x 0等价于g x 0 因为g 1 0 g x 0 故g 1 0 而g x a g 1 a 1 得a 1 若a 1 则g x 1 当01时 g x 0 g x 单调递增 所以x 1是g x 的极小值点 故g x g 1 0 综上 a 1 2 由 1 知f x x2 x xlnx f x 2x 2 lnx 设h x 2x 2 lnx 则h x 2 当x 时 h x 0 所以h x 在单调递减 在单调递增 又h e 2 0 h0 当x x0 1 时 h x 0 因为f x h x 所以x x0是f x 的唯一极大值点 由f x0 0得lnx0 2 x0 1 故f x0 x0 1 x0 由x0 0 1 得f x0 f e 1 e 2 所以e 2 f x0 2 2 方法总结利用导数解决不等式问题的一般思路 1 恒成立问题常利用分离参数法转化为最值问题求解 若不能分离参数 可以对参数进行分类讨论 2 证明不等式问题可通过构造函数转化为函数的最值问题求解 12 2014浙江 22 14分 已知函数f x x3 3 x a a r 1 若f x 在 1 1 上的最大值和最小值分别记为m a m a 求m a m a 2 设b r 若 f x b 2 4对x 1 1 恒成立 求3a b的取值范围 解析 1 因为f x 所以f x 由于 1 x 1 i 当a 1时 有x a 故f x x3 3x 3a 此时f x 在 1 1 上是增函数 因此 m a f 1 4 3a m a f 1 4 3a 故m a m a 4 3a 4 3a 8 ii 当 1 a 1时 若x a 1 则f x x3 3x 3a在 a 1 上是增函数 若x 1 a 则f x x3 3x 3a 在 1 a 上是减函数 所以 m a max f 1 f 1 m a f a a3 由于f 1 f 1 6a 2 因此 当 1 a 时 m a m a a3 3a 4 当 a 1时 m a m a a3 3a 2 iii 当a 1时 有x a 故f x x3 3x 3a 此时f x 在 1 1 上是减函数 因此 m a f 1 2 3a m a f 1 2 3a 故m a m a 2 3a 2 3a 4 综上 m a m a 2 令h x f x b 则h x h x 因为 f x b 2 4对x 1 1 恒成立 即 2 h x 2对x 1 1 恒成立 所以由 1 知 i 当a 1时 h x 在 1 1 上是增函数 h x 在 1 1 上的最大值是h 1 4 3a b 最小值是h 1 4 3a b 则 4 3a b 2且4 3a b 2 矛盾 ii 当 10 t a 在上是增函数 故t a t 0 2 因此 2 3a b 0 iii 当 a 1时 h x 在 1 1 上的最小值是h a a3 b 最大值是h 1 3a b 2 所以a3 b 2且3a b 2 2 解得 3a b 0 iv 当a 1时 h x 在 1 1 上的最大值是h 1 2 3a b 最小值是h 1 2 3a b 所以3a b 2 2且3a b 2 2 解得3a b 0 综上 得3a b的取值范围是 2 3a b 0 评析本题主要考查函数最大 小 值的概念 利用导数研究函数的单调性等基础知识 同时考查推理论证 分类讨论 分析问题和解决问题等综合解题能力 13 2014浙江文 21 15分 已知函数f x x3 3 x a a 0 若f x 在 1 1 上的最小值记为g a 1 求g a 2 证明 当x 1 1 时 恒有f x g a 4 解析 1 因为a 0 1 x 1 所以 i 当00 故f x 在 a 1 上是增函数 所以g a f a a3 ii 当a 1时 有x a 则f x x3 3x 3a f x 3x2 3 0 故f x 在 1 1 上是减函数 所以g a f 1 2 3a 综上 g a 2 令h x f x g a i 当0 a 1时 g a a3 若x a 1 h x x3 3x 3a a3 得h x 3x2 3 则h x 在 a 1 上是增函数 所以 h x 在 a 1 上的最大值是h 1 4 3a a3 且0 a 1 所以h 1 4 故f x g a 4 若x 1 a h x x3 3x 3a a3 得h x 3x2 3 则h x 在 1 a 上是减函数 所以 h x 在 1 a 上的最大值是h 1 2 3a a3 令t a 2 3a a3 则t a 3 3a2 0 易知t a 在 0 1 上是增函数 所以 t a t 1 4 即h 1 4 故f x g a 4 ii 当a 1时 g a 2 3a 故h x x3 3x 2 得h x 3x2 3 此时h x 在 1 1 上是减函数 因此h x 在 1 1 上的最大值是h 1 4 故f x g a 4 综上 当x 1 1 时 恒有f x g a 4 评析本题主要考查函数最大 小 值的概念 利用导数研究函数的单调性等基础知识 同时考查推理论证 分类讨论 分析问题和解决问题等综合解题能力 14 2016天津 20 14分 设函数f x x 1 3 ax b x r 其中a b r 1 求f x 的单调区间 2 若f x 存在极值点x0 且f x1 f x0 其中x1 x0 求证 x1 2x0 3 3 设a 0 函数g x f x 求证 g x 在区间 0 2 上的最大值 解析 1 由f x x 1 3 ax b 可得f x 3 x 1 2 a 下面分两种情况讨论 当a 0时 有f x 3 x 1 2 a 0恒成立 所以f x 的单调递增区间为 当a 0时 令f x 0 解得x 1 或x 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以f x 的单调递减区间为 单调递增区间为 2 证明 因为f x 存在极值点 所以由 1 知a 0 且x0 1 由题意 得f x0 3 x0 1 2 a 0 即 x0 1 2 进而f x0 x0 1 3 ax0 b x0 b 又f 3 2x0 2 2x0 3 a 3 2x0 b 1 x0 2ax0 3a b x0 b f x0 且3 2x0 x0 由题意及 1 知 存在唯一实数x1满足f x1 f x0 且x1 x0 因此x1 3 2x0 所以x1 2x0 3 3 证明 设g x 在区间 0 2 上的最大值为m max x y 表示x y两数的最大值 下面分三种情况讨论 当a 3时 1 0 2 1 由 1 知 f x 在区间 0 2 上单调递减 所以f x 在区间 0 2 上的取值范围为 f 2 f 0 因此m max f 2 f 0 max 1 2a b 1 b max a 1 a b a 1 a b 所以m a 1 a b 2 当 a 3时 1 0 1 1 2 1 由 1 和 2 知f 0 f f f 2 f f 所以f x 在区间 0 2 上的取值范围为 因此m max max max a b 当0 a 时 0 1 1 2 由 1 和 2 知f 0 f f f 2 f f 所以f x 在区间 0 2 上的取值范围为 f 0 f 2 因此m max f 0 f 2 max 1 b 1 2a b max 1 a a b 1 a a b 1 a a b 综上所述 当a 0时 g x 在区间 0 2 上的最大值不小于 易错警示 1 对参数a讨论时易忽略a 0的情形 导致忽略f x 在r上递增的情况 3 讨论0 a 3时 未意识到仍需将a分成0 a 与 a 3两段来讨论 从而造成失分 评析本题主要考查导数的运算 利用导数研究函数的性质 证明不等式等基础知识和方法 考查分类讨论思想和化归思想 考查综合分析问题和解决问题的能力 15 2015重庆 20 12分 设函数f x a r 1 若f x 在x 0处取得极值 确定a的值 并求此时曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 若f x 在 3 上为减函数 求a的取值范围 评析本题考查函数的极值 导数的几何意义及应用 对运算能力有较高要求 16 2013湖北 10 5分 已知a为常数 函数f x x lnx ax 有两个极值点x1 x2 x10 f x2 b f x1 0 f x2 评析本题综合考查导数在研究函数性质中的应用 首先需由两个极值点的条件解出a 再考虑f x 的单调性并判断f x 的极值点 从而估计函数值范围 17 2013安徽 10 5分 若函数f x x3 ax2 bx c有极值点x1 x2 且f x1 x1 则关于x的方程3 f x 2 2af x b 0的不同实根个数是 a 3b 4c 5d 6 答案af x 3x2 2ax b 则x1 x2为f x 0的两不等根 即3 f x 2 2af x b 0的解为f x x1或f x x2 不妨设x1 x2 则f x x1有两解 f x x2只有一解 故原方程共有3个不同实根 18 2013福建 8 5分 设函数f x 的定义域为r x0 x0 0 是f x 的极大值点 以下结论一定正确的是 a 任意x r f x f x0 b x0是f x 的极小值点c x0是 f x 的极小值点d x0是 f x 的极小值点 答案d函数f x 的极大值f x0 不一定是最大值 故a错 f x 与 f x 关于原点对称 故x0 x0 0 是f x 的极大值点时 x0是 f x 的极小值点 故选d 19 2015湖南 21 13分 已知a 0 函数f x eaxsinx x 0 记xn为f x 的从小到大的第n n n 个极值点 证明 1 数列 f xn 是等比数列 2 若a 则对一切n n xn f xn 恒成立 证明 1 f x aeaxsinx eaxcosx eax asinx cosx eaxsin x 其中tan 00 若 2k 1 0 设g t t 0 则g t 令g t 0 得t 1 当01时 g t 0 所以g t 在区间 1 上单调递增 从而当t 1时 函数g t 取得最小值g 1 e 因此 要使 式恒成立 只需 而当a 时 由tan 且0 因此对一切n n axn 1 所以g axn g 1 e 故 式亦恒成立 综上所述 若a 则对一切n n xn f xn 恒成立 20 2014四川 21 14分 已知函数f x ex ax2 bx 1 其中a b r e 2 71828 为自然对数的底数 1 设g x 是函数f x 的导函数 求函数g x 在区间 0 1 上的最小值 2 若f 1 0 函数f x 在区间 0 1 内有零点 求a的取值范围 解析 1 由f x ex ax2 bx 1 有g x f x ex 2ax b 所以g x ex 2a 因此 当x 0 1 时 g x 1 2a e 2a 当a 时 g x 0 所以g x 在 0 1 上单调递增 因此g x 在 0 1 上的最小值是g 0 1 b 当a 时 g x 0 所以g x 在 0 1 上单调递减 因此g x 在 0 1 上的最小值是g 1 e 2a b 当 a 时 令g x 0 得x ln 2a 0 1 所以函数g x 在区间 0 ln 2a 上单调递减 在区间 ln 2a 1 上单调递增 于是 g x 在 0 1 上的最小值是g ln 2a 2a 2aln 2a b 综上所述 当a 时 g x 在 0 1 上的最小值是g 0 1 b 当 a 时 g x 在 0 1 上的最小值是g ln 2a 2a 2aln 2a b 当a 时 g x 在 0 1 上的最小值是g 1 e